Эффективная масса (физика твердого тела)

В физике твердого тела эффективная масса частицы (часто обозначаемая ) - это масса, которую она, кажется, имеет при реакции на силы, или масса, которую она, кажется, имеет при взаимодействии с другими идентичными частицами в тепловом распределении . Один из результатов ленточной теории. ${\ textstyle м ^ {*}}$ твердых тел состоит в том, что движение частиц в периодическом потенциале на большие расстояния, превышающие размер решетки, может сильно отличаться от их движения в вакууме. Эффективная масса - это величина, которая используется для упрощения ленточных структур путем моделирования поведения свободной частицы с этой массой. Для некоторых целей и некоторых материалов эффективная масса может рассматриваться как простая константа материала. Однако в целом значение эффективной массы зависит от цели, для которой она используется, и может варьироваться в зависимости от ряда факторов.

Для электронов или электронных дырок в твердом теле эффективная масса обычно выражается в единицах массы покоя электрона , m _e (9,11 × 10 ^-31 кг). В этих единицах оно обычно находится в диапазоне от 0,01 до 10, но также может быть ниже или выше - например, достигая 1000 в экзотических материалах с тяжелыми фермионами или где угодно от нуля до бесконечности (в зависимости от определения) в графене . Поскольку это упрощает более общую теорию зон, эффективная масса электронов может рассматриваться как важный базовый параметр, который влияет на измеряемые свойства твердого тела, включая все, от эффективности солнечного элемента до скорости интегральной схемы.

Простой случай: параболическое, изотропное соотношение дисперсии [ править ]

При самых высоких энергиях валентной зоны во многих полупроводниках (Ge, Si, GaAs, ...) и самых низких энергиях зоны проводимости в некоторых полупроводниках (GaAs, ...) зонная структура $E (k)$ может локально аппроксимироваться как

E(\mathbf {k} )=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}

где $E (k)$ - энергия электрона в волновом векторе $k$ в этой полосе, $E 0$ - постоянная, дающая край энергии этой полосы, а $m *$ - постоянная (эффективная масса).

Можно показать, что электроны, помещенные в эти зоны, ведут себя как свободные электроны, только с другой массой, до тех пор, пока их энергия остается в пределах применимости приведенного выше приближения. В результате масса электрона в таких моделях, как модель Друде, должна быть заменена эффективной массой.

Одно примечательное свойство состоит в том, что эффективная масса может стать отрицательной , когда полоса изгибается вниз от максимума. В результате отрицательной массы электроны реагируют на электрические и магнитные силы, набирая скорость в противоположном направлении по сравнению с нормальным; хотя эти электроны имеют отрицательный заряд, они движутся по траекториям, как если бы у них был положительный заряд (и положительная масса). Это объясняет существование дырок валентной зоны , квазичастиц с положительным зарядом и положительной массой, которые можно найти в полупроводниках. ^[1]

В любом случае, если зонная структура имеет описанную выше простую параболическую форму, то значение эффективной массы однозначно. К сожалению, эта параболическая форма не подходит для описания большинства материалов. В таких сложных материалах нет единого определения «эффективной массы», а есть несколько определений, каждое из которых подходит для определенной цели. Остальная часть статьи подробно описывает эти эффективные массы.

Промежуточный случай: параболическая, анизотропная дисперсионная зависимость [ править ]

Эллипсоиды постоянной энергии в кремнии вблизи шести минимумов зоны проводимости. Для каждой долины (группа минимум), эффективные массы т _л = 0,92 м _е ( «продольный», вдоль одной оси) и т _т = 0,19 м _е ( «поперечный», вдоль двух осей). ^[2]

В некоторых важных полупроводниках (в частности, в кремнии) зоны проводимости с самыми низкими энергиями не являются симметричными, поскольку поверхности с постоянной энергией теперь являются эллипсоидами , а не сферами в изотропном случае. Каждый минимум зоны проводимости можно аппроксимировать только

E\left(\mathbf {k} \right)=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{x}^{*}}}\left(k_{x}-k_{0,x}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{y}^{*}}}\left(k_{y}-k_{0,y}\right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{z}^{*}}}\left(k_{z}-k_{0,z}\right)^{2}

где оси x , y и z выровнены с главными осями эллипсоидов, а $m x *$ , $m y *$ и $m z *$ - инерционные эффективные массы вдоль этих различных осей. Смещения $k 0, x$ , $k 0, y$ и $k 0, z$ отражают, что минимум зоны проводимости больше не центрируется на нулевом волновом векторе. (Эти эффективные массы соответствуют главным компонентам тензора инерционной эффективной массы, описанного ниже. ^[3] )

В этом случае движение электрона уже нельзя напрямую сравнивать со свободным электроном; скорость электрона будет зависеть от его направления, и он будет ускоряться в разной степени в зависимости от направления силы. Тем не менее, в кристаллах, таких как кремний, общие свойства, такие как проводимость, кажутся изотропными. Это связано с тем, что существует несколько долин (минимумов зоны проводимости), каждая из которых имеет эффективные массы, расположенные по разным осям. Долины вместе действуют вместе, обеспечивая изотропную проводимость. Можно каким-то образом усреднить эффективные массы различных осей вместе, чтобы восстановить картину свободных электронов. Однако оказывается, что метод усреднения зависит от цели: ^[4]

Для расчета полной плотности состояний и полной плотности носителей через среднее геометрическое в сочетании с коэффициентом вырождения $g,$ который подсчитывает количество впадин (в кремнии $g = 6$ ): ^[3]
$m_{\text{density}}^{*}={\sqrt[{3}]{g^{2}m_{x}m_{y}m_{z}}}$
(Эта эффективная масса соответствует эффективной массе плотности состояний, описанной ниже.)
Для плотности состояний на долину и плотности носителей на долину фактор вырождения не учитывается.
Для расчета проводимости, как в модели Друде, через гармоническое среднее
$m_{\text{conductivity}}^{*}=3\left[{\frac {1}{m_{x}^{*}}}+{\frac {1}{m_{y}^{*}}}+{\frac {1}{m_{z}^{*}}}\right]^{-1}$
Поскольку закон Друде также зависит от времени рассеяния, которое сильно варьируется, эта эффективная масса используется редко; Вместо этого проводимость обычно выражается через плотность носителей и параметр, измеренный эмпирически, подвижность носителей .

Общий случай [ править ]

В общем случае дисперсионное соотношение нельзя аппроксимировать параболическим, и в таких случаях необходимо точно определить эффективную массу, если ее вообще нужно использовать. Здесь общепринятым определением эффективной массы является тензор инерционной эффективной массы, определенный ниже; однако в целом это матричнозначная функция волнового вектора и даже более сложная, чем зонная структура. Другие эффективные массы более актуальны для явлений, которые можно измерить напрямую.

Тензор инерционной эффективной массы [ править ]

Классическая частица под действием силы ускоряется в соответствии со вторым законом Ньютона , $=$ $м$ $-1$ $F$ . Этот интуитивный принцип идентично проявляется в полуклассических приближениях, выведенных из зонной структуры. Однако каждый из символов имеет несколько измененное значение; ускорение становится скоростью изменения групповой скорости :

\mathbf {a} ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\,\mathbf {v} _{\text{g}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(\nabla _{k}\,\omega \left(\mathbf {k} \right)\right)=\nabla _{k}{\frac {\operatorname {d} \omega \left(\mathbf {k} \right)}{\operatorname {d} t}}=\nabla _{k}\left({\frac {\operatorname {d} \mathbf {k} }{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla _{k}\,\omega (\mathbf {k} )\right),

где $\nabla k$ - оператор дель в обратном пространстве , а сила дает скорость изменения импульса $кристалла$ $p кристалл$ :

\mathbf {F} ={\frac {\operatorname {d} \mathbf {p} _{\text{crystal}}}{\operatorname {d} t}}=\hbar {\frac {\operatorname {d} \mathbf {k} }{\operatorname {d} t}},

где $ħ = h / 2π$ - приведенная постоянная Планка . Объединение этих двух уравнений дает

\mathbf {a} =\nabla _{k}\left({\frac {\mathbf {F} }{\hbar }}\cdot \nabla _{k}\,\omega (\mathbf {k} )\right).

Извлечение $i-$ го элемента с обеих сторон дает

a_{i}=\left({\frac {1}{\hbar }}\,{\frac {\partial ^{2}\omega \left(\mathbf {k} \right)}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\right)\!F_{j}=\left({\frac {1}{\hbar ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}E\left(\mathbf {k} \right)}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\right)\!F_{j},

где $a i$ - $i-$ й элемент $a$ , $F j$ - $j-$ й элемент $F$ , $k i$ и $k j$ - $i-$ й и $j-$ й элементы $k$ , соответственно, а $E$ - полная энергия частицы согласно соотношение Планка-Эйнштейна . Индекс $j$ сокращен за счет использования обозначений Эйнштейна (по $j$ проводится неявное суммирование ). Поскольку второй закон Ньютона использует инертную массу(не гравитационная масса ), мы можем идентифицировать обратную к этой массе в уравнении выше как тензор

\left[M_{\text{inert}}^{-1}\right]_{ij}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\,.

Этот тензор выражает изменение групповой скорости из-за изменения импульса кристалла. Его обратный, $M инертный$ , известен как тензор эффективной массы .

Обычно используется инерционное выражение для эффективной массы, но обратите внимание, что его свойства могут быть нелогичными:

Тензор эффективной массы обычно изменяется в зависимости от $k$ , что означает, что масса частицы фактически изменяется после воздействия на нее импульса. Единственные случаи, в которых он остается постоянным, - это параболические полосы, описанные выше.
Тензор эффективной массы расходится (становится бесконечным) для линейных дисперсионных соотношений, например, для фотонов или электронов в графене . ^[5] (Эти частицы иногда называют безмассовыми, однако это относится к их нулевой массе покоя; масса покоя - это понятие, отличное от эффективной массы.)

Эффективная масса циклотрона [ править ]

Классически заряженная частица в магнитном поле движется по спирали вдоль оси магнитного поля. Период T его движения зависит от его массы m и заряда e ,

T=\left\vert {\frac {2\pi m}{eB}}\right\vert

где B - плотность магнитного потока .

Для частиц в асимметричных полосовых структурах частица больше не движется точно по спирали, однако ее движение поперек магнитного поля все еще движется по замкнутому контуру (не обязательно по кругу). Более того, время завершения одного из этих циклов все еще изменяется обратно пропорционально магнитному полю, и поэтому можно определить эффективную массу циклотрона по измеренному периоду, используя приведенное выше уравнение.

Полуклассическое движение частицы можно описать замкнутым контуром в k-пространстве. На протяжении всей этой петли частица поддерживает постоянную энергию, а также постоянный импульс вдоль оси магнитного поля. Определив $A$ как область $k- пространства,$ заключенную в эту петлю (эта область зависит от энергии $E$ , направления магнитного поля и осевого волнового вектора $k B$ ), тогда можно показать, что циклотронная эффективная масса зависит от зонной структуры через производную этой области по энергии:

m^{*}\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}}\right)={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial }{\partial E}}A\left(E,{\hat {B}},k_{\hat {B}}\right)

Обычно эксперименты по измерению циклотронного движения ( циклотронный резонанс , эффект Де Гааза – Ван Альфена и т. Д.) Ограничиваются только пробным движением для энергий, близких к уровню Ферми .

В двумерном электронном газе циклотронная эффективная масса определяется только для одного направления магнитного поля (перпендикулярного), и волновой вектор, лежащий вне плоскости, выпадает. Следовательно, циклотронная эффективная масса является только функцией энергии, и оказывается, что она точно связана с плотностью состояний при этой энергии через соотношение , где $g$ $v$ - вырождение долины. Такое простое соотношение неприменимо к трехмерным материалам. $\scriptstyle g(E)\;=\;{\frac {g_{v}m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}$

Плотность состояний эффективных масс (слаболегированные полупроводники) [ править ]

Эффективная масса плотности состояний в различных полупроводниках ^[6]^[7]^[8]^[9]
Группа	Материал	Электрон	Дыра
IV	Si (4 К)	1.06	0,59
	Si (300 К)	1.09	1,15
	Ge	0,55	0,37
III-V	GaAs	0,067	0,45
III-V	InSb	0,013	0,6
II-VI	ZnO	0,29	1,21
II-VI	ZnSe	0,17	1,44

В полупроводниках с низким уровнем легирования концентрация электронов в зоне проводимости обычно определяется выражением

n_{e}=N_{C}\exp \left(-{\frac {E_{\text{C}}-E_{\text{F}}}{kT}}\right)

где $E F$ - уровень Ферми , $E C$ - минимальная энергия зоны проводимости, а $N C$ - коэффициент концентрации, зависящий от температуры. Можно показать, что указанное выше соотношение для $n e$ применимо к любой форме зоны проводимости (включая непараболические, асимметричные зоны) при условии слабого легирования ( $E C - E F >> kT$ ); это следствие ограничения статистики Ферми – Дирака статистикой Максвелла – Больцмана .

Концепция эффективной массы полезна для моделирования температурной зависимости $N C$ , что позволяет использовать указанное выше соотношение в широком диапазоне температур. В идеализированном трехмерном материале с параболической полосой коэффициент концентрации определяется выражением

\quad N_{C}=2\left({\frac {2\pi m_{e}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}

В полупроводниках с непростой зонной структурой это соотношение используется для определения эффективной массы, известной как эффективная масса электронов с плотностью состояний . Название «эффективная масса плотности состояний» используется, поскольку приведенное выше выражение для $N C$ выводится через плотность состояний для параболической зоны.

На практике эффективная масса, извлеченная таким образом, не совсем постоянна по температуре ( $N C$ не точно изменяется как $T 3/2$ ). В кремнии, например, эта эффективная масса изменяется на несколько процентов между абсолютным нулем и комнатной температурой, потому что сама зонная структура немного меняет форму. Эти искажения зонной структуры являются результатом изменения энергий электрон-фононного взаимодействия, при этом тепловое расширение решетки играет незначительную роль. ^[6]

Точно так же количество дырок в валентной зоне и эффективная масса дырок в плотности состояний определяются как:

n_{h}=N_{V}\exp \left(-{\frac {E_{\text{F}}-E_{\text{V}}}{kT}}\right),\quad N_{V}=2\left({\frac {2\pi m_{h}^{*}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}

где $E V$ - максимальная энергия валентной зоны. На практике эта эффективная масса имеет тенденцию сильно варьироваться между абсолютным нулем и комнатной температурой во многих материалах (например, в два раза в кремнии), поскольку существует несколько валентных зон с отчетливым и существенно непараболическим характером, все с пиками около одной и той же энергии. . ^[6]

Определение [ править ]

Экспериментальный [ править ]

Традиционно эффективные массы измерялись с использованием циклотронного резонанса , метода, при котором микроволновое поглощение полупроводника, погруженного в магнитное поле, проходит через острый пик, когда микроволновая частота равна циклотронной частоте . В последние годы эффективные массы еще чаще были определены путем измерения зонной структуры с использованием таких методов, как с угловым разрешением излучения фото ( ARPES ) или, скорее, непосредственно на де Гааза-ван Альфена . Эффективные массы также можно оценить с помощью коэффициента γ линейного члена в низкотемпературной электронной теплоемкости при постоянном объеме $\scriptstyle f_{c}\;=\;{\frac {eB}{2\pi m^{*}}}$ $\scriptstyle c_{v}$ . Удельная теплоемкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми и, как таковая, является мерой вырождения, а также кривизны зоны. Очень большие оценки массы носителей на основе измерений удельной теплоемкости привели к появлению концепции материалов с тяжелыми фермионами . Поскольку подвижность носителей зависит от отношения времени жизни при столкновении носителей к эффективной массе, массы в принципе можно определить из измерений переноса, но этот метод нецелесообразен, поскольку вероятности столкновения носителей обычно не известны априори. Оптический эффект Холла $\tau$ это развивающийся метод измерения плотности свободных носителей заряда, эффективной массы и параметров подвижности в полупроводниках. Оптический эффект Холла измеряет аналог квазистатического электрического поля, индуцированного электрическим эффектом Холла на оптических частотах в проводящих и сложных слоистых материалах. Оптический эффект Холла позволяет также охарактеризовать анизотропию (тензорный характер) параметров эффективной массы и подвижности. ^[10]^[11]

Теоретический [ править ]

Разнообразие теоретических методов , включая функциональную теорию плотности , K · теории возмущений р , и другие используется для дополнения и поддержки различных экспериментальных измерений , описанных в предыдущем разделе, в том числе интерпретации, подгонки и экстраполяции этих измерений. Некоторые из этих теоретических методов могут также использоваться для ab initio предсказаний эффективной массы при отсутствии каких-либо экспериментальных данных, например, для изучения материалов, которые еще не были созданы в лаборатории.

Значение [ править ]

Эффективная масса используется в транспортных расчетах, таких как перенос электронов под действием полей или градиентов носителей, но она также используется для расчета плотности носителей и плотности состояний в полупроводниках. Эти массы связаны, но, как объяснялось в предыдущих разделах, не одинаковы, потому что веса разных направлений и волновых векторов различны. Эти различия важны, например, в термоэлектрических материалах , где высокая проводимость, обычно связанная с легкой массой, желательна одновременно с высоким коэффициентом Зеебека , обычно связанным с большой массой. В этом контексте были разработаны методы оценки электронной структуры различных материалов. ^[12]

Некоторые соединения группы III - V, такие как арсенид галлия (GaAs) и антимонид индия (InSb), имеют гораздо меньшие эффективные массы, чем тетраэдрические материалы группы IV, такие как кремний и германий . В простейшем представлении Друде о переносе электронов максимально достижимая скорость носителей заряда обратно пропорциональна эффективной массе: где with - заряд электрона . Максимальная скорость интегральных схем $\scriptstyle {\vec {v}}\;=\;\left\Vert \mu \right\Vert \cdot {\vec {E}}$ $\scriptstyle \left\Vert \mu \right\Vert \;=\;{\frac {e\tau }{\left\Vert m^{*}\right\Vert }}$ $\scriptstyle e$ зависит от скорости носителя, поэтому низкая эффективная масса является основной причиной того, что GaAs и его производные используются вместо Si в приложениях с высокой пропускной способностью, таких как сотовая телефония . ^[13]

В апреле 2017 года исследователи из Вашингтонского государственного университета заявили, что создали жидкость с отрицательной эффективной массой внутри конденсата Бозе-Эйнштейна , разработав соотношение дисперсии . ^[14]

См. Также [ править ]

Модели твердых тел и кристаллов:

Tight связывания модели
Модель свободных электронов
Модель почти свободных электронов

Сноски [ править ]

^ Киттель, Введение в физику твердого тела, 8-е издание, стр. 194-196
^ Чарльз Киттель (1996). op. соч . п. 216. ISBN. 978-0-471-11181-8.
^ а б Грин, Массачусетс (1990). «Собственная концентрация, эффективные плотности состояний и эффективная масса в кремнии». Журнал прикладной физики . 67 (6): 2944–2954. Bibcode : 1990JAP .... 67.2944G . DOI : 10.1063 / 1.345414 .
^ «Эффективная масса в полупроводниках» . Колорадский университет электротехники, вычислительной техники и энергетики . Проверено 23 июля 2016 .
↑ Виктор Ариэль; Амир Натан (2012). «Эффективная масса электрона в графене». arXiv : 1206.6100 [ Physics.gen -ph ].
^ а б в Грин, Массачусетс (1990). «Собственная концентрация, эффективные плотности состояний и эффективная масса в кремнии». Журнал прикладной физики . 67 (6): 2944–2954. Bibcode : 1990JAP .... 67.2944G . DOI : 10.1063 / 1.345414 .
^ SZ Sze, Физика полупроводниковых приборов , ISBN 0-471-05661-8 .
^ WA Harrison, Электронная структура и свойства твердых тел , ISBN 0-486-66021-4 .
^ На этом сайте приведены эффективные массы кремния при разных температурах.
^ М. Шуберт, Инфракрасная эллипсометрия на структурах полупроводникового слоя: фононы, плазмоны и поляритоны , ISBN 3-540-23249-4 .
^ Шуберт, М .; Kuehne, P .; Даракчиева, В .; Хофманн, Т. (2016). «Оптический эффект Холла - описание модели: учебное пособие». Журнал Оптического общества Америки A . 33 (8): 1553–68. Bibcode : 2016JOSAA..33.1553S . DOI : 10.1364 / JOSAA.33.001553 . PMID 27505654 .
^ Син, Г. (2017). «Электронная функция пригодности для экранирования полупроводников как термоэлектрических материалов». Материалы физического обзора . 1 (6): 065405. arXiv : 1708.04499 . Bibcode : 2017PhRvM ... 1f5405X . DOI : 10.1103 / PhysRevMaterials.1.065405 .
^ Сильвейринья, MRG; Энгета, Н. (2012). «Трансформационная электроника: настройка эффективной массы электронов» . Physical Review B . 86 (16): 161104. arXiv : 1205.6325 . Bibcode : 2012PhRvB..86p1104S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.86.161104 .
^ Khamehchi, К. (2017). "Гидродинамика отрицательной массы в конденсате Бозе-Эйнштейна с спин-орбитальной связью". Письма с физическим обзором . 118 (15): 155301. arXiv : 1612.04055 . Bibcode : 2017PhRvL.118o5301K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.118.155301 . PMID 28452531 .

Ссылки [ править ]

Пастори Парравичини, Г. (1975). Электронные состояния и оптические переходы в твердых телах . Pergamon Press . ISBN 978-0-08-016846-3. Эта книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением расчетов и экспериментов.
Пекар С. Метод эффективных масс электронов в кристаллах // Журн. Эксп. Теор. Физ. 16 , 933 (1946).

Внешние ссылки [ править ]

Архив NSM

[1] Киттель, Введение в физику твердого тела, 8-е издание, стр. 194-196

[Kittel1-2] Чарльз Киттель (1996). op. соч . п. 216. ISBN. 978-0-471-11181-8.

[Green-3] а б Грин, Массачусетс (1990). «Собственная концентрация, эффективные плотности состояний и эффективная масса в кремнии». Журнал прикладной физики . 67 (6): 2944–2954. Bibcode : 1990JAP .... 67.2944G . DOI : 10.1063 / 1.345414 .

[4] «Эффективная масса в полупроводниках» . Колорадский университет электротехники, вычислительной техники и энергетики . Проверено 23 июля 2016 .

[Ariel-Natan-5] Виктор Ариэль; Амир Натан (2012). «Эффективная масса электрона в графене». arXiv : 1206.6100 [ Physics.gen -ph ].

[green-6] а б в Грин, Массачусетс (1990). «Собственная концентрация, эффективные плотности состояний и эффективная масса в кремнии». Журнал прикладной физики . 67 (6): 2944–2954. Bibcode : 1990JAP .... 67.2944G . DOI : 10.1063 / 1.345414 .

[7] SZ Sze, Физика полупроводниковых приборов , ISBN 0-471-05661-8 .

[8] WA Harrison, Электронная структура и свойства твердых тел , ISBN 0-486-66021-4 .

[9] ^ На этом сайте приведены эффективные массы кремния при разных температурах.

[10] М. Шуберт, Инфракрасная эллипсометрия на структурах полупроводникового слоя: фононы, плазмоны и поляритоны , ISBN 3-540-23249-4 .

[11] Шуберт, М .; Kuehne, P .; Даракчиева, В .; Хофманн, Т. (2016). «Оптический эффект Холла - описание модели: учебное пособие». Журнал Оптического общества Америки A . 33 (8): 1553–68. Bibcode : 2016JOSAA..33.1553S . DOI : 10.1364 / JOSAA.33.001553 . PMID 27505654 .

[Xing-12] Син, Г. (2017). «Электронная функция пригодности для экранирования полупроводников как термоэлектрических материалов». Материалы физического обзора . 1 (6): 065405. arXiv : 1708.04499 . Bibcode : 2017PhRvM ... 1f5405X . DOI : 10.1103 / PhysRevMaterials.1.065405 .

[13] Сильвейринья, MRG; Энгета, Н. (2012). «Трансформационная электроника: настройка эффективной массы электронов» . Physical Review B . 86 (16): 161104. arXiv : 1205.6325 . Bibcode : 2012PhRvB..86p1104S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.86.161104 .

[14] Khamehchi, К. (2017). "Гидродинамика отрицательной массы в конденсате Бозе-Эйнштейна с спин-орбитальной связью". Письма с физическим обзором . 118 (15): 155301. arXiv : 1612.04055 . Bibcode : 2017PhRvL.118o5301K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.118.155301 . PMID 28452531 .

[1]