Эйкональное приближение

В теоретической физике , то эйкональное приближение ( греческий εἰκών для подобия, иконки или изображений) является аппроксимативным методом полезен в волнах рассеяния уравнений , которые происходят в оптике , сейсмология , квантовая механика , квантовая электродинамика и расширение парциальной волны .

Неофициальное описание [ править ]

Главное преимущество приближения эйконала состоит в том, что уравнения сводятся к дифференциальному уравнению с одной переменной. Это сокращение до одной переменной является результатом приближения прямой линии или приближения эйконала, которое позволяет нам выбрать прямую линию как особое направление.

Отношение к приближению ВКБ [ править ]

Первые шаги, связанные с приближением эйконала в квантовой механике, очень тесно связаны с приближением ВКБ для одномерных волн. Метод ВКБ, как и приближение эйконала, сводит уравнения к дифференциальному уравнению с одной переменной. Но сложность приближения ВКБ состоит в том, что эта переменная описывается траекторией частицы, что в общем случае является сложным.

Официальное описание [ править ]

Используя приближение ВКБ, мы можем записать волновую функцию рассеянной системы в терминах действия S :

${\ Displaystyle \ Psi = е ^ {iS / {\ hbar}}}$

Подставляя волновую функцию Ψ в уравнение Шредингера без наличия магнитного поля, получаем

${\ displaystyle - {\ frac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} {\ nabla} ^ {2} \ Psi = (EV) \ Psi}$

${\ displaystyle - {\ frac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} {\ nabla} ^ {2} {e ^ {iS / {\ hbar}}} = (EV) e ^ {iS / {\ hbar}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} {(\ nabla S)} ^ {2} - {\ frac {i \ hbar} {2m}} {\ nabla} ^ {2} S = EV}$

Запишем S в виде степенного ряда по ħ

${\ displaystyle S = S_ {0} + {\ frac {\ hbar} {i}} S_ {1} + ...}$

Для нулевого ордера:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} {(\ nabla S_ {0})} ^ {2} = EV}$

Если рассматривать одномерный случай, то .${\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ rightarrow {\ partial _ {z}} ^ {2}}$

Получаем дифференциальное уравнение с граничным условием :

${\displaystyle {\frac {S(z=z_{0})}{\hbar }}=kz_{0}}$

для , .${\displaystyle V\rightarrow 0}$${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {S_{0}}{\hbar }}={\sqrt {k^{2}-2mV/{\hbar }^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {S_{0}(z)}{\hbar }}=kz-{\frac {m}{{\hbar }^{2}k}}\int _{-\infty }^{z}{Vdz'}}$

См. Также [ править ]

• Уравнение эйконала
• Принцип соответствия
• Принцип наименьшего действия

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

• [1] Приближение Эйконала К.В. Шаджеш, факультет физики и астрономии, Университет Оклахомы

Дальнейшее чтение [ править ]

• Р. Р. Дубей (1995). Сравнение точного решения с приближением Эйконала для упругого рассеяния тяжелых ионов (3-е изд.). НАСА.
• В. Цянь; Х. Наруми; Н. Дайгаку. П. Кенкюдзё (1989). Эйкональное приближение в версии парциальных волн (3-е изд.). Нагоя.
• М. Леви; Дж. Сучер (1969). «Приближение Эйконала в квантовой теории поля» . Phys. Ред . Мэриленд, США. Bibcode : 1969PhRv..186.1656L . DOI : 10.1103 / PhysRev.186.1656 .
• И. Т. Тодоров (1970). «Квазипотенциальное уравнение, соответствующее приближению релятивистского эйконала» . Phys. Rev. D . Нью-Джерси, США. Полномочный код : 1971PhRvD ... 3.2351T . DOI : 10.1103 / PhysRevD.3.2351 . Архивировано из оригинала на 2013-02-23.
• Д. Р. Харрингтон (1969). "Многократное рассеяние, приближение Глаубера и приближение эйконала вне оболочки" . Phys. Ред . Нью-Джерси, США. Bibcode : 1969PhRv..184.1745H . DOI : 10.1103 / PhysRev.184.1745 .