Запись означает , что элементы множества А являются числа 1, 2, 3 и 4. Наборы элементов А , например , являются подмножествами из A .
Наборы сами могут быть элементами. Например, рассмотрим набор . Элементами B не являются 1, 2, 3 и 4. Скорее, есть только три элемента B , а именно числа 1 и 2 и множество .
Элементы набора могут быть любыми. Например, это набор, элементами которого являются красный , зеленый и синий цвета .
Обозначения и терминология
Отношение «является элементом», называемый также множество членов , обозначается символом «Е». Пишу
означает, что « x является элементом A ». [1] [2] Эквивалентные выражения: « x является членом A », « x принадлежит A », « x находится в A » и « x лежит в A ». Выражения « включает е » и « содержит й » также используется для обозначения членов набора, хотя некоторые авторы используют их для обозначения вместо « х является подмножеством в А ».[3] Логик Джордж Булоснастоятельно рекомендуется, чтобы «содержит» использовалось только для членства, а «включает» - только для отношения подмножества. [4]
Количество элементов в конкретном наборе - это свойство, известное как мощность ; неформально это размер набора. [6] В приведенных выше примерах мощность множества A равна 4, в то время как мощность множества B и множества C равны 3. Бесконечное множество - это множество с бесконечным числом элементов, а конечное множество - это множество с конечным числом элементов. Приведенные выше примеры являются примерами конечных множеств. Примером бесконечного множества является множество натуральных чисел {1, 2, 3, 4, ...}.
Примеры
Используя определенные выше наборы, а именно A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} и C = {красный, зеленый, синий}, верны следующие утверждения:
^ Вайсштейн, Эрик В. «Элемент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 .
↑ Эрик Шехтер (1997). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса . ISBN 0-12-622760-8.п. 12
^ Джордж Булос (4 февраля 1992). 24.243 Классическая теория множеств (лекция) (выступление). Массачусетский технологический институт .
^ a b Кеннеди, ХК (июль 1973 г.). «Что Рассел узнал от Пеано» . Журнал формальной логики Нотр-Дам . Издательство Университета Дьюка. 14 (3): 367–372. DOI : 10.1305 / ndjfl / 1093891001 . Руководство по ремонту 0319684 .
^ "Наборы - Элементы | Блестящая вики по математике и науке" . brilliant.org . Проверено 10 августа 2020 .
дальнейшее чтение
Халмос, Пол Р. (1974) [1960], Наивная теория множеств , Тексты для студентов по математике (издание в твердом переплете), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6 - «Наивный» означает, что это не аксиоматизировано полностью, не то, что это глупо или просто (трактовка Халмоса - тоже).
Jech, Thomas (2002), "Теория множеств" , Стэнфордская энциклопедия философии , Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет
Суппес, Патрик (1972) [1960], Теория аксиоматических множеств , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4 - И понятие множества (совокупности членов), членства или элементарной принадлежности, аксиома расширения, аксиома разделения и аксиома объединения (Суппес называет ее аксиомой суммы) необходимы для более глубокого понимания " установить элемент ".