Эллипсоида является поверхностью , которая может быть получена из сферы путем деформации его при помощи направленных скейлингов , или в более общем случае , из аффинного преобразования .
Эллипсоид - это квадратичная поверхность ; то есть поверхность , которая может быть определена как нулевое множество о наличии полинома степени два в трех переменная. Среди квадратичных поверхностей эллипсоид характеризуется одним из двух следующих свойств. Каждое плоское поперечное сечение является либо эллипсом , либо пустым, либо сводится к одной точке (это объясняет название, означающее «подобный эллипсу»). Он ограничен , а значит, может быть заключен в достаточно большую сферу.
Эллипсоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии, которые пересекаются в центре симметрии , называемом центром эллипсоида. Эти отрезки , которые разделяются на оси симметрии по эллипсоида называются главными осями , или просто осей эллипсоида. Если три оси имеют разную длину, эллипсоид называется трехосным или редко разносторонним , а оси определены однозначно.
Если две оси имеют одинаковую длину, то эллипсоид представляет собой эллипсоид вращения , также называемый сфероидом . В этом случае эллипсоид инвариантен относительно вращения вокруг третьей оси, поэтому существует бесконечное множество способов выбора двух перпендикулярных осей одинаковой длины. Если третья ось короче, эллипсоид представляет собой сплюснутый сфероид ; если длиннее, то это вытянутый сфероид . Если три оси имеют одинаковую длину, эллипсоид представляет собой сферу.
Стандартное уравнение [ править ]
Используя декартову систему координат, в которой начало координат является центром эллипсоида, а оси координат являются осями эллипсоида, неявное уравнение эллипсоида имеет стандартную форму
где a , b , c - положительные действительные числа .
Точки ( a , 0, 0) , (0, b , 0) и (0, 0, c ) лежат на поверхности. Отрезки от начала координат до этих точек называются главными полуосями эллипсоида, потому что a , b , c составляют половину длины главных осей. Они соответствуют большой полуоси и малой полуоси в качестве эллипса .
Если у кого-то есть сплюснутый сфероид ; если у кого-то есть вытянутый сфероид ; если есть сфера .
Параметризация [ править ]
Эллипсоид можно параметризовать несколькими способами, которые проще выразить, если оси эллипсоида совпадают с осями координат. Обычный выбор
куда
Эти параметры можно интерпретировать как сферические координаты , где - полярный угол, а - азимутальный угол точки ( x , y , z ) эллипсоида. [1]
Измерение от центра, а не от полюса,
куда
- это уменьшенная широта , параметрическая широта или эксцентрическая аномалия, а также азимут или долгота.
Измерение углов непосредственно к поверхности эллипсоида, а не к описанной сфере,
куда
будет геоцентрической широтой на Земле и азимутом или долготой. Это истинные сферические координаты с началом в центре эллипсоида. [ необходима цитата ]
Для геодезии чаще всего используется геодезическая широта , угол между вертикалью и экваториальной плоскостью. Геодезическая широта не определяется для обычного эллипсоида, потому что она зависит от долготы.
Объем [ править ]
Объем , ограниченный эллипсоида
В терминах главных диаметров A , B , C (где A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ) объем равен
- .
Это уравнение сводится к уравнению объема сферы, когда все три эллиптических радиуса равны, и к уравнению сплющенного или вытянутого сфероида, когда два из них равны.
Объем эллипсоида является объемом в ограниченном эллиптическом цилиндре , а объем вписанной коробки. В объемах этих вписанные и разграниченные коробки соответственно:
Площадь [ править ]
Площадь поверхности обычного (трехосного) эллипсоида равна [2] [3]
куда
и где F ( φ , k ) и E ( φ , k ) - неполные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. [4]
Площадь поверхности эллипсоида вращения (или сфероида) может быть выражена через элементарные функции :
или же
или же
и
которые, как следует из основных тригонометрических тождеств, являются эквивалентными выражениями (т.е. формулу для можно использовать для вычисления площади поверхности вытянутого эллипсоида и наоборот). В обоих случаях е можно снова определить как эксцентриситет эллипса, образованного поперечным сечением оси симметрии. (См. Эллипс ). Вывод этих результатов можно найти в стандартных источниках, например Mathworld . [5]
Примерная формула [ править ]
Здесь p ≈ 1,6075 дает относительную ошибку не более 1,061%; [6] значение p =8/5= 1,6 оптимально для эллипсоидов, близких к сферической, с относительной погрешностью не более 1,178%.
В «плоском» пределе c, намного меньшем, чем a , b , площадь составляет примерно 2π ab , что эквивалентно p ≈ 1,5850 .
Сечения самолета [ править ]
Свойства [ править ]
Пересечение плоскости и сферы представляет собой окружность (либо сводится к одной точке, либо пусто). Любой эллипсоид является изображением единичной сферы при некотором аффинном преобразовании, а любая плоскость является изображением некоторой другой плоскости при таком же преобразовании. Итак, поскольку аффинные преобразования преобразуют круги в эллипсы, пересечение плоскости с эллипсоидом является эллипсом, единственной точкой или пусто. [7] Очевидно, сфероиды содержат круги. Это также верно, но менее очевидно, для трехосных эллипсоидов (см. Круглый раздел ).
Определение эллипса плоского сечения [ править ]
Дано: эллипсоид и плоскость с уравнением, которые имеют общий эллипс.
Требуется: три вектора (центр) и (сопряженные векторы), такие, что эллипс можно представить параметрическим уравнением
- (см. эллипс ).
Решение: масштабирование преобразует эллипсоид на единичную сферу и данную плоскость на плоскость с уравнением . Позвольте быть нормальная форма Гессе новой плоскости и ее единичный нормальный вектор. Следовательно , это центр окружности пересечения и ее радиус (см) схема.
Где , пусть (Плоскость горизонтальная!)
Где пусть
В любом случае векторы ортогональны, параллельны плоскости пересечения и имеют длину (радиус окружности). Следовательно, окружность пересечения может быть описана параметрическим уравнением
Обратное масштабирование (см. Выше) преобразует единичную сферу обратно в эллипсоид, и векторы отображаются на векторы , которые требовались для параметрического представления эллипса пересечения.
Как найти вершины и полуоси эллипса, описано в эллипсе .
Пример: на диаграммах показан эллипсоид с полуосями, пересекаемый плоскостью.
Конструкция булавок и ниток [ править ]
Конструкция эллипсоида в виде булавок и струн - это передача идеи построения эллипса с использованием двух булавок и веревки (см. Диаграмму).
Построение "кегли и струны" эллипсоида вращения дается конструкцией вращающегося эллипса "кегли".
Построение точек трехосного эллипсоида сложнее. Первые идеи принадлежат шотландскому физику Дж. К. Максвеллу (1868 г.). [8] Основные исследования и распространение на квадрики были выполнены немецким математиком О. Штауде в 1882, 1886 и 1898 годах. [9] [10] [11] Описание конструкции эллипсоидов и гиперболоидов в виде булавок и струн приведено ниже. содержится в книге « Геометрия и воображение», написанной также Д. Гильбертом и С. Фоссеном [12] .
Этапы строительства [ править ]
- Выберите эллипс и гиперболу , которые представляют собой пару фокусных коник :
- Эллипс: и
- Гипербола:
с вершинами и фокусами эллипса
- Прикрепите один конец нити к вершине, а другой - к фокусу . Строка хранится туго в точке с положительной y- и Z-координат, например , что строка проходит от до позади верхней части гиперболы (см схему) и может свободно скользить по гиперболы. Часть струны от до проходит и скользит перед эллипсом. Строка проходит через ту точку гиперболы, для которой расстояние над любой точкой гиперболы минимально. Аналогичное утверждение для второй части строки и эллипса также должно быть верным.
- Тогда: - точка эллипсоида с уравнением
- и
- Остальные точки эллипсоида могут быть построены подходящей заменой струны на фокальных кониках.
Полуоси [ править ]
Уравнения для полуосей эллипсоида сгенерированного могут быть получены с помощью специального выбора для точки : .
В нижней части диаграммы показаны: - фокусы эллипса в плоскости xy. Следовательно, она конфокальна данному эллипсу, а длина струны равна . Решение для выходов: . Дальше больше: .
Из верхней диаграммы можно получить: фокусы эллипса (эллипсоида) в плоскости xz и уравнение .
Converse [ править ]
Если, наоборот, трехосный эллипсоид задается его уравнением, то из уравнений в шаге 3 можно вывести параметры для конструкции из булавок и струн.
Конфокальные эллипсоиды [ править ]
Если это эллипсоид конфокальной , чтобы с квадратов его полуосей
то из уравнений
обнаруживается, что соответствующие фокальные коники, используемые для конструкции из булавок и струн, имеют те же полуоси, что и эллипсоид . Поэтому (аналогично фокусам эллипса) фокальные коники 3-осевого эллипсоида рассматриваются как (бесконечное множество) фокусов и называются фокальными кривыми эллипсоида. [13]
Обратное утверждение также верно: если кто-то выбирает вторую строку длины и определяет, тогда уравнения действительны, что означает, что два эллипсоида конфокальны.
Предельный случай, эллипсоид вращения [ править ]
В случае одного получает , что означает: фокальные эллипс вырождается в отрезок прямой и фокальной гиперболы коллапсирует до двух бесконечных отрезков , на оси абсцисс. Эллипсоид вращательно-симметричен с осью x как осью вращения и .
Свойства фокальной гиперболы [ править ]
- Истинная кривая
- Если смотреть на эллипсоид с внешней точки его фокальной гиперболы, то он кажется сферой, то есть видимой формой является круг. Или эквивалент: касательные к эллипсоиду, содержащему точку, являются линиями кругового конуса, ось вращения которого является касательной к гиперболе в точке . [14] [15] Если позволить центру исчезнуть в бесконечности, то получится ортогональная параллельная проекция с соответствующей асимптотой фокальной гиперболы в качестве направления. Истинная кривые форм (точки касания) на эллипсоиде мкг не круга!В нижней части диаграммы слева показана параллельная проекция эллипсоида (полуоси: 60, 40, 30) вдоль асимптоты, а справа центральная проекция с центром и главной точкой на касательной к гиперболе в точке . ( является основанием перпендикуляра от на плоскость изображения.) Для обеих проекций видимая форма представляет собой круг. В параллельном случае образ начала координат - это центр окружности, в центральном случае главная точка - это центр.
- Пупочные точки
- Фокальная гипербола пересекает эллипсоид в его 4 омбилических точках . [16]
Свойство фокального эллипса [ править ]
Фокусное эллипсом вместе с его внутренней частью можно рассматривать как предельную поверхность (бесконечно тонкий эллипсоид) пучок конфокальных эллипсоидов , определенный для . Для предельного случая получаем
В общем положении [ править ]
Как квадрик [ править ]
В более общем смысле, произвольно ориентированный эллипсоид с центром в точке v определяется решениями x уравнения
где A - положительно определенная матрица, а x , v - векторы .
В собственных векторах из А определяют главные оси эллипсоида и собственные значения из A являются обратными квадратами полуосей: , и . [17] Обратимое линейное преобразование, примененное к сфере, дает эллипсоид, который может быть приведен к указанной выше стандартной форме подходящим вращением , что является следствием полярного разложения (см. Также спектральную теорему ). Если линейное преобразование представлено симметричной матрицей 3 на 3, то собственные векторы матрицы ортогональны (в силу спектральной теоремы) и представляют направления осей эллипсоида; длины полуосей вычисляются из собственных значений. Сингулярное разложение и полярное разложение матричные разложения тесно связаны с этими геометрическими наблюдениями.
Параметрическое представление [ править ]
Ключом к параметрическому представлению эллипсоида в общем положении является альтернативное определение:
- Эллипсоид - это аффинное изображение единичной сферы.
Аффинное преобразование может быть представлено в виде перевода с вектором и регулярной 3 × 3-матрицей :
- ,
где - векторы-столбцы матрицы .
Параметрическое представление эллипсоида общего положения может быть получено параметрическим представлением единичной сферы (см. Выше) и аффинным преобразованием:
- .
Если векторы образуют ортогональную систему, точки с векторами являются вершинами эллипсоида и главными полуосями.
Вектор нормали к поверхности в точке равен
Для любого эллипсоида существует неявное представление . Если для простоты центр эллипсоида является началом координат, то есть следующее уравнение описывает эллипсоид выше: [18]
Приложения [ править ]
Эллипсоидальная форма находит множество практических применений:
- Геодезия
- Эллипсоид Земли , математическая фигура, приближающая форму Земли.
- Справочный эллипсоид , математическая фигура, аппроксимирующая форму планетных тел в целом.
- Механика
- Эллипсоид Пуансо , геометрический метод для визуализации движения без крутящего момента вращающегося твердого тела .
- Эллипсоид напряжений Ламе , альтернатива кругу Мора для графического представления напряженного состояния в точке.
- Эллипсоид управляемости , используемый для описания свободы движения робота.
- Эллипсоид Якоби , трехосный эллипсоид, образованный вращающейся жидкостью.
- Кристаллография
- Индексный эллипсоид , диаграмма эллипсоида, изображающая ориентацию и относительную величину показателей преломления в кристалле.
- Тепловой эллипсоид , эллипсоиды, используемые в кристаллографии для обозначения величин и направлений тепловых колебаний атомов в кристаллических структурах.
- Освещение
- Эллипсоидальный прожектор с отражателем
- Прожектор с эллипсоидальным рефлектором
- Лекарство
- Измерения , полученные из МРТ визуализации простаты могут быть использованы для определения объема железы с помощью аппроксимации L × Ш × × 0,52 (где 0,52 приблизительныйπ/6) [19]
Динамические свойства [ править ]
Масса эллипсоида равномерной плотностью р:
В моменты инерции эллипсоида однородной плотности являются:
Поскольку эти моменты инерции уменьшаются до моментов для сферы однородной плотности.
Эллипсоиды и кубоиды стабильно вращаются вдоль своей большой или малой оси, но не вдоль средней оси. Это можно увидеть экспериментально, бросив ластик с некоторым вращением. Кроме того, соображения момента инерции означают, что вращение вдоль большой оси более легко нарушить, чем вращение вдоль малой оси. [20]
Одним из практических последствий этого является то, что разносторонние астрономические тела, такие как Хаумеа, обычно вращаются вдоль своих малых осей (как и Земля, которая просто сплюснута); кроме того, из-за приливной блокировки спутники находятся на синхронной орбите, такие как орбита Мимаса, с их большой осью, выровненной радиально по отношению к их планете.
Вращающееся тело из однородной самогравитирующей жидкости примет форму сфероида Маклорена (сплюснутый сфероид) или эллипсоида Якоби (разносторонний эллипсоид), когда оно находится в гидростатическом равновесии и при умеренных скоростях вращения. При более быстром вращении можно ожидать неэллипсоидальной грушевидной или яйцевидной формы, но они нестабильны.
Гидродинамика [ править ]
Эллипсоид - это наиболее общая форма, для которой можно было рассчитать ползущий поток жидкости вокруг твердого тела. В расчетах учитывается сила, необходимая для перемещения в жидкости и вращения в ней. Приложения включают определение размера и формы больших молекул, скорости опускания мелких частиц и способности микроорганизмов плавать . [21]
По вероятности и статистике [ править ]
В эллиптических распределениях , обобщающие многомерное нормальное распределение и используются в области финансов , могут быть определены в терминах их функций плотности . Когда они существуют, функции плотности f имеют структуру:
где - масштабный коэффициент, - -мерный случайный вектор-строка с медианным вектором (который также является средним вектором, если последний существует), является положительно определенной матрицей, которая пропорциональна ковариационной матрице, если последняя существует, и является функцией отображение неотрицательных действительных чисел на неотрицательные действительные числа, дающее конечную площадь под кривой. [22] Многомерное нормальное распределение является частным случаем квадратичной формы .
Таким образом, функция плотности представляет собой скалярное преобразование квадратичного выражения в скалярное преобразование. Более того, уравнение для любой поверхности изоплотности утверждает, что выражение квадрики равно некоторой константе, специфичной для этого значения плотности, а поверхность изоплотности является эллипсоидом.
В высших измерениях [ править ]
Hyperellipsoid или эллипсоид размерности п в евклидове пространства размерности п + 1 , является квадратичной гиперповерхность определяется полиномом второй степени , который имеет однородную часть второй степени , которая является положительно определенной квадратичной формой .
Можно также определить гиперэллипсоид как изображение сферы при обратимом аффинном преобразовании . Спектральная теорема снова может быть использована для получения стандартного уравнения вида
Объем hyperellipsoid может быть получен путем замены пути в формуле для объема гиперсферы .
См. Также [ править ]
- Эллипсоидальный купол
- Эллипсоидный метод
- Эллипсоидальные координаты
- Эллиптическое распределение в статистике
- Уплощение , также называемое эллиптичностью и сплющенностью , является мерой сжатия круга или сферы по диаметру с образованием эллипса или эллипсоида вращения (сфероида) соответственно.
- Фокалоид , оболочка, ограниченная двумя концентрическими софокусными эллипсоидами.
- Геодезические на эллипсоиде
- Геодезические данные , гравитационная Земля, смоделированная наилучшим образом подобранным эллипсоидом.
- Гомеоид , оболочка, ограниченная двумя концентрическими одинаковыми эллипсоидами.
- Список поверхностей
Заметки [ править ]
- ^ Kreyszig (1972 , стр. 455-456)
- ^ FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert и CW Clark, редакторы, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions ( Cambridge University Press ), доступно в Интернете по адресу «Архивная копия» . Архивировано 02 декабря 2012 года . Проверено 8 января 2012 .CS1 maint: archived copy as title (link) (см. следующую ссылку).
- ^ NIST (Национальный институт стандартов и технологий) на http://www.nist.gov Архивировано 17 июня 2015 г. в Wayback Machine.
- ^ http://dlmf.nist.gov/19.2
- ^ W., Weisstein, Эрик. «Вытянутый сфероид» . mathworld.wolfram.com . Архивировано 3 августа 2017 года . Проверено 25 марта 2018 года .
- ↑ Окончательные ответы. Архивировано 30 сентября 2011 г. в Wayback Machine Джерардом П. Мишоном (13 мая 2004 г.). См. Формулы Томсена и комментарии Кантрелла.
- ^ Альберт, Абрахам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, p. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
- ^ W. Böhm: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung , Математика. Nachrichten 13, 1955, с. 151
- ^ Staude, О .: Ueber Fadenconstructionen де Ellipsoides . Математика. Анна. 20, 147–184 (1882)
- ^ Staude, O .: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Классы. Математика. Анна. 27, 253–271 (1886).
- ^ Staude, O .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Анна. 50, 398 - 428 (1898).
- ^ D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Геометрия и воображение , Chelsea New York, 1952, ISBN 0-8284-1087-9 , стр. 20.
- ↑ O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes , Teubner, Leipzig 1861, p. 287
- ↑ D. Hilbert & S Cohn-Vossen: Geometry and the Imagination , p. 24
- ↑ O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes , стр. 301
- ↑ W. Blaschke: Analytische Geometrie , стр. 125
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26.06.2013 . Проверено 12 октября 2013 . CS1 maint: archived copy as title (link) С. 17–18.
- ^ Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Архивировано 10 ноября 2013 г. в университете Wayback Machine, Дармштадт (PDF; 3,4 МБ), S. 88.
- ^ Безинк, Адам; и другие. (2018). «Определение объема простаты: сравнение современных методов». Академическая радиология . 25 (12): 1582–1587. DOI : 10.1016 / j.acra.2018.03.014 . PMID 29609953 .
- Перейти ↑ Goldstein, HG (1980). Классическая механика , (2-е издание) Глава 5.
- ^ Dusenbery, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс ISBN 978-0-674-03116-6 .
- ^ Фрам, Г. Юнкер, М., & Szimayer, A. (2003). Эллиптические связки: применимость и ограничения. Статистика и вероятностные письма, 63 (3), 275–286.
Ссылки [ править ]
- Крейсциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме эллипсоидов . |
- " Эллипсоид " Джеффа Брайанта, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
- Эллипсоид и квадратичная поверхность , MathWorld .