Эллипсоидальные координаты - это трехмерная ортогональная система координат, которая обобщает двумерную эллиптическую систему координат . В отличие от большинства трехмерных ортогональных систем координат, которые имеют поверхности с квадратичными координатами , эллипсоидальная система координат основана на конфокальных квадриках . ( λ , μ , ν ) {\ Displaystyle (\ лямбда, \ му, \ ню)}
Основные формулы [ править ] Декартовы координаты могут быть получены из эллипсоидальных координат с помощью уравнений ( Икс , у , z ) {\ Displaystyle (х, у, г)} ( λ , μ , ν ) {\ Displaystyle (\ лямбда, \ му, \ ню)}
Икс 2 знак равно ( а 2 + λ ) ( а 2 + μ ) ( а 2 + ν ) ( а 2 - б 2 ) ( а 2 - c 2 ) {\ displaystyle x ^ {2} = {\ frac {\ left (a ^ {2} + \ lambda \ right) \ left (a ^ {2} + \ mu \ right) \ left (a ^ {2} + \ nu \ right)} {\ left (a ^ {2} -b ^ {2} \ right) \ left (a ^ {2} -c ^ {2} \ right)}}} у 2 знак равно ( б 2 + λ ) ( б 2 + μ ) ( б 2 + ν ) ( б 2 - а 2 ) ( б 2 - c 2 ) {\ displaystyle y ^ {2} = {\ frac {\ left (b ^ {2} + \ lambda \ right) \ left (b ^ {2} + \ mu \ right) \ left (b ^ {2} + \ nu \ right)} {\ left (b ^ {2} -a ^ {2} \ right) \ left (b ^ {2} -c ^ {2} \ right)}}} z 2 знак равно ( c 2 + λ ) ( c 2 + μ ) ( c 2 + ν ) ( c 2 - б 2 ) ( c 2 - а 2 ) {\ displaystyle z ^ {2} = {\ frac {\ left (c ^ {2} + \ lambda \ right) \ left (c ^ {2} + \ mu \ right) \ left (c ^ {2} + \ nu \ right)} {\ left (c ^ {2} -b ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} -a ^ {2} \ right)}}} где следующие ограничения применяются к координатам
- λ < c 2 < - μ < б 2 < - ν < а 2 . {\ displaystyle - \ lambda <c ^ {2} <- \ mu <b ^ {2} <- \ nu <a ^ {2}.} Следовательно, поверхности постоянных являются эллипсоидами λ {\displaystyle \lambda }
x 2 a 2 + λ + y 2 b 2 + λ + z 2 c 2 + λ = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,} а поверхности константы - это гиперболоиды одного листа μ {\displaystyle \mu }
x 2 a 2 + μ + y 2 b 2 + μ + z 2 c 2 + μ = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,} поскольку последний член в левой части отрицательный, а поверхности константы являются гиперболоидами двух листов ν {\displaystyle \nu }
x 2 a 2 + ν + y 2 b 2 + ν + z 2 c 2 + ν = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1} потому что два последних члена слева отрицательны.
Ортогональная система квадрик, используемая для эллипсоидальных координат, - это софокусные квадрики .
Коэффициенты масштабирования и дифференциальные операторы [ править ] Для краткости в приведенных ниже уравнениях введем функцию
S ( σ ) = d e f ( a 2 + σ ) ( b 2 + σ ) ( c 2 + σ ) {\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)} где может представлять любую из трех переменных . Используя эту функцию, можно записать масштабные коэффициенты σ {\displaystyle \sigma } ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
h λ = 1 2 ( λ − μ ) ( λ − ν ) S ( λ ) {\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}} h μ = 1 2 ( μ − λ ) ( μ − ν ) S ( μ ) {\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}} h ν = 1 2 ( ν − λ ) ( ν − μ ) S ( ν ) {\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}} Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен
d V = ( λ − μ ) ( λ − ν ) ( μ − ν ) 8 − S ( λ ) S ( μ ) S ( ν ) d λ d μ d ν {\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu } а лапласиан определяется как
∇ 2 Φ = 4 S ( λ ) ( λ − μ ) ( λ − ν ) ∂ ∂ λ [ S ( λ ) ∂ Φ ∂ λ ] + {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +} 4 S ( μ ) ( μ − λ ) ( μ − ν ) ∂ ∂ μ [ S ( μ ) ∂ Φ ∂ μ ] + 4 S ( ν ) ( ν − λ ) ( ν − μ ) ∂ ∂ ν [ S ( ν ) ∂ Φ ∂ ν ] {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]} Другие дифференциальные операторы, такие как
и, могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
Библиография [ править ] Морзе PM, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 663. Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN 0-86720-293-9 Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 101–102. LCCN 67025285 . Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров 176 . LCCN 59014456 . Маргенау H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии Moon PH, Спенсер DE (1988). «Эллипсоидальные координаты (η, θ, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е, 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 40 -44 (таблица 1.10). ISBN 0-387-02732-7. Необычное соглашение [ править ] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред (том 8 курса теоретической физики ) (2-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. 19–29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Внешние ссылки [ править ] MathWorld описание конфокальных эллипсоидальных координат Декартово Полярный ( Лог-полярный ) Параболический Биполярный Эллиптический Декартово Цилиндрический Сферический Параболический Параболоидальный Сплюснутая сфероидальная Вытянутый сфероидальный Эллипсоидальный Эллиптический цилиндрический Тороидальный Бисферический Биполярный цилиндрический Коническая 6-сфера
![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {4 {\ sqrt {S (\ lambda)}}} {\ left (\ lambda - \ mu \ right) \ left (\ lambda - \ nu \ right)}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ lambda}} \ left [{\ sqrt {S (\ lambda)}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ lambda}} \ right ] \ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c86d9fdbebb4d9389a534c1850cafb607cb1fe)
![\ frac {4 \ sqrt {S (\ mu)}} {\ left (\ mu - \ lambda \ right) \ left (\ mu - \ nu \ right)} \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ left [\ sqrt {S (\ mu)} \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ mu} \ right] \ + \ \ frac {4 \ sqrt {S (\ nu)}} {\ left ( \ nu - \ lambda \ right) \ left (\ nu - \ mu \ right)} \ frac {\ partial} {\ partial \ nu} \ left [\ sqrt {S (\ nu)} \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ nu} \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27dd38d021f3c354f4904bcd27850e04ddad3f70)
