Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из разложения эмпирического режима )
Перейти к навигации Перейти к поиску

Преобразование Гильберта – Хуанга ( HHT ) - это способ разложить сигнал на так называемые функции внутреннего режима (IMF) вместе с трендом и получить мгновенные данные частоты . Он разработан для работы с нестационарными и нелинейными данными . В отличие от других распространенных преобразований, таких как преобразование Фурье , HHT больше похож на алгоритм (эмпирический подход), который может применяться к набору данных, а не на теоретический инструмент.

Введение [ править ]

Преобразование Гильберта-Хуанга (HHT), обозначенное NASA [ необходима цитата ] , было предложено Norden E. Huang et al. (1996, 1998, 1999, 2003, 2012). Это результат эмпирического разложения по модам (EMD) и спектрального анализа Гильберта (HSA). HHT использует метод EMD для разложения сигнала на так называемые функции внутреннего режима ( IMF ) с трендом и применяет метод HSA к IMF для получения мгновенной частоты.данные. Поскольку сигнал разлагается во временной области, а длина IMF такая же, как у исходного сигнала, HHT сохраняет характеристики изменяющейся частоты. Это важное преимущество HHT, поскольку реальный сигнал обычно имеет несколько причин, возникающих в разных временных интервалах. HHT предоставляет новый метод анализа нестационарных и нелинейных данных временных рядов.

Определение [ править ]

Разложение по эмпирическим модам (EMD) [ править ]

Фундаментальной частью HHT является метод разложения по эмпирическим модам ( EMD ). Разбивая сигналы на различные компоненты, EMD можно сравнить с другими методами анализа, такими как преобразование Фурье и вейвлет-преобразование . Используя метод EMD, любой сложный набор данных можно разложить на конечное и часто небольшое количество компонентов. Эти компоненты образуют полную и почти ортогональную основу исходного сигнала. Кроме того, их можно описать как функции внутреннего режима ( IMF ). [1]

Поскольку первый IMF обычно несет в себе наиболее колеблющиеся (высокочастотные) компоненты, его можно отклонить, чтобы удалить высокочастотные компоненты (например, случайный шум). [2] [3] Алгоритмы сглаживания на основе EMD широко используются при обработке сейсмических данных, где очень востребованы высококачественные сейсмические записи. [4] [5]

Не покидая временной области, EMD адаптивен и очень эффективен. [6] Поскольку разложение основано на локальном характерном временном масштабе данных, оно может применяться к нелинейным и нестационарным процессам. [6]

Функции внутреннего режима (IMF) [ править ]

МВФ определяется как функция, удовлетворяющая следующим требованиям:

  1. Во всем наборе данных количество экстремумов и количество переходов через ноль должно быть равным или отличаться не более чем на единицу.
  2. В любой момент среднее значение огибающей, определяемой локальными максимумами, и огибающей, определяемой локальными минимумами, равно нулю.

Он представляет собой в целом простой колебательный режим в качестве аналога простой гармонической функции. По определению IMF - это любая функция с одинаковым числом экстремумов и пересечений нуля, чьи огибающие симметричны относительно нуля. [6] Это определение гарантирует корректное преобразование Гильберта IMF.

Спектральный анализ Гильберта [ править ]

Спектральный анализ Гильберта (HSA) - это метод исследования мгновенной частоты каждого IMF как функции времени. Конечным результатом является частотно-временное распределение амплитуды (или энергии) сигнала, обозначенное как спектр Гильберта , которое позволяет идентифицировать локализованные особенности.

Методы [ править ]

Разложение по эмпирическим модам (EMD) [ править ]

Иллюстрация процесса отсеивания разложения по эмпирическим модам.

Метод EMD - необходимый шаг для сведения любых данных в набор функций внутреннего режима (IMF), к которым может быть применен спектральный анализ Гильберта .

IMF представляет собой простой колебательный режим в качестве аналога простой гармонической функции, но он гораздо более общий: вместо постоянной амплитуды и частоты в простой гармонической составляющей IMF может иметь переменную амплитуду и частоту по оси времени.

Процедура извлечения IMF называется просеиванием. Процесс просеивания выглядит следующим образом:

  1. Определите все локальные экстремумы в тестовых данных.
  2. Соедините все локальные максимумы по кубическим сплайном линии в верхней огибающей.
  3. Повторите процедуру для локальных минимумов, чтобы получить нижнюю огибающую.

Верхний и нижний конверты должны закрывать все данные между ними. Их средний есть м 1 . Разница между данными и m 1 - это первая составляющая h 1 :

В идеале h 1 должен удовлетворять определению IMF, поскольку конструкция h 1, описанная выше, должна была сделать его симметричным и иметь все максимумы положительные и все минимумы отрицательные. После первого раунда просеивания гребень может стать локальным максимумом . Новые экстремумы, сгенерированные таким образом, фактически обнаруживают правильные моды, утерянные при первоначальном исследовании. В последующем процессе просеивания h 1 можно рассматривать только как прото-IMF. На следующем этапе h 1 обрабатывается как данные:

После повторного просеивания до k раз h 1 становится IMF, то есть

Затем h 1k обозначается как первый компонент данных IMF:

Критерии остановки процесса просеивания [ править ]

Критерий остановки определяет количество шагов просеивания для создания IMF. Ниже приведены четыре существующих критерия остановки:

  • Стандартное отклонение

Этот критерий предложен Huang et al. (1998). Он похож на тест сходимости Коши , и мы определяем сумму разностей SD как

Затем процесс просеивания останавливается, когда SD меньше заданного значения.
  • Критерий числа S

Этот критерий основан на так называемом S-числе, которое определяется как количество последовательных отсевов, для которых количество переходов через нуль и экстремумов равно или не более чем отличается на единицу. В частности, предварительно выбирается S-номер. Процесс отсеивания будет остановлен только в том случае, если для S последовательных отсевов количество переходов через нуль и экстремумов останется неизменным и равно или не будет отличаться максимум на единицу.

  • Пороговый метод

Предложено Риллинг, Flandrin и Гонсалвес, пороговый метод установить два пороговых значения для гарантирования глобально небольшие колебания между тем принимая во внимание локально большие экскурсии. [7]

  • Отслеживание разницы в энергии

Предложенный Ченгом, Ю и Янгом метод отслеживания с разной энергией использует предположение, что исходный сигнал представляет собой композицию ортогональных сигналов, и вычисляет энергию на основе этого предположения. Если результат EMD не является ортогональной базой исходного сигнала, количество энергии будет отличаться от исходной энергии. [8]

После выбора критерия остановки может быть получена первая IMF c 1 . В целом, c 1 должен содержать самую тонкую шкалу или самую короткую составляющую периода сигнала . Затем мы можем отделить c 1 от остальных данных с помощью. Поскольку остаток r 1 все еще содержит вариации за более длительный период в данных, он обрабатывается как новые данные и подвергается тому же процессу просеивания, как описано выше.

Эту процедуру можно повторить для всех последующих r j , и в результате получится

Наконец, процесс просеивания останавливается, когда остаток r n становится монотонной функцией, из которой больше нельзя извлечь IMF. Из приведенных выше уравнений можно вывести, что

Таким образом достигается разложение данных на n-эмпирические режимы. Компоненты EMD обычно имеют физическое значение, поскольку характерные масштабы определяются физическими данными. Flandrin et al. (2003) и Wu and Huang (2004) показали, что EMD эквивалентен банку диадических фильтров. [5] [9]

Спектральный анализ Гильберта [ править ]

Получив компоненты функции собственной моды, мгновенную частоту можно вычислить с помощью преобразования Гильберта . После выполнения преобразования Гильберта для каждого компонента IMF исходные данные могут быть выражены как действительная часть, Real, в следующей форме:

Текущие приложения [ править ]

  • Улучшенный EMD для сигналов ЭКГ : Ахмади и др. [2019] представлен улучшенный EMD и по сравнению с другими типами EMD. Результаты показывают, что предложенный алгоритм не обеспечивает ложных IMF для этих функций и не помещается в бесконечный цикл. Сравнение типов EMD на сигналах ЭКГ (электрокардиографии) показывает, что улучшенный EMD был подходящим алгоритмом для анализа биологических сигналов. [10]
  • Биомедицинские приложения : Huang et al. [1999b] проанализировали давление в легочной артерии у крыс, находящихся в сознании и без ограничений . Pachori (2008) использовал EMD для распознавания приступов и сигналов ЭЭГ без припадков. [11]
  • Неврология : Pigorini et al. [2011] проанализировали реакцию ЭЭГ человека на транскраниальную магнитную стимуляцию; [12] Liang et al. [2005] проанализировали зрительные вызванные потенциалы макак, выполняющих задачу зрительного пространственного внимания.
  • Эпидемиология : Cummings et al. [2004] применили метод EMD для извлечения трехлетнего периодического режима, встроенного во временные ряды вспышек лихорадки денге, зарегистрированных в Таиланде, и оценили скорость распространения вспышек лихорадки денге. Ян и др. [2010] применили метод EMD для выделения подкомпонентов различных нейропсихиатрических эпидемиологических временных рядов, включая связь между сезонным эффектом поиска депрессии в Google [2010], связь между самоубийствами и загрязнением воздуха в Тайбэе [2011] и связь между холодным фронтом и заболеваемостью мигренью в городе Тайбэй [2011].
  • Химия и химическая инженерия : Phillips et al. [2003] исследовали конформационные изменения в броуновской динамике и моделировании молекулярной динамики, используя сравнительный анализ HHT и вейвлет- методов. Wiley et al. [2004] использовали HHT для исследования эффекта обратимой молекулярной динамики с цифровой фильтрацией, которая может усиливать или подавлять определенные частоты движения. Montesinos et al. [2002] применили HHT к сигналам, полученным от стабильности нейронов BWR .
  • Финансовые приложения : Хуанг и др. [2003b] применил HHT к нестационарным финансовым временным рядам и использовал еженедельные данные по ипотечной ставке.
  • Обработка изображений : Hariharan et al. [2006] применил EMD для объединения и улучшения изображений. [13] Чанг и др. [2009] применили улучшенный EMD к распознаванию радужной оболочки глаза, который показал на 100% более высокую скорость вычислений без потери точности, чем исходный EMD. [14]
  • Атмосферная турбулентность : Hong et al. [2010] применил HHT к данным турбулентности, наблюдаемым в стабильном пограничном слое, для разделения турбулентных и нетурбулентных движений. [15]
  • Процессы масштабирования с коррекцией перемежаемости : Huang et al. [2008] обобщил HHT в произвольном порядке, чтобы учесть поправку на перемежаемость процессов масштабирования, и применил этот основанный на HHT метод к данным гидродинамической турбулентности, собранным в лабораторных экспериментах; [16] суточный сток реки; [17] Лагранжева статистика одиночных частиц из прямого численного моделирования; [18] Тан и др., [2014], Поле завихренности двумерной турбулентности; [19] Цю и др. [2016], двумерная бактериальная турбулентность; [20] Ли и Хуанг [2014], Китайская фондовая биржа; [21] Calif et al. [2013], солнечная радиация ,. [22]Исходный код для реализации спектрального анализа Гильберта произвольного порядка можно найти по адресу. [23]
  • Метеорологические и атмосферные приложения : Солсбери и Уимбуш [2002], используя данные индекса Южного колебания, применили метод HHT, чтобы определить, достаточно ли свободны от шума данные Сферы влияния , чтобы можно было делать полезные прогнозы и могут ли быть будущие события южных колебаний Эль-Ниньо предсказано на основе данных SOI [ требуется пояснение ] . Pan et al. [2002] использовали HHT для анализа данных спутникового скаттерометра о ветре над северо-западной частью Тихого океана и сравнили результаты с результатами векторной эмпирической ортогональной функции .
  • Инженерия океана : Schlurmann [2002] представил применение HHT для характеристики нелинейных волн на воде с двух разных точек зрения, используя лабораторные эксперименты. Вельчева [2002] применила HHT к волновым данным прибрежного моря. Ларсен и др. [2004] использовали HHT для характеристики подводной электромагнитной среды и определения временных искусственных электромагнитных помех.
  • Сейсмические исследования : Huang et al. [2001] использовали HHT для разработки спектрального представления данных о землетрясениях . Chen et al. [2002a] использовали HHT для определения дисперсионных кривых поверхностных сейсмических волн и сравнили их результаты с частотно-временным анализом на основе Фурье . Шен и др. [2003] применили HHT к движению земли и сравнили результат HHT со спектром Фурье .
  • Солнечная физика : Накаряков и др. [2010] использовали EMD для демонстрации треугольной формы квазипериодических пульсаций, обнаруженных в жестком рентгеновском и микроволновом излучении, генерируемом во время солнечных вспышек . [24] Барнхарт и Эйхингер [2010] использовали HHT для извлечения периодических компонентов в данных о солнечных пятнах , включая 11-летние циклы Швабе, 22-летние циклы Хейла и ~ 100-летние циклы Глейсберга. [25] Они сравнили свои результаты с традиционным анализом Фурье .
  • Структурные приложения : Quek et al. [2003] иллюстрируют возможность использования HHT в качестве инструмента обработки сигналов для обнаружения аномалии в виде трещины , расслоения или потери жесткости в балках и пластинах на основе физически полученных сигналов распространяющейся волны. Используя HHT, Ли и др. [2003] проанализировали результаты псевдодинамических испытаний двух прямоугольных железобетонных мостовых колонн.
  • Мониторинг состояния : Pines and Salvino [2002] применили HHT для мониторинга состояния конструкций. Ян и др. [2004] использовали HHT для обнаружения повреждений, применяя EMD для извлечения пиков повреждений из-за внезапных изменений жесткости конструкции . Yu et al. [2003] использовал HHT для диагностики неисправностей роликовых подшипников. Парей и Пачори (2012) применили EMD для диагностики неисправностей шестерен. [26]
  • Идентификация системы : Chen и Xu [2002] исследовали возможность использования HHT для определения модальных коэффициентов демпфирования конструкции с близко расположенными модальными частотами и сравнили их результаты с БПФ . Xu et al. [2003] сравнили модальные частоты и коэффициенты демпфирования в различные временные интервалы и при разных ветрах для одного из самых высоких композитных зданий в мире.
  • Распознавание речи : Хуанг и Пан [2006] использовали HHT для определения высоты звука речи. [27]
  • Физика астрономических частиц : Bellini et al. [2014] (коллаборация Borexino), [28] Измерение сезонной модуляции потоков солнечных нейтрино с помощью эксперимента Borexino, Phys. Ред. D 89, 112007 2014 г.

Ограничения [ править ]

Chen и Feng [2003] предложили методику улучшения процедуры HHT. [29] Авторы отметили, что EMD ограничен в различении различных компонентов в узкополосных сигналах. Узкая полоса может содержать либо (а) компоненты , которые имеют соседние частоты или (б) компоненты , которые не являются смежными по частоте , но для которых один из компонентов имеет гораздо более высокую энергетическую интенсивность по сравнению с другими компонентами. Усовершенствованная методика основана на волнах явления биения.

Датиг и Шлюрманн [2004] [30] провели всестороннее исследование характеристик и ограничений HHT с конкретными приложениями к нерегулярным водным волнам . Авторы провели обширное исследование сплайн-интерполяции . Авторы обсуждали использование дополнительных точек, как вперед, так и назад, для определения лучших огибающих. Они также выполнили параметрическое исследование предложенного улучшения и показали значительное улучшение общих вычислений EMD. Авторы отметили, что HHT способен различать изменяющиеся во времени компоненты из любых данных. Их исследование также показало, что HHT может различать движущиеся и несущие волны.

Хуанг и Ву [2008] [31] рассмотрели приложения преобразования Гильберта-Хуанга, подчеркнув, что теоретическая основа HHT является чисто эмпирической, и отметив, что «одним из основных недостатков EMD является смешивание мод». Они также описывают нерешенные открытые проблемы с HHT, которые включают: конечные эффекты EMD, проблемы сплайна, выбор лучшего IMF и уникальность. Хотя ансамбль EMD (EEMD) может помочь смягчить последнее.

Конечный эффект [ править ]

Конечный эффект возникает в начале и в конце сигнала, потому что нет точки перед первой точкой данных и после последней точки данных, которые можно было бы рассматривать вместе. В большинстве случаев эти конечные точки не являются крайними значениями сигнала. При выполнении процесса EMD HHT крайняя огибающая будет расходиться в конечных точках и вызывать значительную ошибку. Эта ошибка искажает форму волны IMF в конечных точках. Кроме того, ошибка в результате разложения накапливается при каждом повторении процесса просеивания. [32] Для решения конечного эффекта в HHT предлагаются различные методы:

  • Метод расширения характеристической волны
  • Метод расширения зеркала
  • Метод расширения данных
  • Метод поиска сходства

Проблема смешивания режимов [ править ]

Проблема смешивания режимов возникает во время процесса EMD. Простая реализация процедуры просеивания приводит к смешиванию мод за счет исправления режима IMF. Конкретный сигнал не может каждый раз разделяться на одни и те же IMF. Эта проблема затрудняет реализацию извлечения признаков, обучения модели и распознавания образов, поскольку функция больше не фиксируется в одном индексе маркировки. Проблем со смешиванием режимов можно избежать, включив в процесс HHT испытание на прерывистость. [33]

  • Метод маскировки
  • Разложение по ансамблю на эмпирические моды

Ансамблевое разложение по эмпирическим модам (EEMD) [ править ]

Предлагаемое ансамблевое разложение по эмпирическим модам разработано следующим образом:

  1. добавить серию белого шума к целевым данным;
  2. разложить данные с добавлением белого шума на IMF;
  3. повторяйте шаги 1 и 2 снова и снова, но каждый раз с разными сериями белого шума; и
  4. получить (ансамбль) средние соответствующих IMF разложений в качестве окончательного результата.

Эффект разложения с использованием EEMD заключается в том, что добавленные серии белого шума компенсируют друг друга, а средние IMF остаются в пределах естественных окон диадических фильтров, что значительно снижает вероятность смешивания режимов и сохраняет диадические свойства.

Сравнение с другими преобразованиями [ править ]

ПреобразоватьФурьеВейвлетГильберта
Основааприориаприориадаптивный
Частотасвертка: глобальная, неопределенностьсвертка: региональная, неопределенностьдифференциация: локальная, достоверность
Презентацияэнергия-частотаэнергия-время-частотаэнергия-время-частота
Нелинейныйнетнетда
Нестационарныйнетдада
Извлечение функцийнетдискретный: нет, непрерывный: дада
Теоретическая базатеория завершенатеория завершенаэмпирический

См. Также [ править ]

  • Преобразование Гильберта
  • Гильбертовый спектральный анализ
  • Спектр Гильберта
  • Мгновенная частота
  • Разложение многомерных эмпирических мод
  • Нелинейный
  • Вейвлет-преобразование
  • преобразование Фурье
  • Огибающая сигнала

Ссылки [ править ]

  1. ^ Ламберт, Макс; Энгрофф, Эндрю; Дайер, Мэтт; Байер, Бен. «Разложение по эмпирическим модам» .
  2. ^ Чен, Янкан; Ма, Цзитао (май – июнь 2014 г.). «Ослабление случайного шума с помощью прогнозирующей фильтрации с разложением в эмпирическом режиме». Геофизика . 79 (3): V81 – V91. Bibcode : 2014Geop ... 79 ... 81С . DOI : 10,1190 / GEO2013-0080.1 .
  3. ^ Чен, Янкан; Чжоу, Чао; Юань, Цзян; Цзинь, Чжаоюй (2014). «Применение разложения эмпирических мод при ослаблении случайного шума сейсмических данных». Журнал сейсморазведки . 23 : 481–495.
  4. ^ Чен, Янкан; Чжан, Гоинь; Ган, Шувэй; Чжан, Чэнлинь (2015). «Улучшение сейсмических отражений с помощью разложения эмпирических мод в уплощенной области». Журнал прикладной геофизики . 119 : 99–105. Bibcode : 2015JAG ... 119 ... 99C . DOI : 10.1016 / j.jappgeo.2015.05.012 .
  5. ^ а б Чен, Янкан (2016). «Структурная фильтрация с разделением по падению с использованием преобразования сейслета и адаптивного эмпирического разложения мод на основе фильтра падения» . Международный геофизический журнал . 206 (1): 457–469. Bibcode : 2016GeoJI.206..457C . DOI : 10,1093 / gji / ggw165 .
  6. ^ a b c Хуан Н.Э. , Шэнь З., Лонг С.Р., Ву М.С., Ши Х.Х., Чжэн К., Йен Северная Каролина, Тунг С.К., Лю Х.Х. (1971). "Разложение эмпирических мод и спектр Гильберта для нелинейного и нестационарного анализа временных рядов". Труды Королевского общества Лондона . 454 (1971): 903–995. Bibcode : 1998RSPSA.454..903H . DOI : 10,1098 / rspa.1998.0193 . S2CID 1262186 . 
  7. ^ Rilling, Габриэль; Фландрин, Патрик; Gon¸calv`es, Пауло (2003). «ОБ ЭМПИРИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ЕГО АЛГОРИТМАХ» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)
  8. ^ Цзюньшэн, Ченг; Dejie, Yu; Ю, Ян (2006). «Исследование критерия функции внутренней моды (IMF) в методе EMD». Механические системы и обработка сигналов . 20 (4): 817–824. Bibcode : 2006MSSP ... 20..817J . DOI : 10.1016 / j.ymssp.2005.09.011 .
  9. ^ Flandrin, P .; Риллинг, G .; Гонсалвес, П. (2003). «Разложение эмпирических мод как набор фильтров» (PDF) . Письма об обработке сигналов IEEE . 11 (2): 112–114. DOI : 10,1109 / LSP.2003.821662 . S2CID 13987255 .  
  10. ^ H. Ахмади и А. Ekhlasi (2019). «Типы алгоритмов EMD» . 2019 5-я Иранская конференция по обработке сигналов и интеллектуальным системам (ICSPIS), Шахруд, Иран, 2019, стр. 1-5 : 1–5. DOI : 10.1109 / ICSPIS48872.2019.9066155 . ISBN 978-1-7281-5350-6.
  11. ^ Pachori, RB (2008). «Дискриминация между иктальных и захват свободных сигналов ЭЭГ с использованием эмпирического разложения режима » " . Research Letters в обработке сигналов . 2008 : 293056. DOI : 10,1155 / 2008/293056 .
  12. ^ Пигорини, А .; Casali, AG; Casarotto, S .; Ferrarelli, F .; Baselli, G .; Мариотти, М .; Массимини, М .; Розанова, МКЭ (2011). «Частотно-временной спектральный анализ ТМС-вызванных колебаний ЭЭГ с помощью преобразования Гильберта-Хуанга» . J Neurosci Methods . 198 (2): 236–245. DOI : 10.1016 / j.jneumeth.2011.04.013 . PMID 21524665 . S2CID 11151845 .  
  13. ^ Hariharan H .; Грибок, А .; Абиди, Массачусетс; Кошан, А. (2006). «Слияние и улучшение изображений с помощью разложения эмпирических мод» (pdf) . Журнал исследований распознавания образов . 1 (1): 16–31. DOI : 10.13176 / 11.6 .
  14. ^ Чанг, JC; Хуанг, штат Мичиган; Ли, JC; Чанг, CP; Ту, ТМ (2009). «Распознавание радужной оболочки с улучшенным методом разложения эмпирических мод». Оптическая инженерия . 48 (4): 047007–047007–15. Bibcode : 2009OptEn..48d7007C . DOI : 10.1117 / 1.3122322 .
  15. ^ Hong, J .; и другие. (2010). «Подобие поверхностного слоя в ночном пограничном слое: применение преобразования Гильберта-Хуанга» . Биогеонауки . 7 (4): 1271–1278. DOI : 10.5194 / BG-7-1271-2010 .
  16. ^ Хуанг, YX; и другие. (2008). «Амплитудно-частотное исследование перемежаемости турбулентного масштабирования с использованием спектрального анализа Гильберта». Письма еврофизики . 84 : 40010. arXiv : 1401.4211 . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 84/40010 . S2CID 18569761 . 
  17. ^ Хуанг, YX; и другие. (2009). «Анализ суточных колебаний речного стока с использованием разложения по эмпирическим модам и спектрального анализа Гильберта произвольного порядка» (PDF) . Журнал гидрологии . 373 (1–2): 103–111. Bibcode : 2009JHyd..373..103H . DOI : 10.1016 / j.jhydrol.2009.04.015 .
  18. ^ Хуанг, YX; и другие. (2013). «Лагранжева одночастичная турбулентная статистика через преобразование Гильберта-Хуанга». Physical Review E . 87 (4): 041003 (R). arXiv : 1212.5741 . Bibcode : 2013PhRvE..87d1003H . DOI : 10.1103 / physreve.87.041003 . PMID 23679366 . S2CID 14580944 .  
  19. ^ Тан, HS; и другие. (2014). «Статистика Гильберта масштабирования завихренности в двумерной турбулентности». Физика жидкостей . 26 (1): 015106. arXiv : 1401.4200 . Bibcode : 2014PhFl ... 26a5106T . DOI : 10.1063 / 1.4861068 . S2CID 118453456 . 
  20. ^ Цю, X .; и другие. (2016). «Измерение перемежаемости в двумерной бактериальной турбулентности». Physical Review E . 93 (6): 062226. arXiv : 1607.07940 . Bibcode : 2016PhRvE..93f2226Q . DOI : 10.1103 / physreve.93.062226 . PMID 27415272 . S2CID 11109337 .  
  21. ^ Ли и Хуанг; и другие. (2014). "Мультифрактальный анализ китайского фондового рынка на основе преобразования Гильберта-Хуанга". Physica . 406 : 222–229. Bibcode : 2014PhyA..406..222L . DOI : 10.1016 / j.physa.2014.03.047 .
  22. ^ Calif R, Schmitt FG, Huang Y, Soubdhan T и др. (2013). «Исследование перемежаемости высокочастотных последовательностей глобального солнечного излучения в условиях тропического климата». Солнечная энергия . 98 : 349–365. Bibcode : 2013SoEn ... 98..349C . DOI : 10.1016 / j.solener.2013.09.018 .
  23. ^ Хуанг, Юнсян. «Гильбертовый спектральный анализ произвольного порядка» .
  24. ^ Накаряков В.М.; и другие. (2010). «Колебательные процессы в солнечных вспышках». Физика плазмы и управляемый термоядерный синтез . 52 (12): 124009. arXiv : 1010.0063 . Bibcode : 2010PPCF ... 52l4009N . DOI : 10.1088 / 0741-3335 / 52/12/124009 . S2CID 118456166 . 
  25. ^ Барнхарт, BL; Эйхингер, WE (2011). "Анализ изменчивости солнечных пятен с помощью преобразования Гильберта-Хуанга". Солнечная физика . 269 (2): 439–449. Bibcode : 2011SoPh..269..439B . DOI : 10.1007 / s11207-010-9701-6 . S2CID 120968940 . 
  26. ^ Parey, A .; Пачори, РБ (2012). «Окно с переменным косинусом функций внутреннего режима: приложение для диагностики неисправностей редуктора». Измерение . 45 (3): 415–426. DOI : 10.1016 / j.measurement.2011.11.001 .
  27. ^ Хуанг, H .; Пан, Дж. (2006). «Определение высоты звука речи на основе преобразования Гильберта-Хуанга» (PDF) . Обработка сигналов . 86 (4): 792–803. DOI : 10.1016 / j.sigpro.2005.06.011 . [ постоянная мертвая ссылка ]
  28. ^ Беллини; и другие. (2014). «Окончательные результаты Borexino Phase-I по спектроскопии солнечных нейтрино низких энергий». Physical Review D . 89 (112007): 112007. arXiv : 1308.0443 . DOI : 10.1103 / PhysRevD.89.112007 . S2CID 118390776 . 
  29. ^ Chen, Y .; Фэн М.К. (2003). «Метод улучшения эмпирического разложения мод в преобразовании Гильберта-Хуанга» (PDF) . Техника землетрясений и инженерная вибрация . 2 (1): 75–85. Bibcode : 2003EEEV .... 2 ... 75C . DOI : 10.1007 / BF02857540 . S2CID 39430875 .  
  30. ^ Дэтиг, Маркус; Шлюрманн, Торстен (2004). «Производительность и ограничения преобразования Гильберта – Хуанга (HHT) в приложении к нерегулярным водным волнам». Океанская инженерия . 31 (14–15): 1783–1834. DOI : 10.1016 / j.oceaneng.2004.03.007 .
  31. ^ Хуанг, NE; У Чж (2008). «Обзор преобразования Гильберта-Хуанга: метод и его приложения к геофизическим исследованиям» (PDF) . Rev. Geophys . 46 (2): RG2006. Bibcode : 2008RvGeo..46.2006H . DOI : 10.1029 / 2007RG000228 .
  32. ^ Guang, Y .; Солнце, X .; Чжан, М .; Li, X .; Лю, X. (2014). "Исследование способов ограничения конечного эффекта преобразования Гильберта-Хуанга" (PDF) . Журнал компьютеров . 25 .
  33. ^ Преобразование Гильберта-Хуанга и его приложения
  • Ditommaso, R .; Mucciarelli, M .; Parolai, S .; Пикоцци, М. (2012). «Мониторинг структурной динамической реакции каменной башни: сравнение классического и частотно-временного анализа» (PDF) . Бюллетень сейсмологической инженерии . 10 (4): 1221–1235. DOI : 10.1007 / s10518-012-9347-х . S2CID  51816660 .
  • Боудраа, АО; Cexus, JC (2007). «Фильтрация сигналов на основе EMD» (PDF) . IEEE Transactions по приборостроению и измерениям . 56 (6): 2196–2202. DOI : 10.1109 / TIM.2007.907967 . S2CID  30086370 .
  • Huang, NE; Shen, Z .; Длинные, SR; Ву, МС; Ши, HH; Zheng, Q .; Йена, Северная Каролина; Tung, CC; Лю, HH (1998). «Эмпирическое разложение мод и гильбертовый спектр для нелинейного и нестационарного анализа временных рядов» (PDF) . Труды Королевского общества Лондона . 454 (1971): 903–995. Bibcode : 1998RSPSA.454..903H . DOI : 10,1098 / rspa.1998.0193 . S2CID  1262186 . Архивировано из оригинального (PDF) 06.09.2006.
  • Huang, NE; У З. (2008). «Обзор преобразования Гильберта-Хуанга: метод и его приложения к геофизическим исследованиям» . Rev. Geophys . 46 (2): RG2006. Bibcode : 2008RvGeo..46.2006H . DOI : 10.1029 / 2007RG000228 .
  • Huang, NE; Атто-Окин, NO (2005). Преобразование Гильберта-Хуанга в инженерии . CRC Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0849334221.
  • Huang, NE; Шен, SSP (2005). Преобразование Гильберта-Хуанга и его приложения . Лондон: World Scientific. ISBN 978-9812563767.
  • Schmitt, Francois G; Хуанг, Юнсян (2016). Стохастический анализ масштабных временных рядов: от теории турбулентности к приложениям . Combridge University Press. ISBN 9781107067615.
  • Huang, NE; Длинные, SR; Шен, З. (1996). "Механизм понижения частоты при эволюции нелинейных волн" . Успехи прикладной механики . 32 : 59–111. DOI : 10.1016 / S0065-2156 (08) 70076-0 . ISBN 9780120020324.
  • Huang, NE; Shen, Z .; Длинный, RS (1999). "Новый взгляд на нелинейные волны на воде - спектр Гильберта" (PDF) . Ежегодный обзор гидромеханики . 31 : 417–457. Bibcode : 1999AnRFM..31..417H . DOI : 10.1146 / annurev.fluid.31.1.417 .
  • Huang, NE; Wu, ML; Длинные, SR; Шен, СС; Qu, WD; Gloersen, P .; Вентилятор, KL (2003). «Предел уверенности для эмпирического разложения мод и гильбертова спектрального анализа». Труды Королевского общества Лондона . 459 (2037): 2317–2345. Bibcode : 2003RSPSA.459.2317H . DOI : 10.1098 / rspa.2003.1123 . S2CID  6293882 .
  • Wu, Z .; Хуанг, NE (2004). «Исследование характеристик белого шума с использованием метода разложения эмпирических мод». Труды Королевского общества Лондона . 460 (2046): 1597–1611. Bibcode : 2004RSPSA.460.1597W . DOI : 10.1098 / rspa.2003.1221 . S2CID  53060332 .