Каскад энергии

Визуализация турбулентной струи с помощью лазерной флуоресценции . Струя имеет широкий диапазон масштабов длины, что является предпосылкой для появления энергетического каскада при моделировании турбулентности.

В механике сплошной среды , энергетический каскад включает в себя передачу энергии от больших масштабов движения к малым масштабам ( так называемой прямым энергетический каскадом ) или передачу энергии от малых масштабов до крупных масштабов (называемой обратного энергетического каскад ). Этот перенос энергии между различными масштабами требует, чтобы динамика системы была нелинейной . Строго говоря, каскад требует, чтобы передача энергии была локальной по масштабу (только между колебаниями почти одинакового размера), вызывая каскадный водопад от бассейна к бассейну без передачи на большие расстояния через область масштабов.

Эта концепция играет важную роль в изучении развитой турбулентности . Это было незабываемо выражено в этом стихотворении Льюиса Ф. Ричардсона в 1920-х годах. Энергетические каскады также важны для ветровых волн в теории волновой турбулентности .

Рассмотрим, например, турбулентность, создаваемую воздушным потоком вокруг высокого здания: энергосодержащие водовороты, создаваемые разделением потоков, имеют размер порядка десятков метров. Где-то ниже по потоку рассеяние за счет вязкости имеет место, по большей части, в вихрях в микромасштабе Колмогорова : порядка миллиметра в данном случае. На этих промежуточных масштабах нет ни прямого нагнетания потока, ни значительного количества вязкой диссипации, но есть чистая нелинейная передача энергии от больших масштабов к мелким.

Этот промежуточный диапазон масштабов, если он присутствует, называется инерционным поддиапазоном . Динамика на этих масштабах описывается с помощью самоподобия или предположений - для закрытия турбулентности - о статистических свойствах потока в инерционном поддиапазоне. Новаторской работой стал вывод Андреем Колмогоровым в 1940-х годах ожидаемого спектра волновых чисел в инерционном поддиапазоне турбулентности.

Спектры в инерционном поддиапазоне турбулентного потока [ править ]

Схематическое изображение образования, каскада энергии и рассеяния в энергетическом спектре турбулентности.

Самые большие движения или водовороты турбулентности содержат большую часть кинетической энергии , тогда как самые маленькие водовороты ответственны за вязкую диссипацию кинетической энергии турбулентности. Колмогоров предположил, что, когда эти масштабы хорошо разделены, промежуточный диапазон масштабов длины будет статистически изотропным, и что его характеристики в равновесии будут зависеть только от скорости, с которой кинетическая энергия рассеивается на малых масштабах. Рассеивание - это фрикционное преобразование механической энергии в тепловую . Скорость диссипации ε может быть записана через флуктуирующие скорости деформациив турбулентном потоке и кинематической вязкости жидкости ν. Он имеет размерность энергии на единицу массы в секунду. В равновесии производство кинетической энергии турбулентности на больших масштабах движения равно диссипации этой энергии на малых масштабах.

Энергетический спектр турбулентности [ править ]

Энергетический спектр турбулентности, Е ( K ), связан со средней кинетической энергией турбулентности на единицу массы , как ^[2]

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ overline {u_ {i} u_ {i}}} \ right) = \ int _ {0} ^ {\ infty} E (k) \ ; dk,}$

где u _i - компоненты флуктуирующей скорости, черта сверху обозначает среднее по ансамблю, подразумевается суммирование по i , а k - волновое число . Таким образом, энергетический спектр E ( k ) представляет вклад в кинетическую энергию турбулентности посредством волновых чисел от k до k  + d k . Самые большие водовороты имеют низкое волновое число, а маленькие водовороты имеют высокое волновое число.

Поскольку диффузия представляет собой лапласиан скорости, скорость диссипации может быть записана в терминах энергетического спектра как:

${\ Displaystyle \ varepsilon = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} k ^ {2} E (k) \; dk,}$

с ν кинематическая вязкость жидкости. Из этого уравнения снова можно заметить, что диссипация в основном связана с высокими волновыми числами (небольшими вихрями), хотя кинетическая энергия в основном связана с более низкими волновыми числами (большие вихри).

Энергетический спектр в инерционном поддиапазоне [ править ]

Передача энергии от низких волновых чисел к высоким волновым числам является энергетическим каскадом. Эта передача передает кинетическую энергию турбулентности от больших масштабов к мелким масштабам, при которых вязкое трение рассеивает ее. В промежуточном диапазоне масштабов, так называемом инерционном поддиапазоне, гипотезы Колмогорова привели к следующему универсальному виду для энергетического спектра:

${\ Displaystyle E (k) = C \ varepsilon ^ {2/3} k ^ {- 5/3}.}$

Обширные экспериментальные данные подтверждают этот результат в широком диапазоне условий. Экспериментально наблюдается значение C = 1,5 . ^[2]

Спектр колебаний давления [ править ]

Аналогичным образом можно охарактеризовать колебания давления в турбулентном потоке. Среднеквадратичное колебание давления в турбулентном потоке может быть представлено спектром давления π ( k ):

${\ displaystyle {\ overline {p ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ pi (k) \; dk.}$

Для случая турбулентности без градиента средней скорости (изотропная турбулентность) спектр в инерционном поддиапазоне имеет вид

${\ displaystyle \ pi (k) = \ альфа \ rho ^ {2} \ varepsilon ^ {4/3} k ^ {- 7/3},}$

где ρ - плотность жидкости, а α = 1,32 C ² = 2,97. ^[3] Градиент средней скорости потока ( сдвиговый поток ) создает дополнительный, аддитивный вклад в спектр давления инерционного поддиапазона, который изменяется как k ^−11/3 ; но поведение k ^−7/3 преобладает при более высоких волновых числах.

Спектр капиллярных возмущений на свободной поверхности жидкости [ править ]

Колебания давления под свободной поверхностью жидкости могут вызывать колеблющиеся смещения поверхности жидкости. Это взаимодействие свободной поверхности и турбулентности также может быть охарактеризовано спектром волновых чисел . Если δ - мгновенное смещение поверхности от ее среднего положения, среднеквадратичное смещение может быть представлено с помощью спектра смещений G ( k ) как:

${\ displaystyle {\ overline {\ delta ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} G (k) \; dk.}$

Трехмерная форма спектра давления может быть объединена с уравнением Юнга – Лапласа, чтобы показать, что: ^[4]

${\ Displaystyle G (k) \ propto k ^ {- 19/3}.}$

Экспериментальное наблюдение этого закона k ^−19/3 было получено путем оптических измерений поверхности турбулентных струй жидкости без турбулентности. ^[4]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Чорин, AJ (1994), Завихренность и турбулентность , Прикладные математические науки, 103 , Springer, ISBN 978-0-387-94197-4
• Фалькович, Г .; Шринивасан, KR , «Уроки гидродинамической турбулентности», Physics Today , 59 (4): 43–49, Bibcode : 2006PhT .... 59d..43F , doi : 10.1063 / 1.2207037
• Фриш, У. (1995), Турбулентность: наследие А. Н. Колмогорова , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45713-2
• Ньюэлл, AC ; Румпф, Б. (2011), «Волновая турбулентность», Annual Review of Fluid Mechanics , 43 : 59–78, Bibcode : 2011AnRFM..43 ... 59N , doi : 10.1146 / annurev-fluid-122109-160807
• Ричардсон, Л.Ф. (1922), Прогноз погоды с помощью числового процесса , Cambridge University Press, OCLC  3494280

Внешние ссылки [ править ]

• Г. Фалькович (ред.). «Каскад и масштабирование» . Scholarpedia .