Масштабирование (геометрия)
В аффинной геометрии равномерное масштабирование (или изотропное масштабирование [1] ) — это линейное преобразование , которое увеличивает (увеличивает) или сжимает (уменьшает) объекты с масштабным коэффициентом , одинаковым во всех направлениях. Результат равномерного масштабирования подобен (в геометрическом смысле) оригиналу. Обычно допускается масштабный коэффициент 1, так что конгруэнтные формы также классифицируются как похожие. Равномерное масштабирование происходит, например, при увеличении или уменьшении фотографии , или при создании масштабной модели здания, автомобиля, самолета и т. д.
Более общим является масштабирование с отдельным коэффициентом масштабирования для каждого направления оси. Неравномерное масштабирование ( анизотропное масштабирование ) получается, когда хотя бы один из коэффициентов масштабирования отличается от остальных; особый случай — направленное масштабирование или растяжение (в одном направлении). Неравномерное масштабирование изменяет форму объекта; например, квадрат может превратиться в прямоугольник или в параллелограмм, если стороны квадрата не параллельны осям масштабирования (углы между прямыми, параллельными осям, сохраняются, но не все углы). Это происходит, например, когда на далекий рекламный щит смотрят под косым углом., или когда тень от плоского предмета падает на поверхность, которая ему не параллельна.
Когда коэффициент масштабирования больше 1, масштабирование (равномерное или неравномерное) иногда также называют расширением или расширением . Когда коэффициент масштабирования представляет собой положительное число, меньшее 1, масштабирование иногда также называют сокращением или сокращением .
В самом общем смысле скейлинг включает случай, когда направления скейлинга неперпендикулярны. Он также включает случай, когда один или несколько масштабных коэффициентов равны нулю ( проекция ), и случай одного или нескольких отрицательных масштабных коэффициентов (направленное масштабирование на -1 эквивалентно отражению ) .
Масштабирование — это линейное преобразование и частный случай гомотетического преобразования (масштабирование относительно точки). В большинстве случаев гомотетическими преобразованиями являются нелинейные преобразования.
Масштабный коэффициент обычно представляет собой десятичную дробь, которая масштабирует или умножает некоторую величину. В уравнении y = Cx C является коэффициентом масштабирования для x . C также является коэффициентом x и может называться константой пропорциональности y x . Например, удвоение расстояний соответствует масштабному коэффициенту два для расстояния, в то время как разрезание торта пополам приводит к кускам с масштабным коэффициентом для объема, равным одной половине. Основное уравнение для этого — образ над прообразом.
