В алгебраической геометрии , разделе математики , адекватное отношение эквивалентности - это отношение эквивалентности на алгебраических циклах гладких проективных многообразий, используемое для получения хорошо работающей теории таких циклов и, в частности, четко определенных произведений пересечений . Пьер Самуэль формализовал понятие адекватного отношения эквивалентности в 1958 г. [1] С тех пор оно стало центральным в теории мотивов. Для каждого адекватного отношения эквивалентности, можно определить категорию из чистых побуждений по отношению к этому отношению.
Возможные (и полезные) адекватные отношения эквивалентности включают рациональную , алгебраическую , гомологическую и числовую эквивалентность . Они называются «адекватными», потому что деление с помощью отношения эквивалентности является функториальным , т. Е. Продвижение вперед (с изменением коразмерности) и возврат циклов хорошо определены. Коразмерность 1 циклы по модулю рациональной форме эквивалентности классической группы из делителей . Все циклы по модулю рациональной эквивалентности образуют кольцо Чжоу .
Пусть Z * ( Х ): = Z [ X ] свободная абелева группа на алгебраических циклов X . Тогда адекватное отношение эквивалентности семейство отношений эквивалентности , ~ X на Z * ( X ), по одному для каждой из гладкого проективного многообразия X , удовлетворяющая следующим трем условиям:
Цикл продвижения вперед в последней аксиоме часто обозначается
Если это график , из функции , то это сводится к толкающий вперед функции. Обобщения функций из X в Y до циклов на X × Y известны как соответствия . Последняя аксиома позволяет продвигать циклы по соответствию.
Наиболее распространенные отношения эквивалентности, перечисленные в порядке от наиболее сильного к наиболее слабому, собраны в следующей таблице.
определение | примечания | |
---|---|---|
рациональная эквивалентность | Z ∼ rat Z ', если существует цикл V на X × P 1, плоский над P 1 , такой, что [ V ∩ X × {0}] - [ V ∩ X × {∞}] = [ Z ] - [ Z' ]. | тончайшее адекватное отношение эквивалентности (лемма 3.2.2.1 в книге Ива Андре [2] ) «∩» обозначает пересечение в теоретико-циклическом смысле (т.е. с кратностями) и [ . ] обозначает цикл, связанный с подсхемой. см. также Кольцо для чау-чау |
алгебраическая эквивалентность | Z ∼ alg Z ′, если существуют кривая C и цикл V на X × C, плоский над C , такие, что [ V ∩ X × { c }] - [ V ∩ X × { d }] = [ Z ] - [ Z ' ] для двух точек c и d на кривой. | Строго сильнее, чем гомологическая эквивалентность, как измерено группой Гриффитса . См. Также группу Нерона – Севери . |
полная эквивалентность нильпотентности | Z ∼ sn Z ′, если Z - Z ′ ударно-нильпотентен на X , то есть если ∼ rat 0 на X n при n >> 0. | введен Воеводским в 1995 г. [3] |
гомологическая эквивалентность | для заданных когомологий Вейля H , Z ∼ hom Z ′, если образ циклов при отображении классов циклов совпадает | априори зависит от выбора H , не предполагая стандартной гипотезы D |
числовая эквивалентность | Z ∼ num Z ′, если deg ( Z ∩ T ) = deg ( Z ′ ∩ T ), где T - любой цикл такой, что dim T = codim Z (Пересечение - это линейная комбинация точек, и мы добавляем кратности пересечения в каждой точке. укажите, чтобы получить степень.) | самое грубое отношение эквивалентности (упражнение 3.2.7.2 в книге Ива Андре [4] ) |