Эргодический процесс

В эконометрике и обработки сигналов , A случайный процесс называется эргодическим , если его статистические свойства могут быть выведены из одного, достаточно длинного, случайной выборки процесса. Обоснование этого состоит в том, что любой набор случайных выборок из процесса должен представлять среднестатистические свойства всего процесса. Другими словами, независимо от того, что представляют собой отдельные образцы, сбор образцов с высоты птичьего полета должен отражать весь процесс. И наоборот, неэргодический процесс - это процесс, который изменяется беспорядочно с непостоянной скоростью. ^[1]

Конкретные определения [ править ]

Можно обсуждать эргодичность различной статистики случайного процесса. Например, стационарный процесс в широком смысле имеет постоянное среднее значение.${\ Displaystyle X (т)}$

${\ displaystyle \ mu _ {X} = E [X (t)]}$,

и автоковариантность

${\ displaystyle r_ {X} (\ tau) = E [(X (t) - \ mu _ {X}) (X (t + \ tau) - \ mu _ {X})]}$,

это зависит только от задержки, а не от времени . Свойства и являются средними по совокупности, а не по времени.${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ mu _ {X}}$${\ Displaystyle R_ {X} (\ тау)}$

Процесс называется среднеэргодическим ^[2] или среднеквадратичным эргодическим по первому моменту ^[3], если оценка среднего по времени${\ Displaystyle X (т)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mu}} _ {X} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} X (t) \, dt}$

сходится в квадрате среднего к среднему по ансамблю как .${\ displaystyle \ mu _ {X}}$${\ Displaystyle Т \ rightarrow \ infty}$

Точно так же процесс называется автоковариационно-эргодическим или d-моментом ^[3], если оценка среднего по времени

${\ displaystyle {\ hat {r}} _ {X} (\ tau) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} [X (t + \ tau) - \ mu _ {X}] [X (t) - \ mu _ {X}] \, dt}$

сходится в квадрате среднего к среднему по ансамблю , как . Эргодический в среднем и автоковариантный процесс иногда называют эргодическим в широком смысле .${\ Displaystyle R_ {X} (\ тау)}$${\ Displaystyle Т \ rightarrow \ infty}$

Случайные процессы с дискретным временем [ править ]

Понятие эргодичности также применяется к случайным процессам с дискретным временем для целых чисел .${\ Displaystyle X [п]}$${\ displaystyle n}$

Случайный процесс с дискретным временем является эргодическим в среднем, если${\ Displaystyle X [п]}$

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{X}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}X[n]}$

сходится в квадрате среднего к среднему по ансамблю , как .${\displaystyle E[X]}$${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Примеры [ править ]

Эргодичность означает, что среднее по ансамблю равно среднему по времени. Ниже приведены примеры, иллюстрирующие этот принцип.

Колл-центр [ править ]

Каждый оператор центра обработки вызовов поочередно разговаривает и слушает телефонные разговоры, а также делает перерывы между вызовами. Каждый перерыв и каждый звонок имеют разную продолжительность, равно как и продолжительность каждого «всплеска» речи и слушания, и действительно, такова скорость речи в любой данный момент, каждый из которых может быть смоделирован как случайный процесс.

• Возьмите N операторов колл-центра ( N должно быть очень большим целым числом) и нанесите на график количество слов, произносимых в минуту для каждого оператора за длительный период (несколько смен). Для каждого оператора у вас будет серия точек, которые можно соединить линиями для создания «формы волны».
• Рассчитайте среднее значение этих точек на осциллограмме; это дает вам среднее время .
• Есть N форм сигналов и N операторов. Эти N сигналов известны как ансамбль .
• Теперь возьмите конкретный момент времени для всех этих сигналов и найдите среднее значение количества слов, произносимых в минуту. Это дает вам среднее значение по ансамблю на данный момент.
• Если среднее по ансамблю всегда равно среднему по времени, то система эргодична.

Электроника [ править ]

С каждым резистором связан тепловой шум, который зависит от температуры. Возьмите резисторы N ( N должно быть очень большим) и постройте график напряжения на этих резисторах в течение длительного периода. Для каждого резистора у вас будет форма волны. Рассчитайте среднее значение этого сигнала; это дает вам среднее время. Имеется N форм сигналов, поскольку имеется N резисторов. Эти N участков известны как ансамбль. Теперь возьмите конкретный момент времени на всех этих графиках и найдите среднее значение напряжения. Это дает вам среднее значение по ансамблю для каждого участка. Если среднее по ансамблю и среднее по времени одинаковы, то он эргодичен.

Примеры неэргодических случайных процессов [ править ]

• Несмещенное случайное блуждание неэргодично. Его математическое ожидание всегда равно нулю, тогда как его среднее значение по времени является случайной величиной с дивергентной дисперсией.

• Предположим, у нас есть две монеты: одна монета справедливая, а другая с двумя головами. Сначала мы выбираем (наугад) одну из монет , а затем выполняем последовательность независимых подбрасываний выбранной монеты. Пусть X [ n ] обозначает результат n- го броска, где 1 решка и 0 решка. Тогда среднее ансамбль ¹ / ₂   ( ¹ / ₂ + 1) = ³ / ₄ ; однако долгосрочное среднем составляет ¹ / ₂ для справедливой монеты и 1 для двуглавый монеты. Таким образом, долгосрочное среднее значение либо 1/2 или 1. Следовательно, этот случайный процесс в среднем не является эргодическим.

См. Также [ править ]

• Эргодическая гипотеза
• Эргодичность
• Эргодическая теория , раздел математики, связанный с более общей формулировкой эргодичности
• Парадокс лошмидта
• Теорема Пуанкаре о возвращении

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы . Прентис Холл. п. 14. ISBN 0-13-063751-3.
• Папулис, Афанасиос (1991). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 427–442. ISBN 0-07-048477-5.