Шум Джонсона – Найквиста

Все эти три схемы эквивалентны: (A) резистор при ненулевой температуре, имеющий шум Джонсона; (B) Бесшумный резистор, включенный последовательно с источником напряжения, создающим шум (т.е. эквивалентная схема Тевенина ); (C) Бесшумное сопротивление параллельно источнику тока, создающему шум (например, эквивалентная схема Нортона ).

Шум Джонсона – Найквиста ( тепловой шум , шум Джонсона или шум Найквиста ) - это электронный шум, генерируемый тепловым возбуждением носителей заряда (обычно электронов ) внутри электрического проводника в состоянии равновесия, которое происходит независимо от приложенного напряжения . Тепловой шум присутствует во всех электрических цепях , а в чувствительном электронном оборудовании, таком как радиоприемники, может заглушать слабые сигналы и может быть ограничивающим фактором чувствительности электрического измерительного прибора. Тепловой шум увеличивается с повышением температуры. Некоторое чувствительное электронное оборудование, такое какПриемники радиотелескопов охлаждаются до криогенных температур для снижения теплового шума в их цепях. Общий статистический физический вывод этого шума называется теоремой флуктуационно-диссипации , в которой обобщенный импеданс или обобщенная восприимчивость используются для характеристики среды.

Тепловой шум в идеальном резисторе примерно белый , что означает, что спектральная плотность мощности почти постоянна во всем частотном спектре (однако см. Раздел ниже, посвященный чрезвычайно высоким частотам). При ограничении конечной ширины полосы тепловой шум имеет почти гауссово распределение амплитуды . ^[1]

История [ править ]

Этот тип шума был обнаружен и впервые измерен Джоном Б. Джонсоном в Bell Labs в 1926 году. ^[2]^[3] Он рассказал о своих открытиях Гарри Найквисту , также в Bell Labs, который смог объяснить результаты. ^[4]

Вывод [ править ]

Как заявил Найквист в своей статье 1928 года, сумма энергии в нормальных режимах электрических колебаний будет определять амплитуду шума. Найквист использовал закон равнораспределения Больцмана и Максвелла. Используя понятие потенциальной энергии и гармонических осцилляторов закона равнораспределения, ^[5]

${\ displaystyle \ left \ langle H \ right \ rangle = k _ {\ rm {B}} T}$

где плотность мощности шума в (Вт / Гц), является постоянной Больцмана и является температурой . Умножение уравнения на ширину полосы дает результат как мощность шума. ${\ displaystyle \ left \ langle H \ right \ rangle}$ ${\ Displaystyle к _ {\ rm {B}}}$ ${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle N = к _ {\ rm {B}} T \ Delta f}$

где N - мощность шума, а Δf - ширина полосы .

Шумовое напряжение и мощность [ править ]

Тепловой шум отличается от дробового шума , который состоит из дополнительных флуктуаций тока, возникающих при приложении напряжения и начале протекания макроскопического тока. В общем случае приведенное выше определение применяется к носителям заряда в проводящей среде любого типа (например, ионам в электролите ), а не только к резисторам . Его можно смоделировать с помощью источника напряжения, представляющего шум неидеального резистора, соединенного последовательно с идеальным бесшумным резистором.

Односторонняя мощности спектральной плотности , или дисперсия напряжения (средний квадрат) в герцах от полосы пропускания , задается

{\ displaystyle {\ overline {v_ {n} ^ {2}}} = 4k _ {\ text {B}} TR}

где k _B - постоянная Больцмана в джоулях на кельвин , T - абсолютная температура резистора в кельвинах, а R - номинал резистора в омах (Ом). Используйте это уравнение для быстрого расчета при комнатной температуре:

{\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}=0.13{\sqrt {R}}~\mathrm {nV} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.

Например, резистор 1 кОм при температуре 300 К имеет

{\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}={\sqrt {4\cdot 1.38\cdot 10^{-23}~\mathrm {J} /\mathrm {K} \cdot 300~\mathrm {K} \cdot 1000~\Omega }}=4.07\cdot 10^{-9}~\mathrm {V} /{\sqrt {\mathrm {Hz} }}.

Для данной ширины полосы среднеквадратичное значение (RMS) напряжения определяется выражением $v_{n}$

v_{n}={\sqrt {\overline {v_{n}^{2}}}}{\sqrt {\Delta f}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\Delta f}}

где Δ f - полоса пропускания в герцах, в которой измеряется шум. Для резистора 1 кОм при комнатной температуре и полосе пропускания 10 кГц среднеквадратичное значение напряжения шума составляет 400 нВ. ^[6] Полезное практическое правило: 50 Ом при полосе пропускания 1 Гц соответствуют шуму 1 нВ при комнатной температуре.

Резистор при коротком замыкании рассеивает мощность шума

P={v_{n}^{2}}/R=4k_{\text{B}}\,T\Delta f.

Шум, генерируемый резистором, может передаваться на оставшуюся цепь; максимальная передача мощности шума происходит при согласовании импеданса, когда эквивалентное сопротивление Тевенина оставшейся цепи равно сопротивлению, генерирующему шум. В этом случае каждый из двух участвующих резисторов рассеивает шум как в себе, так и в другом резисторе. Поскольку на любом из этих резисторов падает только половина напряжения источника, результирующая мощность шума определяется выражением

P=k_{\text{B}}\,T\Delta f

где P - мощность теплового шума в ваттах. Обратите внимание, что это не зависит от сопротивления, создающего шум.

Шум ток [ править ]

Источник шума также может быть смоделирован с помощью источника тока параллельно с резистором, принимая эквивалент Norton , что соответствует просто разделив на R . Это дает среднеквадратичное значение текущего источника как:

i_{n}={\sqrt {{4k_{\text{B}}T\Delta f} \over R}}.

Мощность шума в децибелах [ править ]

Мощность сигнала часто измеряется в дБм ( децибел относительно 1 милливатта ). Из приведенного выше уравнения мощность шума в резисторе при комнатной температуре в дБм составляет:

P_{\mathrm {dBm} }=10\ \log _{10}(k_{\text{B}}T\Delta f/1\,{\textrm {mW}})\ {\textrm {dBm}}.

При комнатной температуре (300 К) это примерно

P_{\mathrm {dBm} }=-173.8\ {\textrm {dBm}}+10\ \log _{10}(\Delta f{\text{ in Hz}})\ {\textrm {dB}}.

^[7]^[8]^{: 260}

Используя это уравнение, легко вычислить мощность шума для различных полос пропускания:

Пропускная способность $(\Delta f)$	Мощность теплового шума при 300 K ( дБм )	Примечания
1 Гц	−174
10 Гц	−164
100 Гц	−154
1 кГц	−144
10 кГц	−134	FM- канал двусторонней радиосвязи
100 кГц	−124
180 кГц	-121,45	Один ресурсный блок LTE
200 кГц	−121	Канал GSM
1 МГц	−114	Канал Bluetooth
2 МГц	−111	Коммерческий канал GPS
3.84 МГц	−108	Канал UMTS
6 МГц	−106	Аналоговый телеканал
20 МГц	−101	Канал WLAN 802.11
40 МГц	−98	WLAN 802.11n, канал 40 МГц
80 МГц	−95	WLAN 802.11ac, канал 80 МГц
160 МГц	−92	Канал WLAN 802.11ac 160 МГц
1 ГГц	−84	СШП канал

Тепловой шум на конденсаторах [ править ]

Идеальные конденсаторы, как устройства без потерь, не имеют теплового шума, но, как обычно используется с резисторами в RC-цепи , комбинация имеет то, что называется шумом kTC . Ширина полосы шума RC-цепи составляет Δ f = 1 / (4 RC ). ^[9] Когда это подставляется в уравнение теплового шума, результат имеет необычно простой вид, поскольку значение сопротивления ( R ) выпадает из уравнения. Это связано с тем, что более высокое R уменьшает полосу пропускания так же, как увеличивает шум.

Среднеквадратичное и среднеквадратичное шумовое напряжение, генерируемое таким фильтром, составляют: ^[10]

{\overline {v_{n}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}=k_{\text{B}}T/C

v_{n}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}.

Заряд шума - это емкость, умноженная на напряжение:

Q_{n}=Cv_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}

{\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}{\overline {v_{n}^{2}}}=C^{2}k_{\text{B}}T/C=k_{\text{B}}TC

Этот зарядовый шум является источником термина « шум kTC ».

Хотя это и не зависит от номинала резистора, 100% шума kTC возникает в резисторе. Следовательно, если резистор и конденсатор имеют разные температуры, в приведенном выше расчете следует использовать только температуру резистора.

Крайний случай - это предел нулевой полосы пропускания, называемый шумом сброса, оставшимся на конденсаторе при размыкании идеального переключателя. Сопротивление бесконечно, но формула все еще применима; однако теперь среднеквадратичное значение должно интерпретироваться не как среднее по времени, а как среднее значение по множеству таких событий сброса, поскольку напряжение постоянно, когда полоса пропускания равна нулю. В этом смысле шум Джонсона RC-цепи может рассматриваться как неотъемлемый эффект термодинамического распределения количества электронов на конденсаторе, даже без использования резистора.

Шум вызван не самим конденсатором, а термодинамическими колебаниями количества заряда на конденсаторе. Как только конденсатор отключен от проводящей цепи, термодинамические колебания фиксируются на случайном значении со стандартным отклонением, как указано выше. Шум сброса емкостных датчиков часто является ограничивающим источником шума, например, в датчиках изображения .

Любая система в тепловом равновесии имеет переменные состояния со средней энергией от кТ / 2 в степени свободы . Используя формулу для энергии на конденсаторе ( E = ½ CV ² ), можно увидеть, что средняя энергия шума на конденсаторе также составляет ½ C ( kT / C ) = kT / 2. Тепловой шум на конденсаторе может быть получен из этого соотношения без учета сопротивления.

Шум конденсаторов при 300 К
Емкость	${\sqrt {k_{\text{B}}T/C}}$	${\sqrt {k_{\text{B}}TC}}$	Электроны
1 фФ	2 мВ	2 переменного тока	12,5 э ^-
10 фФ	640 мкВ	6.4 переменного тока	40 e ^-
100 фФ	200 мкВ	20 АС	125 e ^-
1 пФ	64 мкВ	64 АС	400 е ^-
10 пФ	20 мкВ	200 переменного тока	1250 э ^-
100 пФ	6,4 мкВ	640 переменного тока	4000 е ^-
1 нФ	2 мкВ	2 фК	12500 э ^-

Обобщенные формы [ править ]

Напряжение шумов , описанное выше, особый случай , для чисто резистивной составляющей для низких частот. В общем, тепловой электрический шум продолжает быть связан с резистивным откликом во многих более общих электрических случаях как следствие теоремы флуктуационно-диссипации . Ниже отмечаются различные обобщения. Все эти обобщения имеют общее ограничение: они применяются только в тех случаях, когда рассматриваемый электрический компонент является чисто пассивным и линейным. $4k_{\text{B}}TR$

Реактивные импедансы [ править ]

В оригинальной статье Найквиста также предоставлен обобщенный шум для компонентов, имеющих частично реактивный отклик, например источников, содержащих конденсаторы или катушки индуктивности. ^[4] Такой компонент можно описать частотно-зависимым комплексным электрическим сопротивлением . Формула для спектральной плотности мощности последовательного шумового напряжения: $Z(f)$

S_{v_{n}v_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Z(f)].

Функция просто равна 1, за исключением очень высоких частот или почти абсолютного нуля (см. Ниже). $\eta (f)$

Действительная часть импеданса, как правило, зависит от частоты, поэтому шум Джонсона – Найквиста не является белым шумом. Среднеквадратичное значение напряжения шума в диапазоне частот до может быть найдено путем интегрирования спектральной плотности мощности: $\operatorname {Re} [Z(f)]$ $f_{1}$ $f_{2}$

{\sqrt {\langle v_{n}^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{v_{n}v_{n}}(f)df}}

.

В качестве альтернативы, параллельный шум ток может быть использован для описания Johnson шума, его мощности спектральной плотности существо

S_{i_{n}i_{n}}(f)=4k_{\text{B}}T\eta (f)\operatorname {Re} [Y(f)].

где - электрическая проводимость ; Обратите внимание, что $Y(f)=1/Z(f)$ $\operatorname {Re} [Y(f)]=\operatorname {Re} [Z(f)]/|Z(f)|^{2}$

Квантовые эффекты на высоких частотах или низких температурах [ править ]

Найквист также указал, что квантовые эффекты возникают для очень высоких частот или очень низких температур вблизи абсолютного нуля. ^[4] Функция обычно задается $\eta (f)$

\eta (f)={\frac {hf/k_{\text{B}}T}{e^{hf/k_{\text{B}}T}-1}},

где - постоянная Планка . $h$

На очень высоких частотах функция начинает экспоненциально убывать до нуля. При комнатной температуре этот переход происходит в терагерцах, что намного превышает возможности обычной электроники, и поэтому его можно использовать для работы с обычной электроникой. $f\gtrsim k_{\text{B}}T/h$ $\eta (f)$ $\eta (f)=1$

Связь с законом Планка [ править ]

Формула Найквиста по существу такая же, как полученная Планком в 1901 году для электромагнитного излучения черного тела в одном измерении, то есть это одномерная версия закона Планка о излучении черного тела . ^[11] Другими словами, горячий резистор будет создавать электромагнитные волны в линии передачи, так же как горячий объект будет создавать электромагнитные волны в свободном пространстве.

В 1946 году Дике разработал эту взаимосвязь ^[12] и далее связал ее со свойствами антенн, в частности с тем фактом, что средняя апертура антенны по всем различным направлениям не может быть больше, чем , где λ - длина волны. Это происходит из-за разной частотной зависимости трехмерного и одномерного закона Планка. $\lambda ^{2}/(4\pi )$

Многопортовые электрические сети [ править ]

Ричард В. Twiss расширена формула Найквист для мульти- порта пассивных электрических сетей, в том числе невзаимных устройств , такие как циркуляторы и изоляторы . ^[13] Тепловой шум появляется на каждом порте и может быть описан как случайные последовательные источники напряжения, последовательно включенные с каждым портом. Случайные напряжения на разных портах могут быть коррелированы, а их амплитуды и корреляции полностью описываются набором функций кросс-спектральной плотности, связывающих различные напряжения шума,

S_{v_{m}v_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Z_{mn}(f)+Z_{nm}(f)^{*})

где - элементы матрицы импеданса . Опять же, альтернативное описание шума вместо этого в терминах параллельных источников тока, приложенных к каждому порту. Их кросс-спектральная плотность определяется выражением $Z_{mn}$ $\mathbf {Z}$

S_{i_{m}i_{n}}(f)=2k_{\text{B}}T\eta (f)(Y_{mn}(f)+Y_{nm}(f)^{*})

где - матрица проводимости . $\mathbf {Y} =\mathbf {Z} ^{-1}$

Непрерывные электродинамические среды [ править ]

Полное обобщение шума Найквиста можно найти в флуктуационной электродинамике , которая описывает плотность тока шума внутри сплошной среды с диссипативным откликом в функции непрерывного отклика, такой как диэлектрическая проницаемость или магнитная проницаемость . Уравнения флуктуационной электродинамики обеспечивают общую основу для описания как шума Джонсона – Найквиста, так и излучения черного тела в свободном пространстве . ^[14]

См. Также [ править ]

Теорема флуктуации-диссипации
Дробовой шум
1 / f шум
Уравнение Ланжевена
Поднимитесь над термическим

Ссылки [ править ]

^ Джон Р. Барри; Эдвард А. Ли; Дэвид Г. Мессершмитт (2004). Цифровые коммуникации . Спринтер. п. 69. ISBN 9780792375487.
^ Анонимный (1927). «Протокол встречи в Филадельфии 28, 29, 30 декабря 1926 г.». Физический обзор . 29 (2): 350–373. Полномочный код : 1927PhRv ... 29..350. . DOI : 10.1103 / PhysRev.29.350 .
^ Джонсон, Дж. (1928). «Тепловое возбуждение электричества в проводниках». Физический обзор . 32 (97): 97–109. Bibcode : 1928PhRv ... 32 ... 97J . DOI : 10.1103 / Physrev.32.97 .
^ a b c Найквист, Х. (1928). «Тепловое возбуждение электрического заряда в проводниках». Физический обзор . 32 (110): 110–113. Полномочный код : 1928PhRv ... 32..110N . DOI : 10.1103 / Physrev.32.110 .
^ Томази, Wayne (1994). Электронная коммуникация . Prentice Hall PTR. ISBN 9780132200622.
^ Результат Google Calculator для 1 кОм при комнатной температуре, ширина полосы 10 кГц
^ Пирс, JR "Физические источники шума" .
^ Vizmuller, Питер (1995), Руководство по проектированию РФ , Artech House, ISBN 0-89006-754-6
^ Лундберг, Кент Х. «Источники шума в массивной CMOS» (PDF) . п. 10.
^ Sarpeshkar, R .; Delbruck, T .; Мид, Калифорния (ноябрь 1993 г.). «Белый шум в МОП-транзисторах и резисторах» (PDF) . Журнал IEEE Circuits and Devices Magazine . 9 (6): 23–29. DOI : 10.1109 / 101.261888 . S2CID 11974773 .
^ Урик, VJ; Уильямс, Кейт Дж .; МакКинни, Джейсон Д. (30 января 2015 г.). Основы микроволновой фотоники . п. 63. ISBN 9781119029786.
^ Дик, RH (1946-07-01). «Измерение теплового излучения на сверхвысоких частотах». Обзор научных инструментов . 17 (7): 268–275. Bibcode : 1946RScI ... 17..268D . DOI : 10.1063 / 1.1770483 . PMID 20991753 .
^ Twiss, RQ (1955). "Теоремы Найквиста и Тевенина, обобщенные для невзаимных линейных сетей". Журнал прикладной физики . 26 (5): 599–602. Bibcode : 1955JAP .... 26..599T . DOI : 10.1063 / 1.1722048 .
^ Питаевский, Л.П . ; Лифшиц, Е.М. (1980). «Глава VIII. Электромагнитные колебания». Статистическая физика. Часть 2: Теория конденсированного состояния . Vol. 9 (1-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2636-1.

Эта статья включает материалы, являющиеся общественным достоянием, из документа Управления общих служб : «Федеральный стандарт 1037C» .(в поддержку MIL-STD-188 )

Внешние ссылки [ править ]

Шум усилителя в ВЧ системах
Тепловой шум (бакалавриат) с подробной математикой

[1] Джон Р. Барри; Эдвард А. Ли; Дэвид Г. Мессершмитт (2004). Цифровые коммуникации . Спринтер. п. 69. ISBN 9780792375487.

[2] Анонимный (1927). «Протокол встречи в Филадельфии 28, 29, 30 декабря 1926 г.». Физический обзор . 29 (2): 350–373. Полномочный код : 1927PhRv ... 29..350. . DOI : 10.1103 / PhysRev.29.350 .

[3] Джонсон, Дж. (1928). «Тепловое возбуждение электричества в проводниках». Физический обзор . 32 (97): 97–109. Bibcode : 1928PhRv ... 32 ... 97J . DOI : 10.1103 / Physrev.32.97 .

[Nyquist-4] Найквист, Х. (1928). «Тепловое возбуждение электрического заряда в проводниках». Физический обзор . 32 (110): 110–113. Полномочный код : 1928PhRv ... 32..110N . DOI : 10.1103 / Physrev.32.110 .

[5] Томази, Wayne (1994). Электронная коммуникация . Prentice Hall PTR. ISBN 9780132200622.

[6] Результат Google Calculator для 1 кОм при комнатной температуре, ширина полосы 10 кГц

[7] Пирс, JR "Физические источники шума" .

[8] Vizmuller, Питер (1995), Руководство по проектированию РФ , Artech House, ISBN 0-89006-754-6

[9] Лундберг, Кент Х. «Источники шума в массивной CMOS» (PDF) . п. 10.

[10] Sarpeshkar, R .; Delbruck, T .; Мид, Калифорния (ноябрь 1993 г.). «Белый шум в МОП-транзисторах и резисторах» (PDF) . Журнал IEEE Circuits and Devices Magazine . 9 (6): 23–29. DOI : 10.1109 / 101.261888 . S2CID 11974773 .

[11] Урик, VJ; Уильямс, Кейт Дж .; МакКинни, Джейсон Д. (30 января 2015 г.). Основы микроволновой фотоники . п. 63. ISBN 9781119029786.

[12] Дик, RH (1946-07-01). «Измерение теплового излучения на сверхвысоких частотах». Обзор научных инструментов . 17 (7): 268–275. Bibcode : 1946RScI ... 17..268D . DOI : 10.1063 / 1.1770483 . PMID 20991753 .

[13] Twiss, RQ (1955). "Теоремы Найквиста и Тевенина, обобщенные для невзаимных линейных сетей". Журнал прикладной физики . 26 (5): 599–602. Bibcode : 1955JAP .... 26..599T . DOI : 10.1063 / 1.1722048 .

[14] Питаевский, Л.П . ; Лифшиц, Е.М. (1980). «Глава VIII. Электромагнитные колебания». Статистическая физика. Часть 2: Теория конденсированного состояния . Vol. 9 (1-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2636-1.

[1]