Теорема флуктуации-диссипации ( FDT ) или соотношение флуктуации-диссипации ( FDR ) - мощный инструмент в статистической физике для предсказания поведения систем, которые подчиняются детальному балансу . Учитывая, что система подчиняется детальному балансу, теорема является общим доказательством того, что термодинамические флуктуации физической переменной предсказывают отклик, количественно выраженный проводимостью или импедансом (подразумевается в их общем смысле, а не только в терминах электромагнитного поля) той же физической переменной (например, напряжение, разница температур и т. д.), и наоборот. Теорема флуктуации-диссипации применима как кклассические и квантово-механические системы.
Теорема флуктуации-диссипации была доказана Гербертом Калленом и Теодором Велтоном в 1951 году [1] и расширена Рёго Кубо . Существуют предшественники общей теоремы, включая объяснение Эйнштейном броуновского движения [2] во время его annus mirabilis и объяснение Гарри Найквиста в 1928 году шума Джонсона в электрических резисторах. [3]
Качественный обзор и примеры
Теорема флуктуации-диссипации гласит, что когда есть процесс, который рассеивает энергию, превращая ее в тепло (например, трение), существует обратный процесс, связанный с тепловыми флуктуациями . Лучше всего это понять, рассмотрев несколько примеров:
- Если объект движется через жидкость, он испытывает сопротивление (сопротивление воздуха или жидкости). Drag рассеивает кинетическую энергию, превращая ее в тепло. Соответствующее колебание - броуновское движение . Объект в жидкости не сидит на месте, а скорее движется с небольшой и быстро меняющейся скоростью, когда молекулы жидкости сталкиваются с ним. Броуновское движение преобразует тепловую энергию в кинетическую энергию, обратную сопротивлению.
- Если электрический ток проходит через проволочную петлю с резистором в ней, ток быстро упадет до нуля из-за сопротивления. Сопротивление рассеивает электрическую энергию, превращая ее в тепло ( джоулевое нагревание ). Соответствующая флуктуация - шум Джонсона . Проволочная петля с резистором на самом деле не имеет нулевого тока, она имеет небольшой и быстро колеблющийся ток, вызванный тепловыми флуктуациями электронов и атомов в резисторе. Шум Джонсона преобразует тепловую энергию в электрическую - обратную сопротивлению.
- Когда свет падает на объект, некоторая его часть поглощается, делая объект более горячим. Таким образом, поглощение света превращает световую энергию в тепло. Соответствующее колебание - тепловое излучение (например, свечение «раскаленного» объекта). Тепловое излучение превращает тепловую энергию в энергию света - обратное поглощению света. Действительно, закон Кирхгофа о тепловом излучении подтверждает, что чем эффективнее объект поглощает свет, тем больше теплового излучения он излучает.
Подробно о примерах
Теорема о флуктуации-диссипации - это общий результат статистической термодинамики, который количественно определяет связь между флуктуациями в системе, которая подчиняется детальному балансу, и реакцией системы на приложенные возмущения.
Броуновское движение
Например, Альберт Эйнштейн в своей статье 1905 года о броуновском движении отметил, что те же самые случайные силы, которые вызывают беспорядочное движение частицы в броуновском движении, также вызовут сопротивление, если частица будет протаскиваться через жидкость. Другими словами, колебания покоящейся частицы имеют то же происхождение, что и диссипативная сила трения, против которой нужно работать, если кто-то пытается возмущать систему в определенном направлении.
Из этого наблюдения Эйнштейн смог использовать статистическую механику, чтобы вывести соотношение Эйнштейна – Смолуховского.
который связывает постоянную диффузии D и подвижность частицы μ , отношение конечной скорости дрейфа частицы к приложенной силе. k B - постоянная Больцмана , а T - абсолютная температура .
Тепловой шум в резисторе
В 1928 году Джон Б. Джонсон открыл, а Гарри Найквист объяснил шум Джонсона – Найквиста . В отсутствие приложенного тока среднеквадратичное напряжение зависит от сопротивления, , а пропускная способность на котором измеряется напряжение: [4]
Это наблюдение можно понять через призму теоремы о флуктуации-диссипации. Возьмем, например, простую схему, состоящую из резистора с сопротивлениеми конденсатор с малой емкостью. Закон Кирхгофа дает
и поэтому функция отклика для этой схемы
В пределе низких частот , его мнимая часть просто
которую затем можно связать с функцией автокорреляции напряжения через теорему флуктуации-диссипации
Шум напряжения Джонсона – Найквиста наблюдалось в небольшой полосе частот сосредоточено вокруг . Следовательно
Общая формулировка
Флуктуационно-диссипативную теорему можно сформулировать по-разному; одна особенно полезная форма следующая: [ необходима цитата ]
Позволять быть наблюдаемыми из динамической системы с гамильтонианом подвержен тепловым колебаниям. Наблюдаемое будет колебаться около своего среднего значения с колебаниями, характеризующимися спектром мощности . Предположим, что мы можем включить изменяющееся во времени пространственно постоянное поле который изменяет гамильтониан на . Ответ наблюдаемого в зависящее от времени поле характеризуется в первом порядке функцией восприимчивости или линейного отклика системы
где возмущение включается адиабатически (очень медленно) при .
Теорема флуктуации-диссипации связывает двусторонний спектр мощности (т.е. как положительные, так и отрицательные частоты) в мнимую часть преобразования Фурье восприимчивости :
Левая часть описывает колебания , правая часть тесно связана с энергией, рассеиваемой системой при накачке колебательным полем .
Это классическая форма теоремы; квантовые флуктуации учитываются заменой с участием (чей предел для является ). Доказательство может быть найдено с помощью редукции LSZ , тождества из квантовой теории поля. [ необходима цитата ]
Теорема о флуктуации-диссипации может быть напрямую обобщена на случай пространственно-зависимых полей, на случай нескольких переменных или на квантово-механическую установку. [1]
Вывод
Классическая версия
Мы выводим флуктуационно-диссипативную теорему в приведенной выше форме, используя те же обозначения. Рассмотрим следующий тестовый пример: поле f было включено бесконечное время и выключено при t = 0.
где - функция Хевисайда . Мы можем выразить математическое ожиданиераспределением вероятностей W ( x , 0) и вероятностью перехода
Функция распределения вероятностей W ( x , 0) является равновесным распределением и, следовательно, задается распределением Больцмана для гамильтониана
где . Для слабого поля, мы можем разложить правую часть
здесь - равновесное распределение в отсутствие поля. Подставляя это приближение в формулу для дает
( * )
где A ( t ) - автокорреляционная функция x в отсутствие поля:
Обратите внимание, что в отсутствие поля система инвариантна относительно сдвигов во времени. Мы можем переписатьиспользуя восприимчивость системы и, следовательно, найдем с помощью приведенного выше уравнения (*)
Вследствие этого,
( ** )
Чтобы сделать утверждение о частотной зависимости, необходимо воспользоваться преобразованием Фурье уравнения (**) . Интегрируя по частям, можно показать, что
С действительна и симметрична, отсюда следует, что
Наконец, для стационарных процессов , то Винера-Хинчина теорема утверждает , что двусторонняя спектральная плотность равен преобразование Фурье функции автокорреляции:
Следовательно,
Квантовая версия
Теорема флуктуации-диссипации связывает корреляционную функцию интересующей наблюдаемой(мера флуктуации) в мнимую часть функции отклика в частотной области (мера рассеяния). Связь между этими величинами можно найти с помощью так называемой формулы Кубо [5]
что следует, в предположениях теории линейного отклика , из эволюции во времени среднего по ансамблю наблюдаемогопри наличии возмущающего источника. После преобразования Фурье формула Кубо позволяет записать мнимую часть функции отклика в виде
В каноническом ансамбле второй член можно переформулировать как
где во втором равенстве мы переставили используя циклическое свойство следа (на этом шаге мы также предположили, что оператор является бозонным, т.е. не меняет знака при перестановке). Далее в третьем равенстве мы вставили рядом со следом и интерпретируется как оператор эволюции во времени с мнимым интервалом времени. Мнимый сдвиг во времени превращается в множитель после преобразования Фурье
и, таким образом, выражение для легко переписать в виде квантового флуктуационно-диссипативного соотношения [6]
где спектральная плотность мощности является преобразованием Фурье автокорреляции а также - функция распределения Бозе-Эйнштейна . Тот же расчет также дает
таким образом, в отличие от того, что получается в классическом случае, спектральная плотность мощности не является точно частотно-симметричной в квантовом пределе. Последовательно,имеет мнимую часть, происходящую из правил коммутации операторов. [7] Дополнительный ""термин в выражении на положительных частотах может также рассматриваться как связанный со спонтанным излучением . Часто цитируемым результатом также является симметризованная спектральная плотность мощности
""можно рассматривать как связанную с квантовыми флуктуациями или с движением нулевой точки наблюдаемого. При достаточно высоких температурах, т.е. квантовый вклад пренебрежимо мал, и мы восстанавливаем классический вариант.
Нарушения в стеклянных системах
В то время как теорема флуктуации-диссипации обеспечивает общую связь между реакцией систем, подчиняющихся детальному балансу , когда детальный баланс нарушается, сравнение флуктуаций и диссипации более сложное. Ниже так называемой температуры стекла , стеклообразные системы не уравновешены и медленно приближаются к своему состоянию равновесия. Этот медленный подход к равновесию синонимичен нарушению детального баланса . Таким образом, эти системы требуют больших временных масштабов для изучения, пока они медленно движутся к равновесию.
Для изучения нарушения флуктуационно-диссипативного соотношения в стеклообразных системах, в частности в спиновых стеклах , см. [8] выполнили численное моделирование макроскопических систем (т.е. больших по сравнению с их корреляционными длинами), описываемых трехмерной моделью Эдвардса-Андерсона, с использованием суперкомпьютеров. В их моделировании система сначала готовится при высокой температуре, а затем быстро охлаждается до температурыниже температуры стекла , и оставили на очень долгое время для уравновешивания под магнитным полем . Затем, в более позднее время, исследуются две динамические наблюдаемые, а именно функция отклика
и спин-временная корреляционная функция
где Спин живёт на узле кубической решетки объема , а также - плотность намагниченности. Соотношение флуктуаций и диссипации в этой системе можно записать в терминах этих наблюдаемых как
Их результаты подтверждают ожидание того, что, поскольку системе дают уравновеситься в течение более длительного времени, соотношение флуктуаций и диссипации становится ближе к выполнению.
В середине 1990-х годов при изучении динамики моделей спинового стекла было обнаружено обобщение флуктуационно-диссипативной теоремы [9] , справедливое для асимптотических нестационарных состояний, когда температура, фигурирующая в соотношении равновесия, заменяется эффективная температура с нетривиальной зависимостью от временных масштабов. Предполагается, что это соотношение сохраняется в стеклянных системах за пределами моделей, для которых оно было первоначально обнаружено.
Квантовая версия
Энтропия Реньи, а также энтропия фон Неймана в квантовой физике не наблюдаются, поскольку они нелинейно зависят от матрицы плотности. Недавно Ансари и Назаров доказали точное соответствие, которое раскрывает физический смысл потока энтропии Реньи во времени. Это соответствие аналогично теореме флуктуации-диссипации по духу и позволяет измерять квантовую энтропию с использованием полной статистики подсчета (FCS) передачи энергии. [10] [11] [12]
Смотрите также
- Неравновесная термодинамика
- Отношения Грина – Кубо
- Онсагер взаимные отношения
- Теорема о равнораспределении
- Распределение Больцмана
- Диссипативная система
Заметки
- ^ а б Х. Каллен ; Т. А. Велтон (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Физический обзор . 83 (1): 34–40. Полномочный код : 1951PhRv ... 83 ... 34C . DOI : 10.1103 / PhysRev.83.34 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Эйнштейн, Альберт (май 1905 г.). "Über die von der molkularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" . Annalen der Physik . 322 (8): 549–560. Bibcode : 1905AnP ... 322..549E . DOI : 10.1002 / andp.19053220806 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Найквист Х (1928). «Тепловое возбуждение электрического заряда в проводниках». Физический обзор . 32 (1): 110–113. Полномочный код : 1928PhRv ... 32..110N . DOI : 10.1103 / PhysRev.32.110 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Blundell, Стивен Дж .; Бланделл, Кэтрин М. (2009). Понятия по теплофизике . ОУП Оксфорд.
- ^ Кубо Р. (1966). «Флуктуационно-диссипативная теорема». Отчеты о достижениях физики . 29 (1): 255–284. Bibcode : 1966RPPh ... 29..255K . DOI : 10.1088 / 0034-4885 / 29/1/306 .
- ^ Хенгги Питер, Ингольд Герт-Людвиг (2005). «Фундаментальные аспекты квантового броуновского движения» . Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 15 (2): 026105. Arxiv : колич-фот / 0412052 . Bibcode : 2005Chaos..15b6105H . DOI : 10.1063 / 1.1853631 . PMID 16035907 . S2CID 9787833 .
- ^ Клерк, AA; Деворет, MH; Гирвин, С.М.; Марквардт, Флориан; Schoelkopf, RJ (2010). «Введение в квантовый шум, измерение и усиление». Обзоры современной физики . 82 (2): 1155. arXiv : 0810.4729 . Bibcode : 2010RvMP ... 82.1155C . DOI : 10.1103 / RevModPhys.82.1155 . S2CID 119200464 .
- ^ Байти-Ези Марко, Калоре Энрико, Крус Андрес, Антонио Фернандес Луис, Мигель Хиль-Нарвион Хосе, Гордильо-Герреро Антонио, Иньигес Давид, Майорано Андреа, Маринари Энцо, Мартин-Майор Виктор, Монфорте-Гарсия Хорхе, Муньос Антонио Судуперо Дени, Паризи Джорджио, Перес-Гавиро Серхио, Риччи-Терсенги Федерико, Хесус Руис-Лоренцо Хуан, Фабио Скифано Себастьяно, Сеоан Беатрис, Таранкон Альфонсо, Трипиччоне Рафаэле, Илланес Давид (2017). «Эквивалентность статики и динамики через отношение флуктуации и диссипации обеспечивает окно в фазу спинового стекла из неравновесных измерений» . Труды Национальной академии наук . 114 (8): 1838–1843. arXiv : 1610.01418 . Bibcode : 2017PNAS..114.1838B . DOI : 10.1073 / pnas.1621242114 . PMC 5338409 . PMID 28174274 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Cugliandolo LF ; Курчан Дж. (1993). «Аналитическое решение неравновесной динамики дальнодействующей модели спинового стекла». Письма с физическим обзором . 71 (1): 173–176. arXiv : cond-mat / 9303036 . Bibcode : 1993PhRvL..71..173C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.71.173 . PMID 10054401 . S2CID 8591240 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ↑ Ансари Назаров (2016)
- ^ Ансари Назаров (2015a)
- ^ Ансари Назаров (2015b)
Рекомендации
- Х. Б. Каллен, Т. А. Велтон (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Физический обзор . 83 (1): 34–40. Полномочный код : 1951PhRv ... 83 ... 34C . DOI : 10.1103 / PhysRev.83.34 .
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1980). Статистическая физика . Курс теоретической физики . 5 (3-е изд.).
- Умберто Марини Беттоло Маркони; Андреа Пуглиси; Ламберто Рондони; Анджело Вульпиани (2008). "Флуктуация-диссипация: теория отклика в статистической физике". Отчеты по физике . 461 (4–6): 111–195. arXiv : 0803.0719 . Bibcode : 2008PhR ... 461..111M . DOI : 10.1016 / j.physrep.2008.02.002 . S2CID 118575899 .
дальнейшее чтение
- Аудиозапись лекции профессора Э.В. Карлсона из Университета Пердью
- Знаменитый текст Кубо: Теорема флуктуации-диссипации
- Вебер Дж (1956). «Теорема флуктуационной диссипации». Физический обзор . 101 (6): 1620–1626. arXiv : 0710.4394 . Bibcode : 1956PhRv..101.1620W . DOI : 10.1103 / PhysRev.101.1620 .
- Фельдерхоф БУ (1978). «О выводе флуктуационно-диссипативной теоремы». Журнал Physics A . 11 (5): 921–927. Bibcode : 1978JPhA ... 11..921F . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 11/5/021 .
- Кристани А., Риторт Ф (2003). «Нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы в стеклообразных системах: основные понятия и числовые доказательства». Журнал Physics A . 36 (21): R181 – R290. arXiv : cond-mat / 0212490 . Bibcode : 2003JPhA ... 36R.181C . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 36/21/201 . S2CID 14144683 .
- Чендлер Д. (1987). Введение в современную статистическую механику . Издательство Оксфордского университета. С. 231–265 . ISBN 978-0-19-504277-1.
- Райхль Л.Е. (1980). Современный курс статистической физики . Остин, Техас: Техасский университет Press. С. 545–595. ISBN 0-292-75080-3. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Плишке М, Бергерсен Б (1989). Статистическая физика равновесия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 251–296. ISBN 0-13-283276-3.
- Патрия РК (1972). Статистическая механика . Оксфорд: Pergamon Press. С. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Хуанг К. (1987). Статистическая механика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. 153, 394–396. ISBN 0-471-81518-7.
- Каллен HB (1985). Термодинамика и введение в термостатистику . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. 307–325. ISBN 0-471-86256-8.
- Мазонка, Олег (2016). «Легко, как Пи: зависимость флуктуации и рассеяния» (PDF) . Справочный журнал . 16 .
- Ансари, Мохаммад Х .; Назаров, Юлий В. (2015). «Точное соответствие между потоками энтропии Реньи и физическими потоками». Physical Review B . 91 (17): 174307. arXiv : 1502.08020 . Bibcode : 2015PhRvB..91q4307A . DOI : 10.1103 / PhysRevB.91.174307 . S2CID 36847902 .