Расширение группы

В математике групповое расширение является общим средством описания группы в терминах конкретной нормальной подгруппы и фактор-группы . Если и две группы, то является расширением by, если существует короткая точная последовательность ${\ Displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle Н}$

Если является расширением по , то является группой, является нормальной подгруппой и фактор - группа изоморфна группе . Расширения групп возникают в контексте проблемы расширения , где известны группы и и должны быть определены свойства . Обратите внимание, что фраза « является расширением by » также используется некоторыми. ^[1] ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle \ йота (N)}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle Г / \ йота (N)}$ ${\ Displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle Q}$

Поскольку любая конечная группа обладает максимальной нормальной подгруппой с простой факторгруппой , все конечные группы могут быть построены как ряд расширений с конечными простыми группами . Этот факт послужил мотивом для завершения классификации конечных простых групп . ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle г / п}$

Расширение называется центральным расширением , если подгруппа лежит в центре . ${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle г}$

Одно расширение, прямое произведение , очевидно сразу. Если требуется , чтобы и были абелевыми группами , то множество классов изоморфизма расширений данной (абелевой) группой на самом деле является группой, которая изоморфна ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle Н}$

ср. функтор Ext . Известно несколько других общих классов расширений, но не существует теории, рассматривающей все возможные расширения одновременно. Расширение группы обычно описывается как сложная проблема; это называется проблемой расширения .

фигура 1