Дифференциальный идеал

В теории дифференциальных форм , А дифференциальный идеал I представляет собой алгебраическую идеал в кольце гладких дифференциальных форм на гладком многообразии , другими словами, градуированный идеал в смысле теории колец , что дополнительно замкнут относительно внешнего дифференцирования д . Другими словами, для любого вида а в I , то внешняя производная d α также находится в I .

В теории дифференциальной алгебры , А дифференциальный идеал I в дифференциальном кольце R является идеальным , который отображается в себя каждый дифференциальном операторе.

Внешние дифференциальные системы и уравнения в частных производных [ править ]

Внешняя дифференциальная система состоит из гладкого многообразия и дифференциального идеала${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle I \ подмножество \ Omega ^ {*} (M)}$.

Интегральное многообразие из внешней дифференциальной системы состоит из подмногообразия , обладающего свойством , что откат к все дифференциальным формам , содержащимся в тождественно равен нуле.${\ Displaystyle (М, Я)}$ ${\ Displaystyle N \ подмножество M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle I}$

Любую систему дифференциальных уравнений в частных производных можно выразить как внешнюю дифференциальную систему с условием независимости. Предположим, что у нас есть система уравнений в частных производных k- го порядка для отображений , заданная формулой${\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {m} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\displaystyle F^{r}(x,u,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}})=0,\quad 1\leq |I|\leq k}$.

График -строго любого решения этой системы частичной дифференциальное уравнения является подмногообразием из пространства струй , и является интегральным многообразием контактной системы на -стром пучке.${\displaystyle k}$${\displaystyle (u^{a},p_{i}^{a},\dots ,p_{I}^{a})=(u^{a}(x),{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}},\dots ,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}})_{1\leq |I|\leq k}}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle du^{a}-p_{i}^{a}dx^{i},\dots ,dp_{I}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{1\leq |I|\leq k-1}}$${\displaystyle k}$

Эта идея позволяет анализировать свойства дифференциальных уравнений в частных производных методами дифференциальной геометрии. Например, мы можем применить теорему Картана – Келера к системе дифференциальных уравнений в частных производных, записав связанную внешнюю дифференциальную систему. Мы часто можем применять метод эквивалентности Картана к внешним дифференциальным системам для изучения их симметрий и их инвариантов диффеоморфизма.

Совершенные дифференциальные идеалы [ править ]

Дифференциальный идеал совершенен, если он обладает тем свойством, что если он содержит элемент, они содержат любой элемент такой, что для некоторых .${\displaystyle I\,}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle b\in I}$${\displaystyle b^{n}=a}$${\displaystyle n>0\,}$

Ссылки [ править ]

• Роберт Брайант , Филип Гриффитс и Лукас Хсу, К геометрии дифференциальных уравнений (файл DVI), в Геометрии, топологии и физике, конф. Proc. Конспект лекций Геом. Топология, под ред. С.-Т. Яу, т. IV (1995), стр. 1–76, Internat. Press, Кембридж, Массачусетс
• Роберт Брайант , Шиинг-Шен Черн , Роберт Гарднер , Филипп Гриффитс , Хуберт Гольдшмидт, Внешние дифференциальные системы , Springer - Verlag, Гейдельберг, 1991.
• Томас А. Айви, Дж. М. Ландсберг, Картан для начинающих . Дифференциальная геометрия через подвижные рамы и внешние дифференциальные системы. Второе издание. Аспирантура по математике, 175. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2016.
• HW Raudenbush, Jr. "Идеальная теория и алгебраические дифференциальные уравнения", Труды Американского математического общества , Vol. 36, No. 2. (апрель 1934 г.), стр. 361–368. Стабильный URL: [1] doi : 10.1090 / S0002-9947-1934-1501748-1
• Дж. Ф. Ритт, Дифференциальная алгебра , Дувр, Нью-Йорк, 1950.

Эта статья, посвященная дифференциальной геометрии, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v t e