Интервальная арифметика
Интервальная арифметика (также известная как интервальная математика; интервальный анализ или интервальное вычисление ) — это математический метод, используемый для уменьшения ошибок округления и измерения в математических вычислениях путем вычисления границ функции . Численные методы , включающие интервальную арифметику , могут гарантировать относительно надежные и математически правильные результаты. Вместо того, чтобы представлять значение как одно число, интервальная арифметика представляет каждое значение как диапазон возможностей .
С математической точки зрения, вместо того, чтобы работать с неопределенной переменной с действительным знаком , интервальная арифметика работает с интервалом , который определяет диапазон возможных значений. Другими словами, любое значение переменной лежит в отрезке между и . Функция , примененная к , создает интервал , который включает все возможные значения for для всех .
![[а, б]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc220c59120619c6b577fecaa3eea299bfb00a5e)
![[CD]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d668b5be1016d747db0e3c545f96c6c05bfe86)
![х\в [а,б]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78c21b6a9ed8e6282f10d26e2c8310bba4213cc)
Интервальная арифметика подходит для самых разных целей; чаще всего используется в научных работах, особенно когда расчеты выполняются с помощью программного обеспечения, где он используется для отслеживания ошибок округления в расчетах и неопределенностей в знании точных значений физических и технических параметров. Последние часто возникают из-за ошибок измерения и допусков для компонентов или из-за ограничений точности вычислений. Интервальная арифметика также помогает находить гарантированные решения уравнений (например, дифференциальных уравнений ) и задач оптимизации .
Основная цель интервальной арифметики — предоставить простой способ вычисления верхней и нижней границ диапазона функции в одной или нескольких переменных. Эти конечные точки не обязательно являются истинным супремумом или инфимумом диапазона, поскольку точное вычисление этих значений может быть затруднено или невозможно; границы должны содержать только диапазон функции как подмножество.
где и разрешены. С одним из , бесконечным, интервал был бы неограниченным интервалом; с обоими бесконечными интервал был бы расширенной линией действительных чисел. Поскольку действительное число можно интерпретировать как интервал, интервалы и действительные числа можно свободно комбинировать.
![{\ Displaystyle [р, г]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efd011cc6059ec2bd64f0748ba60dd2d6629d64)
Рассмотрим расчет индекса массы тела человека (ИМТ). ИМТ рассчитывается как масса тела человека в килограммах, деленная на квадрат его роста в метрах. Предположим, человек использует весы с точностью до одного килограмма, на которых невозможно различить промежуточные значения, а истинный вес округляется до ближайшего целого числа. Например, 79,6 кг и 80,3 кг неразличимы, так как весы могут отображать значения только с точностью до килограмма. Маловероятно, что когда весы показывают 80 кг, человек имеет вес ровно 80,0 кг. Таким образом, весы, отображающие 80 кг, указывают на вес от 79,5 кг до 80,5 кг или на интервал .
![{\ Displaystyle [79,5,80,5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4358bbf0f142b25f2afe86283a3a9ab2b23d02)