Уравнения падающего тела

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Уравнения падающего тела» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( октябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Система уравнений описывает результирующие траектории, когда объекты движутся под действием постоянной силы тяжести в нормальных условиях связи с Землей . Например, закон всемирного тяготения Ньютона упрощается до F = mg , где m - масса тела. Это предположение разумно для объектов, падающих на Землю на относительно коротких вертикальных расстояниях в нашем повседневном опыте, но неверно на больших расстояниях, таких как траектории космического корабля.

История [ править ]

Галилей был первым, кто продемонстрировал, а затем сформулировал эти уравнения. Он использовал пандус, чтобы изучить катящиеся шары, пандус замедлял ускорение настолько, чтобы измерить время, необходимое мячу, чтобы катиться на известное расстояние. ^[1]^[2] Он измерял прошедшее время с помощью водяных часов , используя «чрезвычайно точные весы» для измерения количества воды. ^{[примечание 1]}

Уравнения игнорируют сопротивление воздуха, которое оказывает драматическое влияние на объекты, падающие на значительное расстояние в воздухе, заставляя их быстро приближаться к конечной скорости . Эффект сопротивления воздуха сильно различается в зависимости от размера и геометрии падающего объекта - например, уравнения безнадежно неверны для пера, которое имеет небольшую массу, но оказывает большое сопротивление воздуху. (В отсутствие атмосферы все объекты падают с одинаковой скоростью, как продемонстрировал астронавт Дэвид Скотт , уронив молот и перо на поверхность Луны .)

Уравнения также игнорируют вращение Земли, например, не в состоянии описать эффект Кориолиса . Тем не менее, они обычно достаточно точны для плотных и компактных объектов, падающих с высоты, не превышающей самые высокие искусственные сооружения.

Обзор [ править ]

Первоначально неподвижный объект, которому позволено свободно падать под действием силы тяжести, падает на расстояние, пропорциональное квадрату прошедшего времени. Это изображение, охватывающее полсекунды, было получено с помощью стробоскопической вспышки с частотой 20 вспышек в секунду. За первые 0,05 с мяч падает на одну единицу расстояния (около 12 мм), за 0,10 с он упал всего на 4 единицы, на 0,15 с - на 9 единиц и так далее.

Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения $g$ = 9,807 м / с ² ( метры на секунду в квадрате, что можно представить как «метры в секунду в секунду»; или 32,18 фут / с ² как «футы на секунду »). секунда в секунду ") примерно. Необходим согласованный набор единиц для $g$ , $d$ , $t$ и $v$ . В единицах СИ , $g$ измеряется в метрах в секунду в квадрате, поэтому $d$ необходимо измерять в метрах, $t -$ в секундах, а $v -$ в метрах в секунду.

Во всех случаях предполагается, что тело начинает движение из состояния покоя, а сопротивлением воздуха пренебрегают. Как правило, в атмосфере Земли все приведенные ниже результаты будут довольно неточными уже после 5 секунд падения (в это время скорость объекта будет немного меньше, чем значение вакуума 49 м / с (9,8 м / с ² × 5 с ) из-за сопротивления воздуха). Сопротивление воздуха вызывает силу сопротивления на любом теле, которое падает через любую атмосферу, кроме идеального вакуума, и эта сила сопротивления увеличивается со скоростью, пока не сравняется с силой тяжести, заставляя объект падать с постоянной конечной скоростью .

Конечная скорость зависит от атмосферного сопротивления, коэффициента сопротивления объекта, (мгновенной) скорости объекта и площади, представленной воздушному потоку.

Помимо последней формулы, эти формулы также предполагают, что $g$ незначительно изменяется с высотой во время падения (то есть они предполагают постоянное ускорение). Последнее уравнение является более точным, когда значительные изменения относительного расстояния от центра планеты во время падения вызывают значительные изменения $g$ . Это уравнение встречается во многих приложениях базовой физики.

Уравнения [ править ]

Расстояние, пройденное объектом, падающим на время : ${\ Displaystyle \ d \}$ ${\ Displaystyle \ т \}$	${\ displaystyle \ d = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$
Время, необходимое для падения объекта на расстояние : ${\ Displaystyle \ т \}$ ${\ Displaystyle \ d \}$	${\ displaystyle \ t = \ {\ sqrt {\ frac {2d} {g}}}}$
Мгновенная скорость падающего объекта по истечении времени : ${\ Displaystyle \ v_ {я} \}$ ${\ Displaystyle \ т \}$	${\ displaystyle \ v_ {i} = gt}$
Мгновенная скорость падающего объекта, прошедшего расстояние : ${\ Displaystyle \ v_ {я} \}$ ${\ Displaystyle \ d \}$	${\ Displaystyle \ v_ {я} = {\ sqrt {2gd}} \}$
Средняя скорость падающего в течение времени объекта (усредненная по времени): ${\ Displaystyle \ v_ {а} \}$ ${\ Displaystyle \ т \}$	${\ displaystyle \ v_ {a} = {\ frac {1} {2}} gt}$
Средняя скорость падающего объекта, прошедшего расстояние (усредненная по времени): ${\ Displaystyle \ v_ {а} \}$ ${\ Displaystyle \ d \}$	${\ displaystyle \ v_ {a} = {\ frac {\ sqrt {2gd}} {2}} \}$
Мгновенная скорость падающего объекта, который прошел расстояние на планете с массой , с объединенным радиусом планеты и высотой падающего объекта , это уравнение используется для больших радиусов, которые меньше, чем стандартные на поверхности Земли, но предполагает небольшое расстояние падения, поэтому изменение будет небольшим и относительно постоянным: ${\ Displaystyle \ v_ {я} \}$ ${\ Displaystyle \ d \}$ ${\ Displaystyle \ M \}$ ${\ Displaystyle \ г \}$ ${\ displaystyle \ g \}$ ${\ displaystyle \ g \}$ ${\ displaystyle \ g \}$	${\ displaystyle \ v_ {i} = {\ sqrt {\ frac {2GMd} {r ^ {2}}}} \}$
Мгновенная скорость падающего объекта, который прошел расстояние на планете с массой и радиусом (используется для больших расстояний падения, где может значительно измениться): ${\ Displaystyle \ v_ {я} \}$ ${\ Displaystyle \ d \}$ ${\ Displaystyle \ M \}$ ${\ Displaystyle \ г \}$ ${\ displaystyle \ g \}$	${\ displaystyle \ v_ {i} = {\ sqrt {2GM {\ Big (} {\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {r + d}} {\ Big)}}} \ }$

Измеренное время падения небольшого стального шара, падающего с разной высоты. Данные хорошо согласуются с прогнозируемым временем падения , где

h

- высота, а

g

- ускорение свободного падения.

{\ displaystyle {\ sqrt {2h / g}}}

Пример [ править ]

Первое уравнение показывает, что через одну секунду объект упадет на расстояние 1/2 × 9,8 × 1 ² = 4,9 м. Через две секунды он упадет 1/2 × 9,8 × 2 ² = 19,6 м; и так далее. Предпоследнее уравнение становится совершенно неточным на больших расстояниях. Если объект упал на 10 000 м на Землю, то результаты обоих уравнений отличаются всего на 0,08 %; однако, если он упал с геосинхронной орбиты , которая составляет 42 164 км, то разница изменится почти до 64 %.

Например, исходя из сопротивления ветра, конечная скорость парашютиста в положении свободного падения животом (т. Е. Лицом вниз) составляет около 195 км / ч (122 миль в час или 54 м / с). Эта скорость является асимптотическим предельным значением процесса ускорения, потому что эффективные силы на теле уравновешивают друг друга все более и более точно по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость 50 % от конечной скорости достигается всего за 3 секунды, в то время как для достижения 90 % требуется 8 секунд , для достижения 99 % - 15 секунд и так далее.

Более высокие скорости могут быть достигнуты, если парашютист подтягивает свои конечности (см. Также свободный полет ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 320 км / ч (200 миль в час или 90 м / с), что почти равно конечной скорости сапсана, ныряющего на свою добычу. Такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06, падающей вниз - когда она возвращается на землю после выстрела вверх или сбрасывается с башни - согласно исследованию артиллерийского вооружения армии США 1920 года.

Парашютисты, участвующие в соревнованиях по скорости, летают в положении вниз головой и развивают еще более высокие скорости. Текущий мировой рекорд - 1357,6 км / ч (843,6 миль / ч, 1,25 Маха ), сделанный Феликсом Баумгартнером , который прыгнул с высоты 38 969,4 м (127 852,4 фута) над землей 14 октября 2012 года. Рекорд был установлен из-за большой высоты, на которой меньшая плотность атмосферы уменьшила сопротивление.

Для астрономических тел, отличных от Земли , и для небольших расстояний падения, отличных от уровня земли, $g$ в приведенных выше уравнениях можно заменить на где $G$ - гравитационная постоянная , $M$ - масса астрономического тела, $m$ - масса падающего тела, а $r$ - радиус от падающего объекта до центра астрономического тела. ${\ displaystyle {\ frac {G (M + m)} {r ^ {2}}}}$

Удаление упрощающего предположения о равномерном ускорении свободного падения дает более точные результаты. Из формулы для радиально-эллиптических траекторий находим :

Время $t,$ необходимое для падения объекта с высоты $r$ на высоту $x$ , измеренное от центров двух тел, определяется как:

t={\frac {\arccos {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}

где - сумма стандартных гравитационных параметров двух тел. Это уравнение следует использовать всякий раз, когда есть существенная разница в ускорении свободного падения во время падения. $\mu =G(m_{1}+m_{2})$

Ускорение относительно вращающейся Земли [ править ]

Центростремительная сила приводит к тому, что ускорение, измеренное на вращающейся поверхности Земли, отличается от ускорения, которое измеряется для свободно падающего тела: кажущееся ускорение во вращающейся системе отсчета представляет собой полный вектор силы тяжести за вычетом небольшого вектора, направленного на север. южная ось Земли, соответствующая неподвижности в этой системе отсчета.

См. Также [ править ]

De Motu Antiquiora и две новые науки (самые ранние современные исследования движения падающих тел)
Уравнения движения
Свободное падение
Гравитация
Теорема о средней скорости , основа закона падающих тел
Радиальная траектория

Примечания [ править ]

↑ См. Работы Стиллмана Дрейка для всестороннего изучения Галилея и его времен, Научной революции .

Ссылки [ править ]

^ Джесперсен, Джеймс; Фитц-Рэндольф, Джейн. От солнечных часов к часам: понимание времени и частоты (PDF) . Национальный институт стандартов и технологий Монография 155 (Отчет) (изд. 1999 г.). Управление технологий Министерства торговли США и Национальный институт стандартов и технологий. С. 188–190.
Перейти ↑ MacDougal, DW (2012). «Глава 2 - Великое открытие Галилея: как дела рушатся». Гравитация Ньютона: Введение в механику Вселенной, конспекты лекций по физике (PDF) . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-5444-1_2 .

Внешние ссылки [ править ]

Калькулятор уравнений падающего тела

[3] См. Работы Стиллмана Дрейка для всестороннего изучения Галилея и его времен, Научной революции .

[1] Джесперсен, Джеймс; Фитц-Рэндольф, Джейн. От солнечных часов к часам: понимание времени и частоты (PDF) . Национальный институт стандартов и технологий Монография 155 (Отчет) (изд. 1999 г.). Управление технологий Министерства торговли США и Национальный институт стандартов и технологий. С. 188–190.

[2] Перейти ↑ MacDougal, DW (2012). «Глава 2 - Великое открытие Галилея: как дела рушатся». Гравитация Ньютона: Введение в механику Вселенной, конспекты лекций по физике (PDF) . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-5444-1_2 .

[1]