Выпуклая сопряженная

В математике и математической оптимизации выпуклое сопряжение функции является обобщением преобразования Лежандра , которое применяется к невыпуклым функциям. Он также известен как преобразование Лежандра-Фенхеля , преобразование Фенхеля или конъюгат Фенхеля (в честь Адриана-Мари Лежандра и Вернера Фенхеля ). Это позволяет, в частности, далеко идущее обобщение лагранжевой двойственности.

Позвольте быть реальным топологическим векторным пространством и пусть быть двойственным пространством к . Обозначим через ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle Х ^ {*}}$ ${\ Displaystyle Х}$

каноническое дуальное спаривание , которое определяется формулой ${\ Displaystyle \ влево (х ^ {*}, х \ вправо) \ mapsto х ^ {*} (х).}$

Для функции , принимающей значения на расширенной прямой с действительными числами , ее выпукло-сопряженной является функция ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$

чье значение at определяется как супремум : ${\ Displaystyle х ^ {*} \ в Х ^ {*}}$

Это определение можно интерпретировать как кодирование выпуклой оболочки эпиграфа функции в терминах поддерживающих ее гиперплоскостей . ^[1]