Слово Фибоначчи фрактал

Фибоначчи слово фрактал является фрактальной кривой , определенная на плоскости от слова Фибоначчи .

Определение [ править ]

Первые итерации

Представление L-системы ^[1]

Эта кривая строится итеративно путем применения к слову Фибоначчи 0100101001001 ... и т. Д. Правила рисования нечетно-четного:

Для каждой цифры в позиции k  :

1. Проведите отрезок вперед
2. Если цифра 0:
   • Поверните на 90 ° влево, если k четное
   • Поверните на 90 ° вправо, если k нечетное

Со словом Фибоначчи длины ( n- ^м числом Фибоначчи ) связана кривая, состоящая из сегментов. Кривая отображает три различных аспекта, независимо от того, имеет ли n форму 3 k , 3 k  + 1 или 3 k  + 2.${\ displaystyle F_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$${\ displaystyle F_ {n}}$

Свойства [ править ]

Числа Фибоначчи во фрактале слова Фибоначчи.

Вот некоторые из свойств фрактала слова Фибоначчи: ^{[2] [3]}

• Кривая содержит отрезки, прямые и плоские углы.${\ displaystyle {\ mathcal {F_ {n}}}}$${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle F_ {n-1}}$${\ displaystyle F_ {n-2}}$
• Кривая никогда не пересекает себя и не содержит двойных точек. В пределе он содержит бесконечное количество асимптотически близких точек.
• Кривая представляет самоподобие во всех масштабах. Передаточное число равно . Это число, также называемое соотношением серебра, присутствует в большом количестве свойств, перечисленных ниже.${\ displaystyle \ scriptstyle {1 + {\ sqrt {2}}}}$
• Количество самоподобий на уровне n - это число Фибоначчи \ −1. (точнее :) .${\displaystyle F_{3n+3}-1}$
• Кривая охватывает бесконечное количество квадратных структур уменьшающегося в соотношении размера . (см. рисунок) Количество этих квадратных структур является числом Фибоначчи .${\displaystyle \scriptstyle {1+{\sqrt {2}}}}$
• Кривая также может быть построена разными способами (см. Галерею ниже):${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$
  • Итерированная система функций 4 и 1 гомотетии отношения и${\displaystyle \scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})}}$${\displaystyle \scriptstyle {1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}}$
  • Объединив кривые и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-2}}$
  • Система Линдермайера
  • Путем итеративного построения 8 квадратных шаблонов вокруг каждого квадратного шаблона.
  • Повторным построением восьмиугольников
• Хаусдорфову слова Фибоначчи фрактал , с , в золотой пропорции .${\displaystyle \scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}}$${\displaystyle \scriptstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}$
• Если обобщить на угол между 0 и , его размерность Хаусдорфа составляет с .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \scriptstyle {3{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}}$${\displaystyle a=\cos \alpha }$
• Хаусдорфова размерность его границы составляет .${\displaystyle \scriptstyle {{\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}}$
• Если поменять местами «0» и «1» в слове Фибоначчи или в правиле рисования, получится аналогичная кривая, но ориентированная под углом 45 °.
• Из слова Фибоначчи можно определить «плотное слово Фибоначчи» в алфавите из 3 букв: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... ((последовательность A143667 в OEIS )). Использование этого слова более простого правила рисования определяет бесконечный набор вариантов кривой, среди которых:
  • "диагональный вариант"
  • "вариант свастики"
  • «компактный вариант»
• Предполагается, что слово фрактал Фибоначчи появляется для каждого штурмового слова, для которого наклон, записанный в виде непрерывной дроби , заканчивается бесконечной серией "1".

Галерея [ править ]

• 

  Кривая после итераций.${\displaystyle \textstyle {F_{23}}}$

• 

  Самоподобие в разных масштабах.

• 

  Размеры.

• 

  Строительство путем сопоставления (1)

• 

  Строительство путем сопоставления (2)

• 
• 

  Построение путем повторного подавления квадратного узора.

• 

  Построение повторяющимися восьмиугольниками.

• 

  Построение повторяющимся набором 8 квадратных шаблонов вокруг каждого квадратного шаблона.

• С углом 60 °.

• Инверсия «0» и «1».

• Варианты, порожденные плотным словом Фибоначчи.

• «Компактный вариант»

• «Вариант свастики»

• «Диагональный вариант»

• Вариант "пи / 8"

• Творчество художника (Самуэль Монье).

Плитка Фибоначчи [ править ]

Наложение четырех кривых позволяет построить замкнутую кривую, охватывающую поверхность, площадь которой не равна нулю. Эта кривая называется «плиткой Фибоначчи».${\displaystyle F_{3k}}$

• Плитка Фибоначчи почти закрывает плоскость. При сопоставлении 4 плиток (см. Иллюстрацию) в центре остается свободный квадрат, площадь которого стремится к нулю, поскольку k стремится к бесконечности. На пределе бесконечная плитка Фибоначчи покрывает плоскость.
• Если плитка заключена в квадрат со стороной 1, то ее площадь стремится к .${\displaystyle \scriptstyle {2-{\sqrt {2}}=0.5857}}$

Снежинка Фибоначчи [ править ]

Фибоначчи снежинки для я = 2 для п = 1 до 4: , , , ^[4]${\displaystyle \sideset {}{_{1}^{\left[2\right]}\quad }\prod }$${\displaystyle \sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod }$${\displaystyle \sideset {}{_{3}^{\left[2\right]}\quad }\prod }$${\displaystyle \sideset {}{_{4}^{\left[2\right]}\quad }\prod }$

Снежинка Фибоначчи является плитка Фибоначчи определяется по формуле: ^[5]

• ${\displaystyle \scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}}$ если ${\displaystyle \scriptstyle {n\equiv 2{\pmod {3}}}}$
• ${\displaystyle \scriptstyle {q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}}$ иначе.

с помощью и , "повернуть налево" et "повернуть направо", и ,${\displaystyle q_{0}=\epsilon }$${\displaystyle q_{1}=R}$${\displaystyle L=}$${\displaystyle R=}$${\displaystyle \scriptstyle {{\overline {R}}=L}}$

Несколько замечательных свойств: ^[5]  · : ^[6]

• Это плитка Фибоначчи, связанная с ранее определенным диагональным вариантом.
• Он облицовывает самолет в любом порядке.
• Он разбивает плоскость путем перевода двумя разными способами.
• его периметр при порядке n равен . - n- ^е число Фибоначчи .${\displaystyle 4F(3n+1)}$${\displaystyle F(n)}$
• его площадь в порядке n следует за последовательными индексами нечетной строки последовательности Пелла (определяемой ).${\displaystyle P(n)=2P(n-1)+P(n-2)}$

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Золотое сечение
• Число Фибоначчи
• Слово Фибоначчи
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Внешние ссылки [ править ]

• « Создайте фрактал слова Фибоначчи », OnlineMathTools.com .