В актуарной науке , сила смертности представляет собой мгновенную скорость смертности при достижении определенного возраста , измеренного в пересчете на год. По своей концепции она идентична интенсивности отказов , также называемой функцией риска в теории надежности .
Мотивация и определение
В таблице смертности мы рассматриваем вероятность смерти человека в возрасте от x до x + 1, называемую q x . В непрерывном случае мы могли бы также рассмотреть условную вероятность того, что человек, достигший возраста ( x ), умрет в возрасте от x до x + Δx , которая равна
где F X (x) - кумулятивная функция распределения непрерывной случайной величины возраста на момент смерти , X. Поскольку Δx стремится к нулю, то же самое делает и эта вероятность в непрерывном случае. Примерная сила смертности равна этой вероятности, деленной на Δx . Если мы позволим Δx стремиться к нулю, мы получим функцию силы смертности , обозначенную как:
Поскольку f X ( x ) = F ' X ( x ) - это функция плотности вероятности X , а S ( x ) = 1 - F X ( x ) - функция выживания , сила смертности также может быть выражена по-разному как:
Чтобы концептуально понять, как сила смертности действует в популяции, примите во внимание, что в возрасте x , когда функция плотности вероятности f X ( x ) равна нулю, нет никаких шансов на смерть. Таким образом, сила смертности в этом возрасте равна нулю. Сила смертности μ ( x ) однозначно определяет функцию плотности вероятности f X ( x ).
Сила смертности можно интерпретировать как условную плотность отказов в возрасте x , а f ( x ) - это безусловная плотность отказов в возрасте x . [1] Безусловная плотность неудач в возрасте x является произведением вероятности дожития до возраста x и условной плотности неудач в возрасте x при условии дожития до возраста x .
Это выражается символами как
или эквивалентно
Во многих случаях также желательно определить функцию вероятности выживания, когда известна сила смертности. Для этого интегрируем силу смертности на интервале x в x + t.
- .
По основной теореме исчисления это просто
Обозначим
затем взяв показатель степени по основанию e , вероятность выживания человека в возрасте x с точки зрения силы смертности равна
Примеры
- Самый простой пример - когда сила смертности постоянна:
- тогда функция выживания
- - экспоненциальное распределение.
- Когда сила смертности
- где γ (α, y) - нижняя неполная гамма-функция, функция плотности вероятности - функция гамма-распределения.
- Когда сила смертности
- где α ≥ 0, имеем
- Таким образом, функция выживания есть
- где Это функция выживания для распределения Вейбулла . Для α = 1 это то же самое, что и экспоненциальное распределение.
- Другой известный пример - это когда модель выживания следует закону смертности Гомперца-Мейкхема . [2] В этом случае сила смертности равна
- Используя последнюю формулу, имеем
- потом
- где