В математике и статистике , то средний Фреш является обобщение центроиды в метрические пространства , давая единую представительную точку или центральную тенденцию для кластера точек. Он назван в честь Мориса Фреше . Karcher mean - это переименование Римского центра массового строительства, разработанное Карстеном Гроувом и Германом Керхером. [1] [2] О действительных числах, среднем арифметическом , медиане , среднем геометрическом и среднем гармоническом все можно интерпретировать как средние Фреше для различных функций расстояния.
Определение
Пусть ( M , d ) - полное метрическое пространство. Пусть х 1 , х 2 , ..., х N случайные точки в М . Для любой точки p в M определите дисперсию Фреше как сумму квадратов расстояний от p до x i :
Эти средства Karcher затем эти точки, т из М , который локально минимизировать ф: [2]
Если существует m из M, которое глобально минимизирует, то оно является средним по Фреше .
Иногда x i присваиваются веса w i . Затем дисперсия Фреше рассчитывается как взвешенная сумма,
Примеры средств Фреше
Среднее арифметическое и медиана
Для действительных чисел среднее арифметическое является средним по Фреше с использованием обычного евклидова расстояния в качестве функции расстояния.
Медианный также средний Фреш, если определение функции Ψ обобщается на не-квадратичный
где , а евклидово расстояние - это функция расстояния d . [3] В многомерных пространствах это становится геометрической медианой .
Среднее геометрическое
На положительных действительных числах функция (гиперболического) расстояния можно определить. Среднее геометрическое представляет собой соответствующий Фреше среднее. Действительно тогда является изометрией евклидова пространства в это «гиперболическое» пространство и должно соответствовать среднему Фреше: среднему Фреше это изображение среднего Фреше (в евклидовом смысле) , т.е. должно быть:
- .
Гармоническое среднее
На положительных действительных чисел , то метрика (расстояние функции):
можно определить. Гармоническое среднее является соответствующим Фреше среднее. [ необходима цитата ]
Власть означает
Учитывая ненулевое действительное число , среднее значение мощности может быть получено как среднее значение Фреше путем введения метрики [ необходимая цитата ]
f-mean
Учитывая обратимую и непрерывную функцию , f-среднее может быть определено как среднее по Фреше, полученное с помощью метрики: [ необходима цитата ]
Иногда это называют обобщенным f-средним или квазиарифметическим средним .
Средневзвешенные
Общее определение среднего Фреше, которое включает возможность взвешивания наблюдений, может использоваться для получения взвешенных версий для всех вышеупомянутых типов средних.
Рекомендации
- ^ Роща, Карстен; Karcher, Hermann (1973), "Как сопрягать действия C1-близких групп, Math.Z.132", Mathematische Zeitschrift , 132 (1): 11–20, doi : 10.1007 / BF01214029.
- ^ а б Нильсен, Франк; Бхатия, Раджендра (2012), Матричная информационная геометрия , Springer, стр. 171, ISBN 9783642302329.
- ^ Nielsen & Bhatia (2012) , стр. 136 .