Квазиарифметическое среднее

В математике и статистике , то квази-среднее арифметическое или обобщен е -средние одно обобщение более привычных средств , таких как среднее арифметическое и геометрическое среднее , используя функцию . Его также называют средним Колмогорова в честь русского математика Андрея Колмогорова . Это более широкое обобщение, чем обычное обобщенное среднее .${\ displaystyle f}$

Определение [ править ]

Если f - функция, которая отображает интервал действительной прямой в действительные числа , и является одновременно непрерывной и инъективной , f -среднее чисел определяется как , что также может быть записано ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ in I}$${\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ { n})} {n}} \ right)}$

${\ displaystyle M_ {f} ({\ vec {x}}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ( x_ {k}) \ right)}$

Мы требуем, чтобы функция f была инъективной, чтобы обратная функция существовала. Поскольку определяется в интервале, лежит в пределах домена .${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$${\displaystyle f^{-1}}$

Поскольку f инъективен и непрерывен, отсюда следует, что f - строго монотонная функция , и, следовательно, f -среднее не больше наибольшего числа в кортеже и не меньше наименьшего числа в .${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Примеры [ править ]

• Если = ℝ, действительная прямая и , (или действительно любая линейная функция , не равная 0), то f -среднее соответствует среднему арифметическому .${\displaystyle I}$${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle x\mapsto a\cdot x+b}$${\displaystyle a}$
• Если = ℝ ⁺ , положительные действительные числа и , то f -среднее соответствует среднему геометрическому . Согласно свойствам f- среднего, результат не зависит от основания логарифма, если он положительный, а не 1.${\displaystyle I}$${\displaystyle f(x)=\log(x)}$
• Если = ℝ ⁺ и , то f -среднее соответствует гармоническому среднему .${\displaystyle I}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$
• Если = ℝ ⁺ и , то f -среднее соответствует степенному среднему с показателем степени .${\displaystyle I}$${\displaystyle f(x)=x^{p}}$${\displaystyle p}$
• Если = ℝ и , то е -средний является средним в журнале полукольцо , которая является постоянная сдвинута версией LogSumExp функции (LSE) (который является логарифмической суммой), . В соответствует деления на п , так как логарифмическое деление линейного вычитания. Функция LogSumExp - это плавный максимум : плавное приближение к функции максимума.${\displaystyle I}$${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathrm {LSE} (x_{1},\dots ,x_{n})-\log(n)}$${\displaystyle -\log(n)}$

Свойства [ править ]

Следующие свойства сохраняются для любой отдельной функции :${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle f}$

Симметрия: значение не изменяется, если его аргументы меняются местами.${\displaystyle M_{f}}$

Идемпотентность: для всех х , .${\displaystyle M_{f}(x,\dots ,x)=x}$

Монотонность : монотонна в каждом из своих аргументов (так как это монотонный ).${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle f}$

Непрерывность : непрерывна по каждому из своих аргументов (поскольку непрерывна).${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle f}$

Замена : Подмножества элементов могут быть усреднены априори без изменения среднего, при условии, что сохраняется множественность элементов. С его помощью:${\displaystyle m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})}$

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ times}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})}$

Разделение : вычисление среднего может быть разделено на вычисления равных подблоков:${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}$

Self-дистрибутивности : Для любого квази-среднее арифметическое значение двух переменных: .${\displaystyle M}$${\displaystyle M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))}$

Медиальность : Для любого квази-среднее арифметическое значение двух переменных: .${\displaystyle M}$${\displaystyle M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))}$

Балансировка : Для любого квази-среднего арифметического значения двух переменных: .${\displaystyle M}$${\displaystyle M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)}$

Центральная предельная теорема  : в условиях регулярности для достаточно большой выборкиприблизительно нормальна. ^[1] Аналогичный результат доступен для средних Байрактаревича, которые являются обобщениями квазиарифметических средних. ^[2]${\displaystyle {\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}}$

Масштабное инвариантность : Квази-среднее арифметическое инвариантна относительно сдвигов и масштабирование : .${\displaystyle f}$${\displaystyle \forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x\ M_{f}(x)=M_{g}(x)}$

Характеристика [ править ]

Есть несколько различных наборов свойств, которые характеризуют квазиарифметическое среднее (т. Е. Каждая функция, которая удовлетворяет этим свойствам, является f- средним для некоторой функции f ).

• Медиальности по существу достаточно для характеристики квазиарифметических средних. ^{[3] : глава 17}
• Самораспределения по существу достаточно для характеристики квазиарифметических средних. ^{[3] : глава 17}
• Замена : Колмогоров доказал, что пять свойств симметрии, неподвижной точки, монотонности, непрерывности и замены полностью характеризуют квазиарифметические средние. ^[4]
• Балансировка : Интересная проблема заключается в том, означает ли это условие (вместе со свойствами симметрии, неподвижной точки, монотонности и непрерывности), что среднее значение является квазиарифметическим. Георг Ауманн показал в 1930-х годах, что в общем случае ответ отрицательный ^[5], но что если дополнительно предположить, что это аналитическая функция, то ответ будет положительным. ^[6]${\displaystyle M}$

Однородность [ править ]

Средства , как правило , однородны , но для большинства функций , то е -среднего нет. Действительно, единственные однородные квазиарифметические средние - это степенные средние (включая среднее геометрическое ); см. Харди – Литтлвуд – Поля, стр. 68.${\displaystyle f}$

Свойство однородности может быть достигнуто путем нормализации входных значений некоторым (однородным) средним .${\displaystyle C}$

${\displaystyle M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)}$

Однако эта модификация может нарушить монотонность и свойство разделения среднего.

Ссылки [ править ]

• Андрей Колмогоров (1930) «О понятии среднего», в «Математике и механике» (Kluwer, 1991) - стр. 144–146.
• Андрей Колмогоров (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Наз. Линчеи 12, стр. 388–391.
• Джон Бибби (1974) «Аксиоматизация среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей», Glasgow Mathematical Journal, vol. 15. С. 63–65.
• Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э .; Полиа, Г. (1952) Неравенства. 2-е изд. Cambridge Univ. Press, Кембридж, 1952.

См. Также [ править ]

• Обобщенное среднее
• Неравенство Дженсена