В математике , в области тропического анализа , логарифмическое полукольцо - это структура полукольца в логарифмической шкале , полученная путем рассмотрения расширенных действительных чисел как логарифмов . То есть операции сложения и умножения определяются сопряжением : возвести в степень действительные числа, получив положительное (или нулевое) число, сложить или умножить эти числа с помощью обычных алгебраических операций над действительными числами, а затем выполнить логарифм, чтобы перевернуть число. начальное возведение в степень. Такие операции также известны как, например,логарифмическое сложение и т. д. Как обычно в тропическом анализе, операции обозначаются символами ⊕ и ⊗, чтобы отличать их от обычного сложения + и умножения × (или ⋅). Эти операции зависят от выбора основания b для показателя степени и логарифма ( b - выбор логарифмической единицы ), что соответствует коэффициенту масштабирования, и хорошо определены для любого положительного основания, отличного от 1; Использование основания b <1 эквивалентно использованию отрицательного знака и использованию обратного значения 1 / b > 1 . [a] Если не указано иное, основание обычно принимается равным e или 1 / e , что соответствует e с отрицательным знаком.
Лог-полукольцо имеет тропическое полукольцо как предел (« тропикализация », «деквантование»), поскольку основание уходит в бесконечность.( макс-плюс полукольцо ) или до нуля( мин-плюс полукольцо ) и, таким образом, может рассматриваться как деформация («квантование») тропического полукольца. Примечательно, что операцию сложения logadd (для нескольких терминов LogSumExp ) можно рассматривать как деформацию максимума или минимума . Лог-полукольцо находит применение в математической оптимизации , поскольку оно заменяет негладкие максимум и минимум гладкой операцией. Логарифмическое полукольцо также возникает при работе с числами, которые являются логарифмами (измеренными в логарифмической шкале ), такими как децибелы (см. Децибелы § Добавление ), логарифмическая вероятность или логарифм правдоподобия .
Определение
Операции над полукольцом журнала можно определить внешне, сопоставив их с неотрицательными действительными числами, выполнив там операции и отобразив их обратно. Неотрицательные действительные числа с обычными операциями сложения и умножения образуют полукольцо (нет отрицательных значений ), известное как вероятностное полукольцо , поэтому операции лог-полукольца можно рассматривать как откаты операций над вероятностным полукольцом, и эти являются изоморфными в виде колец.
Формально, учитывая расширенные действительные числа R ∪ {–∞, + ∞ } [b] и основание b ≠ 1 , определяют:
Обратите внимание, что независимо от основания, логарифмическое умножение такое же, как и обычное сложение, , поскольку логарифмы переводят умножение к сложению; однако добавление журнала зависит от базы. Единицы для обычного сложения и умножения - 0 и 1; соответственно, единицей для добавления журнала является для а также для , а единицей логарифмического умножения является , вне зависимости от базы.
Более кратко, полукольцо единичного журнала можно определить для базы e как:
с аддитивной единицей −∞ и мультипликативной единицей 0; это соответствует максимальному соглашению.
Противоположное соглашение также является обычным и соответствует основанию 1 / e , минимальному соглашению: [1]
с аддитивной единицей + ∞ и мультипликативной единицей 0.
Характеристики
Лог-полукольцо на самом деле является полутелом , поскольку все числа, кроме аддитивной единицы −∞ (или + ∞ ), имеют мультипликативную обратную, заданную формулой поскольку Таким образом, логарифмическое деление ⊘ четко определено, хотя логарифмическое вычитание ⊖ не всегда определено.
Среднее значение может быть определено сложением журнала и делением журнала (как квазиарифметическое среднее значение, соответствующее показателю степени), как
Обратите внимание, что это просто сложение, сдвинутое на поскольку логарифмическое деление соответствует линейному вычитанию.
Журнал полукольцо имеет обычная евклидова метрика, которая соответствует логарифмической шкале на положительных действительных чисел .
Точно так же логарифмическое полукольцо имеет обычную меру Лебега , которая является инвариантной мерой относительно логарифмического умножения (обычное сложение, геометрический сдвиг), и соответствует логарифмической мере на вероятностном полукольце .
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- ^ Lothaire 2005 , стр. 211.
- Лотэр, М. (2005). Прикладная комбинаторика слов . Энциклопедия математики и ее приложений. 105 . Коллективный труд Жан Berstel Доминик Перрен, Максим Крошемор, Эрик Лапорта, Меряр Мори, Надя Pisanti, Мари-Франс Sagot, Гезине Рейнертом , Софи Schbath , Майкл Waterman, Филипп Жаке, Войцех Szpankowski , Доминик Poulalhon, Жиль Шеффера, Роман Колпаков , Грегори Кушеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-84802-4. Zbl 1133.68067 .