Логарифмическое среднее

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Среднее логарифмическое»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Трехмерный график, показывающий значения логарифмического среднего.

В математике , то логарифмическое среднее является функцией двух неотрицательных чисел которых равна их разности , деленной на логарифм их фактор . Этот расчет применит в инженерных задачах , связанных с тепловым и массопереносом .

Определение [ править ]

Среднее логарифмическое значение определяется как:

${\ displaystyle {\ begin {align} M _ {\ text {lm}} (x, y) & = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} {\ frac {\ eta - \ xi} {\ ln (\ eta) - \ ln (\ xi)}} \\ [6pt] & = {\ begin {cases} x & {\ text {if}} x = y, \\ {\ frac { yx} {\ ln (y) - \ ln (x)}} & {\ text {в противном случае}} \ end {case}} \ end {align}}}$

для положительных чисел .${\ displaystyle x, y}$

Неравенства [ править ]

Среднее логарифмическое значение двух чисел меньше среднего арифметического и обобщенного среднего с показателем на одну треть, но больше среднего геометрического , если только числа не совпадают, и в этом случае все три средних значения равны числам.

${\displaystyle {\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq \left({\frac {x^{1/3}+y^{1/3}}{2}}\right)^{3}\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x>0{\text{ and }}y>0.}$^{[1] [2] [3]}

Вывод [ править ]

Теорема о среднем значении дифференциального исчисления [ править ]

Из теоремы о среднем значении , существует значение в интервале между й и у , где производная равна наклона секущей линии :${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

Логарифмическое среднее получается как значение путем замены на и аналогично для его соответствующего производного :${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln(x)-\ln(y)}{x-y}}}$

и решение для :${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln(x)-\ln(y)}}}$

Интеграция [ править ]

Среднее логарифмическое значение также можно интерпретировать как площадь под экспоненциальной кривой .

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x,y)={}&\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={}\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t={}x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\[3pt]={}&\left.{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\right|_{t=0}^{1}={}{\frac {x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)={}{\frac {y-x}{\ln \left({\frac {y}{x}}\right)}}\\[3pt]={}&{\frac {y-x}{\ln \left(y\right)-\ln \left(x\right)}}\end{aligned}}}$

Интерпретация площади позволяет легко вывести некоторые основные свойства логарифмического среднего. Поскольку экспонента монотонна , интеграл по интервалу длины 1 ограничен величинами и . Гомогенности интегрального оператора передается среднее оператора, то есть .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L(cx,cy)=cL(x,y)}$

Два других полезных интегральных представления:

$${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}}$$

$${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.}$$

Обобщение [ править ]

Теорема о среднем значении дифференциального исчисления [ править ]

Можно обобщить среднее значение на переменные, рассмотрев теорему о среднем значении для разделенных разностей для -й производной логарифма.${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

Мы получаем

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}$

где обозначает разделенную разность логарифма.${\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}$

Ибо это приводит к${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left(\left(y-z\right)\ln \left(x\right)+\left(z-x\right)\ln \left(y\right)+\left(x-y\right)\ln \left(z\right)\right)}}}}$.

Интегральный [ править ]

Интегральная интерпретация также может быть обобщена на большее количество переменных, но это приводит к другому результату. Учитывая симплекс с и подходящую меру, придающую симплексу объем, равный 1, мы получаем${\textstyle S}$${\textstyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geq 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geq 0\right)\}}$${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }$

Это можно упростить, используя разделенные разности экспоненциальной функции, чтобы

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}$.

Пример ${\textstyle n=2}$

${\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)+z\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)}{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}}$.

Подключение к другим средствам [ править ]

• Среднее арифметическое :${\displaystyle {\frac {L\left(x^{2},y^{2}\right)}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}}$

• Среднее геометрическое :${\displaystyle {\sqrt {\frac {L\left(x,y\right)}{L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}}$

• Гармоническое среднее :${\displaystyle {\frac {L\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{L\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}$

См. Также [ править ]

• Другое среднее значение, связанное с логарифмами, - это среднее геометрическое .
• Логарифмическое среднее - это частный случай среднего Столярского .
• Средняя логарифмическая разница температур
• Полукольцо журнала

Ссылки [ править ]

Цитаты

Библиография

• Глоссарий по нефтяным месторождениям: термин «среднее логарифмическое»
• Вайсштейн, Эрик В. "Неравенство арифметико-логарифмического-среднего геометрического" . MathWorld .
• Столярский, Кеннет Б.: Обобщения логарифмического среднего , журнал Mathematics, Vol. 48, № 2, март 1975 г., стр. 87–92.