Свободная вероятность - это математическая теория, изучающая некоммутативные случайные величины . Свойство « свободы » или свободной независимости является аналогом классического понятия независимости и связано с бесплатными продуктами . Эта теория была инициирована Дэном Войкулеску примерно в 1986 году для решения проблемы изоморфизма свободных групповых факторов, важной нерешенной проблемы в теории операторных алгебр . Учитывая свободную группу с некоторым числом образующих, мы можем рассматривать алгебру фон Неймана, порожденную групповой алгеброй , которая является типом II1 фактор . Проблема изоморфизма спрашивает , может ли это изоморфно для разных чисел генераторов. Неизвестно даже, изоморфны ли какие-либо два свободных групповых фактора. Это похоже на проблему свободных групп Тарского , которая спрашивает, имеют ли две разные неабелевы конечно порожденные свободные группы одну и ту же элементарную теорию.
Позже подключения к теории случайных матриц , комбинаторика , представления о симметрических групп , больших уклонений , квантовой теории информации были созданы и другие теории. Свободная вероятность в настоящее время активно исследуется.
Обычно случайные величины лежат в алгебре с единицей A, такой как C * -алгебра или алгебра фон Неймана . Алгебра снабжена некоммутативным математическим ожиданием , линейным функционалом φ: A → C, таким что φ (1) = 1. Унитальные подалгебры A 1 , ..., A m тогда называются свободно независимыми, если математическое ожидание произведения a 1 ... a n равно нулю, если каждое a j имеет нулевое ожидание, лежит в A k и никакие смежные a j не происходят из той же подалгебры A k . Случайные величины являются свободно независимыми, если они порождают свободно независимые унитальные подалгебры.
Одна из целей свободной вероятности (еще незавершенным) было строить новые инварианты из алгебр фон Неймана и свободный размер рассматривается как разумный кандидат для такого инварианта. Основным инструментом построения свободной размерности является свободная энтропия.
Связь свободной вероятности со случайными матрицами является ключевой причиной широкого использования свободной вероятности в других предметах. Войкулеску ввел понятие свободы примерно в 1983 году в операторно-алгебраическом контексте; вначале не было никакой связи со случайными матрицами. Эта связь была обнаружена позже, в 1991 году, Войкулеску; он был мотивирован тем фактом, что предельное распределение, которое он нашел в своей центральной предельной теореме о свободе, появилось раньше в законе полукруга Вигнера в контексте случайных матриц.
Функционал свободного кумулянта (введенный Роландом Спайхером ) [1] играет важную роль в теории. Он связан с решеткой непересекающихся разбиений множества {1, ..., n } так же, как классический кумулянтный функционал связан с решеткой всех разбиений этого множества.
Смотрите также
Рекомендации
Цитаты
- ^ Спейчера, Roland (1994), "Мультипликативные функции на решетке разбиений непересекающихся и свободной свертка", Mathematische Annalen , 298 (4): 611-628, DOI : 10.1007 / BF01459754 , MR 1268597.
Источники
- Д.-В. Войкулеску, Н. Стаммайер, М. Вебер (ред.): Свободные вероятности и операторные алгебры , Мюнстерские лекции по математике, EMS, 2016
- Джеймс А. Минго, Роланд Спайчер: свободные вероятности и случайные матрицы . Монографии Института Филдса, Vol. 35, Спрингер, Нью-Йорк, 2017.
- А. Ника, Р. Спайчер: Лекции по комбинаторике свободной вероятности. Издательство Кембриджского университета, 2006 г., ISBN 0-521-85852-6
- Фумио Хайай и Денис Петц, Закон полукруга, свободные случайные величины и энтропия , ISBN 0-8218-2081-8
- Митченер, П.Д. (2005) Некоммутативная теория вероятностей , препринт
- Войкулеску, Д.В. Dykema, KJ; Ника, А. Свободные случайные величины. Некоммутативный вероятностный подход к свободным произведениям с приложениями к случайным матрицам, операторным алгебрам и гармоническому анализу на свободных группах. Серия монографий CRM, 1. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1992. ISBN 0-8218-6999-X
- Теренс Тао , 254A, Примечания 5: Свободная вероятность (10 февраля 2010 г.), примечания к курсу для выпускников «Темы теории случайных матриц»
- Роланд Спайхер: Свободная теория вероятностей , примечания к курсу
Внешние ссылки
- Войкулеску получает награду NAS по математике - содержит удобочитаемое описание свободной вероятности.
- RMTool - бесплатный калькулятор вероятностей на основе MATLAB.
- Кафедра Alcatel-Lucent по гибким радио- приложениям свободной вероятности для беспроводной связи .
- обзорные статьи Роланда Спайхера о свободной вероятности.
- блог о свободной вероятности
- записанные лекции о свободной вероятности