Распределение полукруга Вигнера

Полукруг Вигнера

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle R> 0 \!}$ радиус ( реальный )
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в [-R; + R] \!}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi R ^ {2}}} \, {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2}}} \!}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}\!}$ за ${\displaystyle -R\leq x\leq R}$
Иметь в виду	${\displaystyle 0\,}$
Медиана	${\displaystyle 0\,}$
Режим	${\displaystyle 0\,}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}}\!}$
Асимметрия	${\displaystyle 0\,}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle -1\,}$
Энтропия	${\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}\,}$
MGF	${\displaystyle 2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
CF	${\displaystyle 2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$

Распределение полукругов Вигнера , названное в честь физика Юджина Вигнера , представляет собой распределение вероятностей на [- R , R ], функция плотности вероятности f которого представляет собой масштабированный полукруг (т.е. полуэллипс) с центром в точке (0, 0):

${\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,}$

для - R ≤ x ≤ R , и f ( x ) = 0, если | x | > R .

Это также масштабированное бета-распределение : если Y имеет бета-распределение с параметрами α = β = 3/2, то X = 2 RY - R имеет распределение полукруга Вигнера.

Распределение возникает как предельное распределение собственных значений многих случайных симметричных матриц, когда размер матрицы приближается к бесконечности. Распределение промежутков между собственными значениями рассматривается в одноименной гипотезе Вигнера .

Общие свойства [ править ]

В полиномах Чебышева второго рода являются ортогональными полиномами относительно Вигнера полукруга распределения.

Для натуральных чисел n 2 n -й момент этого распределения равен

${\displaystyle E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,}$

где X - любая случайная величина с этим распределением, а C _n - n- е каталонское число.

${\displaystyle C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n},\,}$

так что моменты являются числами Каталонии, если R = 2. (Из-за симметрии все моменты нечетного порядка равны нулю.)

Сделав подстановку в определяющее уравнение для производящей функции момента, можно увидеть, что:${\displaystyle x=R\cos(\theta )}$

${\displaystyle M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta }$

которое может быть решено (см. Абрамовиц и Стегун § 9.6.18), чтобы получить:

${\displaystyle M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}$

где - модифицированная функция Бесселя . Аналогичным образом характеристическая функция определяется выражением: ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle I_{1}(z)}$

${\displaystyle \varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}$

где - функция Бесселя. (См. Абрамовиц и Стегун , §9.1.20) , отмечая, что соответствующий интеграл с участием равен нулю.)${\displaystyle J_{1}(z)}$${\displaystyle \sin(Rt\cos(\theta ))}$

В пределе приближения к нулю распределение полукругов Вигнера становится дельта-функцией Дирака .${\displaystyle R}$

Отношение к свободной вероятности [ править ]

В свободной теории вероятностей роль полукруглого распределения Вигнера аналогична роли нормального распределения в классической теории вероятностей. А именно, в свободной теории вероятностей роль кумулянтов выполняют «свободные кумулянты», отношение которых к обычным кумулянтам состоит просто в том, что роль множества всех разбиений конечного множества в теории обычных кумулянтов заменяется множеством всех непересекающихся разбиений конечного множества. Подобно тому, как все кумулянты степени выше 2 в распределении вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение является нормальным, точно так же и свободные кумулянты степени более 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение является полукруглым распределением Вигнера.

Связанные дистрибутивы [ править ]

Параболическое распределение Вигнера [ править ]

Вигнер параболический

Параметры	${\displaystyle R>0\!}$ радиус ( реальный )
Поддерживать	${\displaystyle x\in [-R;+R]\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {3}{4R^{3}}}\,(R^{2}-x^{2})}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{4R^{3}}}\,(2R-x)\,(R+x)^{2}}$
MGF	${\displaystyle 3\,{\frac {i_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
CF	${\displaystyle 3\,{\frac {j_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$

Параболическое распределение вероятностей ^{[ необходима ссылка ],} поддерживаемое на интервале [- R , R ] радиуса R с центром в (0, 0):

${\displaystyle f(x)={3 \over \ 4R^{3}}{(R^{2}-x^{2})}\,}$

для - R ≤ x ≤ R , и f ( x ) = 0, если | x | > R .

Пример. Совместное распределение

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{+2\pi }\int _{0}^{R}f_{X,Y,Z}(x,y,z)R^{2}\,dr\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =1;}$

${\displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={\frac {3}{4\pi }}}$

Следовательно, предельная PDF сферического (параметрического) распределения равна: ^[4]

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{X,Y,Z}(x,y,z)\,dy\,dz;}$

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}2{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}\,dy\,;}$

${\displaystyle f_{X}(x)={3 \over \ 4}{(1-x^{2})}\,;}$ такое, что R = 1

Характеристической функцией сферического распределения становится модель умножения ожидаемых значений распределений по X, Y и Z.

Параболическое распределение Вигнера также считается монопольным моментом водородоподобных атомных орбиталей.

Распределение n-сфер Вигнера [ править ]

Нормированная функция плотности вероятности N-сферы с опорой на интервале [−1, 1] радиуса 1 с центром в (0, 0):

${\displaystyle f_{n}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2}\Gamma (1+n/2) \over {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\,(n>=-1)}$,

для −1 ≤ x ≤ 1 и f ( x ) = 0, если | x | > 1.

Пример. Совместное распределение

${\displaystyle \int _{-{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}\int _{0}^{1}f_{X,Y,Z}(x,y,z){{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}^{(n)}}dxdydz=1;}$

${\displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={\frac {3}{4\pi }}}$

Следовательно, маргинальное распределение PDF равно ^[4]

${\displaystyle f_{X}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2)}\Gamma (1+n/2) \over \ {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\,;}$ такое, что R = 1

Кумулятивная функция распределения (CDF) равна

${\displaystyle F_{X}(x)={2x\Gamma (1+n/2)_{2}F_{1}(1/2,(1-n)/2;3/2;x^{2}) \over \ {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\,;}$ такие, что R = 1 и n> = -1

Характеристическая функция (CF) PDF связана с бета-распределением, как показано ниже.

${\displaystyle CF(t;n)={_{1}F_{1}(n/2,;n;jt/2)}\,\urcorner (\alpha =\beta =n/2);}$

В терминах функций Бесселя это

${\displaystyle CF(t;n)={\Gamma (n/2+1)J_{n/2}(t)/(t/2)^{(n/2)}}\,\urcorner (n>=-1);}$

Необработанные моменты PDF

${\displaystyle \mu '_{N}(n)=\int _{-1}^{+1}x^{N}f_{X}(x;n)dx={(1+(-1)^{N})\Gamma (1+n/2) \over \ {2{\sqrt {\pi }}}\Gamma ((2+n+N)/2)};}$

Центральные моменты

${\displaystyle \mu _{0}(x)=1}$

${\displaystyle \mu _{1}(n)=\mu _{1}'(n)}$

${\displaystyle \mu _{2}(n)=\mu _{2}'(n)-\mu _{1}'^{2}(n)}$

${\displaystyle \mu _{3}(n)=2\mu _{1}'^{3}(n)-3\mu _{1}'(n)\mu _{2}'(n)+\mu _{3}'(n)}$

${\displaystyle \mu _{4}(n)=-3\mu _{1}'^{4}(n)+6\mu _{1}'^{2}(n)\mu _{2}'(n)-4\mu '_{1}(n)\mu '_{3}(n)+\mu '_{4}(n)}$

Соответствующие моменты вероятности (среднее значение, дисперсия, перекос, эксцесс и эксцесс) следующие:

${\displaystyle \mu (x)=\mu _{1}'(x)=0}$

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\mu _{2}'(n)-\mu ^{2}(n)=1/(2+n)}$

${\displaystyle \gamma _{1}(n)=\mu _{3}/\mu _{2}^{3/2}=0}$

${\displaystyle \beta _{2}(n)=\mu _{4}/\mu _{2}^{2}=3(2+n)/(4+n)}$

${\displaystyle \gamma _{2}(n)=\mu _{4}/\mu _{2}^{2}-3=-6/(4+n)}$

Исходными моментами характеристической функции являются:

${\displaystyle \mu '_{N}(n)=\mu '_{N;E}(n)+\mu '_{N;O}(n)=\int _{-1}^{+1}cos^{N}(xt)f_{X}(x;n)dx+\int _{-1}^{+1}sin^{N}(xt)f_{X}(x;n)dx;}$

Для равномерного распределения моменты равны ^[5]

${\displaystyle \mu _{1}'(t;n:E)=CF(t;n)}$

${\displaystyle \mu _{1}'(t;n:O)=0}$

${\displaystyle \mu _{1}'(t;n)=CF(t;n)}$

${\displaystyle \mu _{2}'(t;n:E)=1/2(1+CF(2t;n))}$

${\displaystyle \mu _{2}'(t;n:O)=1/2(1-CF(2t;n))}$

${\displaystyle \mu '_{2}(t;n)=1}$

${\displaystyle \mu _{3}'(t;n:E)=(CF(3t)+3CF(t;n))/4}$

${\displaystyle \mu _{3}'(t;n:O)=0}$

${\displaystyle \mu _{3}'(t;n)=(CF(3t;n)+3CF(t;n))/4}$

${\displaystyle \mu _{4}'(t;n:E)=(3+4CF(2t;n)+CF(4t;n))/8}$

${\displaystyle \mu _{4}'(t;n:O)=(3-4CF(2t;n)+CF(4t;n))/8}$

${\displaystyle \mu _{4}'(t;n)=(3+CF(4t;n))/4}$

Следовательно, моменты КФ (при N = 1) равны

${\displaystyle \mu (t;n)=\mu _{1}'(t)=CF(t;n)=_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})}$

${\displaystyle \sigma ^{2}(t;n)=1-|CF(t;n)|^{2}=1-|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-t^{2}/4)|^{2}}$

${\displaystyle \gamma _{1}(n)={\mu _{3} \over \mu _{2}^{3/2}}={_{0}F_{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \over 4})-_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})+8|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})|^{3} \over 4(1-|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}))^{2}|^{(3/2)}}}$

${\displaystyle \beta _{2}(n)={\mu _{4} \over \mu _{2}^{2}}={3+_{0}F_{1}({2+n \over 2},-4t^{2})-(4_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})(_{0}F_{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \over 4}))+3_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})(-1+|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}|^{2})) \over 4(-1+|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}))^{2}|^{2}}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(n)=\mu _{4}/\mu _{2}^{2}-3={-9+_{0}F_{1}({2+n \over 2},-4t^{2})-(4_{0}F_{1}({2+n \over 2},-t^{2}/4)(_{0}F_{1}({2+n \over 2},-9{t^{2} \over 4}))-9_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4})+6|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}|^{3}) \over 4(-1+|_{0}F_{1}({2+n \over 2},-{t^{2} \over 4}))^{2}|^{2}}}$

Искажение и эксцесс также можно упростить с помощью функций Бесселя.

Энтропия рассчитывается как

${\displaystyle H_{N}(n)=\int _{-1}^{+1}f_{X}(x;n)\ln(f_{X}(x;n))dx}$

Первые 5 моментов (n = от -1 до 3), такие что R = 1, являются

${\displaystyle \ -\ln(2/\pi );n=-1}$

${\displaystyle \ -\ln(2);n=0}$

${\displaystyle \ -1/2+\ln(\pi );n=1}$

${\displaystyle \ 5/3-\ln(3);n=2}$

${\displaystyle \ -7/4-\ln(1/3\pi );n=3}$

Распределение Вигнера N-сферы с примененной нечетной симметрией [ править ]

Маргинальное распределение PDF с нечетной симметрией равно ^[4]

${\displaystyle f{_{X}}(x;n)={(1-x^{2})^{(n-1)/2)}\Gamma (1+n/2) \over \ {\sqrt {\pi }}\Gamma ((n+1)/2)}\operatorname {sgn}(x)\,;}$ такое, что R = 1

Следовательно, КФ выражается через функции Струве

${\displaystyle CF(t;n)={\Gamma (n/2+1)H_{n/2}(t)/(t/2)^{(n/2)}}\,\urcorner (n>=-1);}$

«Функция Струве возникает в задаче о жестко-поршневом радиаторе, установленном в бесконечной перегородке, с радиационным импедансом, равным» ^[6]

${\displaystyle Z={\rho c\pi a^{2}[R_{1}(2ka)-iX_{1}(2ka)],}}$

${\displaystyle R_{1}={1-{2J_{1}(x) \over 2x},}}$

${\displaystyle X_{1}={{2H_{1}(x) \over x},}}$

Пример (нормализованная мощность принятого сигнала): квадратурные члены [ править ]

Нормализованная мощность принятого сигнала определяется как

${\displaystyle |R|={{1 \over N}|}\sum _{k=1}^{N}\exp[ix_{n}t]|}$

и используя стандартные квадратурные термины

${\displaystyle x={1 \over N}\sum _{k=1}^{N}\cos(x_{n}t)}$

${\displaystyle y={1 \over N}\sum _{k=1}^{N}\sin(x_{n}t)}$

Следовательно, для равномерного распределения мы расширяем NRSS так, чтобы x = 1 и y = 0, получая

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=x+{3 \over 2}y^{2}-{3 \over 2}xy^{2}+{1 \over 2}x^{2}y^{2}+O(y^{3})+O(y^{3})(x-1)+O(y^{3})(x-1)^{2}+O(x-1)^{3}}$

Расширенная форма характеристической функции мощности принятого сигнала принимает вид ^[7]

${\displaystyle E[x]={1 \over N}CF(t;n)}$

${\displaystyle E[y^{2}]={1 \over 2N}(1-CF(2t;n))}$

${\displaystyle E[x^{2}]={1 \over 2N}(1+CF(2t;n))}$

${\displaystyle E[xy^{2}]={t^{2} \over 3N^{2}}CF(t;n)^{3}+({N-1 \over 2N^{2}})(1-tCF(2t;n))CF(t;n)}$

${\displaystyle E[x^{2}y^{2}]={1 \over 8N^{3}}(1-CF(4t;n))+({N-1 \over 4N^{3}})(1-CF(2t;n)^{2})+({N-1 \over 3N^{3}})t^{2}CF(t;n)^{4}+({(N-1)(N-2) \over N^{3}})CF(t;n)^{2}(1-CF(2t;n))}$

См. Также [ править ]

• Предположение Вигнера
• Wsd является пределом распределений Кестена – Маккея , поскольку параметр d стремится к бесконечности.
• В теоретико-числовой литературе распределение Вигнера иногда называют распределением Сато – Тейта. См . Гипотезу Сато – Тэйта .
• Распределение Марченко – Пастура или свободное распределение Пуассона

Ссылки [ править ]

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Дувр, 1972.

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайсштейн и др., Полукруг Вигнера