В математике , то свободная группа F S на заданном множестве S состоит из всех слов , которые могут быть построены из членов S , учитывая два слова по - другому , если их равенство не следует из аксиом группы (например , ст = Суу -1 т , но s ≠ t −1 для s , t , u ∈ S ). Члены S называются генераторами из F S, а количество образующих - ранг свободной группы. Произвольная группа G называется свободным , если оно изоморфно к F S для некоторого подмножества S из G , то есть, если существует подмножество S из G , таких , что каждый элемент из G может быть записана точно одним способом как произведение конечного многие элементы S и их обратные (не считая тривиальных вариаций, таких как st = suu −1 t ).
Родственное, но отличающееся от этого понятие - свободная абелева группа ; как понятия конкретные экземпляры свободного объекта от универсальной алгебры . Таким образом, свободные группы определяются своим универсальным свойством .
История
Свободные группы впервые возникли при изучении гиперболической геометрии как примеры фуксовых групп (дискретных групп, действующих изометриями на гиперболической плоскости ). В статье 1882 года Вальтер фон Дейк указал, что эти группы имеют простейшие возможные представления . [1] Алгебраическое изучение свободных групп было начато Якобом Нильсеном в 1924 году, который дал им название и установил многие из их основных свойств. [2] [3] [4] Макс Ден осознал связь с топологией и получил первое доказательство полной теоремы Нильсена – Шрайера . [5] Отто Шрайер опубликовал алгебраическое доказательство этого результата в 1927 г. [6], а Курт Рейдемейстер включил исчерпывающее рассмотрение свободных групп в свою книгу 1932 г. по комбинаторной топологии . [7] Позже, в 1930-х годах, Вильгельм Магнус обнаружил связь между нижним центральным рядом свободных групп и свободными алгебрами Ли .
Примеры
Группа ( Z , +) целых чисел не имеет ранга 1; генераторная установка S = {1}. Целые числа также являются свободной абелевой группой , хотя все свободные группы ранганеабелевы. Свободная группа на двухэлементном множестве S встречается в доказательстве парадокса Банаха – Тарского и описывается там.
С другой стороны, любая нетривиальная конечная группа не может быть свободной, поскольку элементы свободной образующей свободной группы имеют бесконечный порядок.
В алгебраической топологии , то фундаментальная группа из букета K окружностей (набор K петель , имеющих только одну общую точку) является свободной группой на множестве K элементов.
Строительство
Свободная группа Р S с множеством свободного образующих S может быть построена следующим образом . S - это набор символов, и мы предполагаем, что для каждого s в S существует соответствующий «обратный» символ, s −1 , в наборе S −1 . Пусть T = S ∪ S -1 , и определит слово в S , чтобы быть любым письменным произведением элементов Т . То есть, слово в S является элементом моноида , порожденным Т . Пустое слово - это слово без символов. Например, если S = { a , b , c }, то T = { a , a −1 , b , b −1 , c , c −1 } и
это слово в S .
Если элемент S лежит непосредственно рядом со своим обратным, слово можно упростить, опуская пару c, c −1 :
Слово, которое не может быть далее упрощено, называется сокращенным .
Свободная группа F S определяется как группа всех сокращенных слов в S с конкатенацией слов (с последующим сокращением, если необходимо) в качестве групповой операции. Идентичность - пустое слово.
Слово называется циклически редуцированным, если его первая и последняя буква не обратны друг другу. Каждое слово сопряжено с циклически сокращенным словом, а циклически сокращенное сопряжение циклически сокращенного слова - это циклическая перестановка букв в слове. Например, b −1 abcb не сокращается циклически, но сопряжено с abc , которое циклически сокращается. Единственными циклически восстанавливаемыми конъюгатами abc являются abc , bca и cab .
Универсальная собственность
Свободная группа F S является универсальной группы , порожденной множеством S . Это можно формализовать следующим универсальным свойством : для любой функции f из S в группу G существует единственный гомоморфизм φ : F S → G, который коммутирует следующую диаграмму (где безымянное отображение обозначает включение из S в F S ):
То есть, гомоморфизмы F S → G находится во взаимно однозначное соответствие с функциями S → G . Для несвободной группы наличие отношений ограничило бы возможные образы образующих при гомоморфизме.
Чтобы увидеть, как это соотносится с конструктивным определением, представьте, что отображение S на F S отправляется каждому символу в слово, состоящее из этого символа. Для построения φ для данного е , сначала заметим , что φ посылает пустое слово к личности G , и он должен согласиться с F на элементах S . Для остальных слов (состоящих из более чем одного символа) φ можно однозначно расширить, поскольку это гомоморфизм, т. Е. Φ ( ab ) = φ ( a ) φ ( b ).
Вышеупомянутое свойство характеризует свободные группы с точностью до изоморфизма и иногда используется как альтернативное определение. Он известен как универсальное свойство свободных групп, а также множество производящей S называется базисом для F S . Основа для свободной группы не определяется однозначно.
Универсальность - это стандартная черта свободных объектов в универсальной алгебре . На языке теории категорий построение свободной группы (аналогично большинству конструкций свободных объектов) представляет собой функтор из категории множеств в категорию групп . Этот функтор остается сопряженным с забывчивым функтором от групп к множествам.
Факты и теоремы
Некоторые свойства свободных групп легко следуют из определения:
- Любая группа G является гомоморфным образом некоторой свободной группы F ( S ). Пусть S некоторое множество образующих в G . Естественное отображение f : F ( S ) → G является эпиморфизмом , что доказывает утверждение. Эквивалентно G изоморфна фактор-группе некоторой свободной группы F ( S ). Ядро ф представляет собой совокупность отношений в представлении о G . Если здесь можно выбрать S конечным, то G называется конечно порожденным .
- Если S имеет более одного элемента, то F ( S ) не абелев , и на самом деле центр F ( S ) тривиален (то есть состоит только из единичного элемента).
- Две свободные группы F ( S ) и F ( T ) изоморфны тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность . Эта мощность называется рангом свободной группы F . Таким образом, для каждого кардинального числа k существует с точностью до изоморфизма ровно одна свободная группа ранга k .
- Свободная группа конечного ранга n > 1 имеет экспоненциальную скорость роста порядка 2 n - 1.
Еще несколько связанных результатов:
- Теорема Нильсена – Шрайера : каждая подгруппа свободной группы свободна.
- Ясно, что свободная группа ранга k имеет подгруппы любого ранга меньше k . Менее очевидно, что ( неабелева! ) Свободная группа ранга не меньше 2 имеет подгруппы всех счетных рангов.
- Коммутант свободной группы ранга к > 1 имеет бесконечный ранг; например, для F ( a , b ) он свободно порождается коммутаторами [ a m , b n ] для ненулевых m и n .
- Свободная группа из двух элементов является универсальной SQ ; сказанное выше следует из того, что любая универсальная группа SQ имеет подгруппы всех счетных рангов.
- Любая группа , которая действует на дереве, свободно и с сохранением ориентации , является свободной группой счетного ранга (задается 1 плюс эйлерова характеристика на фактор - графа ).
- Граф Кэли свободной группы конечного ранга относительно свободного порождающего множества - это дерево, на котором группа действует свободно, сохраняя ориентацию.
- Группоидом подход к этим результатам, приведены в работе PJ Higgins ниже, является своего рода извлечена из подхода с использованием охватывающих пространства . Это позволяет получить более сильные результаты, например, по теореме Грушко , и нормальную форму для фундаментального группоида графа групп. В этом подходе широко используются свободные группоиды на ориентированном графе.
- Из теоремы Грушко следует , что если подмножество B свободной группы F на n элементах порождает F и имеет n элементов, то B порождает F свободно.
Свободная абелева группа
Свободная абелева группа на множестве S определяется через ее универсальное свойство аналогичным образом с очевидными модификациями: рассмотрим пару ( F , φ ), где F - абелева группа, а φ : S → F - функция. F называется свободной абелевой группой на S относительно φ, если для любой абелевой группы G и любой функции ψ : S → G существует единственный гомоморфизм f : F → G такой, что
- е ( φ ( s )) = ψ ( ы ), для всех х в S .
Свободную абелеву группу на S можно явно идентифицировать как свободную группу F ( S ) по модулю подгруппы, порожденной ее коммутаторами, [F ( S ), F ( S )], то есть ее абелианизацией . Другими словами, свободная абелева группа на S - это множество слов, которые различаются только с точностью до букв. Следовательно, ранг свободной группы также можно определить как ранг ее абелианизации как свободной абелевой группы.
Проблемы Тарского
Примерно в 1945 году Альфред Тарский спросил, имеют ли свободные группы на двух или более образующих одну и ту же теорию первого порядка и разрешима ли эта теория . Села (2006) ответил на первый вопрос, показав, что любые две неабелевы свободные группы имеют одну и ту же теорию первого порядка, а Харлампович и Мясников (2006) ответили на оба вопроса, показав, что эта теория разрешима.
Аналогичный нерешенный (по состоянию на 2011 год) вопрос в свободной теории вероятностей спрашивает, изоморфны ли групповые алгебры фон Неймана любых двух неабелевых конечно порожденных свободных групп.
Смотрите также
- Генераторная группа группы
- Презентация группы
- Преобразование Нильсена , факторизация элементов группы автоморфизмов свободной группы
- Нормальная форма для свободных групп и бесплатное произведение групп
- Бесплатный продукт
Заметки
- ^ фон Дейк, Вальтер (1882). "Gruppentheoretische Studien (теоретико-групповые исследования)" . Mathematische Annalen . 20 (1): 1–44. DOI : 10.1007 / BF01443322 . S2CID 179178038 .
- ^ Нильсен, Якоб (1917). "Die Isomorphismen der allgemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden" . Mathematische Annalen . 78 (1): 385–397. DOI : 10.1007 / BF01457113 . JFM 46.0175.01 . Руководство по ремонту 1511907 . S2CID 119726936 .
- ^ Нильсен, Якоб (1921). «О вычислении с некоммутативными множителями и его применении в теории групп. (Перевод с датского)». Ученый-математик . 6 (1981) (2): 73–85.
- ^ Нильсен, Якоб (1924). "Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen" . Mathematische Annalen . 91 (3): 169–209. DOI : 10.1007 / BF01556078 . S2CID 122577302 .
- ^ См. Магнус, Вильгельм ; Муфанг, Рут (1954). "Max Dehn zum Gedächtnis" . Mathematische Annalen . 127 (1): 215–227. DOI : 10.1007 / BF01361121 . S2CID 119917209 .
- ^ Шрайер, Отто (1928). "Die Untergruppen der freien Gruppen". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 5 : 161–183. DOI : 10.1007 / BF02952517 . S2CID 121888949 .
- ^ Рейдемейстер, Курт (1972 г. (оригинал 1932 г.)). Einführung in die kombinatorische Topologie . Дармштадт: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. Проверить значения даты в:
|date=
( помощь )
Рекомендации
- Харлампович, Ольга; Мясников, Алексей (2006). «Элементарная теория свободных неабелевых групп» (PDF) . Журнал алгебры . 302 (2): 451–552. DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2006.03.033 . Руководство по ремонту 2293770 . Архивировано из оригинального (PDF) 21 октября 2016 года . Проверено 4 сентября 2015 .
- В. Магнус, А. Каррасс и Д. Солитар, "Комбинаторная теория групп", Довер (1976).
- П. Дж. Хиггинс, 1971, "Категории и группоиды", ван Ностранд, {Нью-Йорк}. Перепечатки в теории и приложениях категорий, 7 (2005), стр. 1–195.
- Села, Злил (2006). «Диофантова геометрия над группами. VI. Элементарная теория свободной группы». Геом. Функц. Анальный . 16 (3): 707–730. DOI : 10.1007 / s00039-006-0565-8 . Руководство по ремонту 2238945 . S2CID 123197664 .
- Серр, Жан-Пьер , Деревья , Спрингер (2003) (английский перевод «arbres, amalgames, SL 2 », 3-е издание, astérisque 46 (1983))
- П. Дж. Хиггинс, Фундаментальный группоид графа групп , Журнал Лондонского математического общества (2) 13 (1976), вып. 1, 145–149.
- Алуффи, Паоло (2009). Алгебра: Глава 0 . Книжный магазин AMS. п. 70. ISBN 978-0-8218-4781-7..
- Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра . Springer. п. 27. ISBN 978-0-387-71567-4..