Замороженная орбита

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Сентябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья может содержать чрезмерное количество сложных деталей, которые могут заинтересовать только определенную аудиторию . Пожалуйста, помогите, выделив или переместив любую соответствующую информацию и удалив лишние детали, которые могут противоречить политике включения Википедии . ( Сентябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В орбитальной механике , А замороженное орбита является орбита для искусственного спутника , в котором природный дрейфующих в связи с центральным телом «ы форма была сведена к минимуму за счет тщательного подбора параметров орбиты . Обычно это орбита, на которой в течение длительного периода времени высота спутника остается постоянной в одной и той же точке на каждой орбите. ^[1] Изменения наклона , положения самой нижней точки орбиты и эксцентриситета были минимизированы путем выбора начальных значений таким образом, чтобы ихвозмущения нейтрализуются. ^[2] Это приводит к долгосрочной стабильной орбите, которая сводит к минимуму использование топлива для удержания станции .

Предпосылки и мотивация [ править ]

Для большинства космических аппаратов изменения орбиты вызваны сжатием Земли , гравитационным притяжением Солнца и Луны, давлением солнечной радиации и сопротивлением воздуха . Это так называемые «возмущающие силы». Им нужно противодействовать маневрами, чтобы космический корабль оставался на желаемой орбите. Для геостационарного космического корабля требуются корректирующие маневры порядка 40–50 м / с в год для противодействия гравитационным силам Солнца и Луны, которые перемещают плоскость орбиты от экваториальной плоскости Земли.

Для солнечно-синхронных космических аппаратов преднамеренное смещение плоскости орбиты (называемое «прецессией») может быть использовано в интересах миссии. Для этих миссий используется околокруговая орбита высотой 600–900 км. Подходящий наклон (97,8-99,0 градусов) выбирается так, чтобы прецессия плоскости орбиты была равна скорости движения Земли вокруг Солнца, примерно 1 градус в сутки.

В результате космический корабль будет проходить над точками на Земле, которые имеют одно и то же время суток на каждой орбите. Например, если орбита «квадрат к солнцу», аппарат всегда будет проходить над точками, в которых 6 часов утра на северном участке и 18 часов на южном (или наоборот). Это называется орбитой «Рассвет-Закат». В качестве альтернативы, если солнце находится в орбитальной плоскости, транспортное средство всегда будет проходить над местами, где сейчас полдень на северном отрезке, и над местами, где сейчас полночь на южном отрезке (или наоборот). Они называются орбитами "полдень-полночь". Такие орбиты желательны для многих миссий по наблюдению Земли, таких как погода, изображения и картография.

Возмущающая сила, вызванная сжатием Земли, будет, как правило, возмущать не только плоскость орбиты, но также вектор эксцентриситета орбиты. Однако существует почти круговая орбита, для которой нет вековых / длительных периодических возмущений вектора эксцентриситета, только периодические возмущения с периодом, равным периоду обращения. В таком случае такая орбита является идеально периодической (за исключением прецессии плоскости орбиты) и поэтому называется «замороженной орбитой». Такая орбита часто является предпочтительным выбором для миссии наблюдения Земли, когда повторные наблюдения одного и того же участка Земли должны проводиться в как можно более постоянных условиях наблюдения.

В области наблюдения Земли спутников ERS-1, ERS-2 и Энвисат работают в солнечно-синхронных замороженных орбитах.

Замороженные лунные орбиты [ править ]

Изучая множество спутников, вращающихся вокруг Луны , ученые обнаружили, что большинство низких лунных орбит (LLO) нестабильны. ^[3] Четыре замороженные лунные орбиты были идентифицированы с наклоном 27 °, 50 °, 76 ° и 86 °. НАСА разъясняло это в 2006 году:

Лунные масконы делают большинство низких лунных орбит нестабильными ... Когда спутник проходит 50 или 60 миль над головой, масконы тянут его вперед, назад, влево, вправо или вниз, точное направление и величина тяги зависят от траектории спутника. При отсутствии периодических запусков бортовых ракет для корректировки орбиты большинство спутников, выпущенных на низкие лунные орбиты (менее 60 миль или 100 км), в конечном итоге упадут на Луну. ... [Есть] ряд «замороженных орбит», на которых космический корабль может оставаться на низкой лунной орбите неопределенное время. Они происходят под четырьмя наклонениями: 27 °, 50 °, 76 ° и 86 ° ", причем последний из них находится почти над полюсами Луны. Орбита относительно долгоживущего субспутника Apollo 15 PFS-1имел наклонение 28 °, что оказалось близким к наклонению одной из замороженных орбит, но менее удачливый PFS-2 имел наклонение орбиты всего 11 °. ^[4]

Классическая теория [ править ]

Этот раздел может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: Википедия - это не учебник . В предоставленном выводе отсутствует контекст, объясняющий, почему он был бы полезен для читателей. Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, если можете. ( Сентябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Классическая теория замороженных орбит по существу основана на аналитическом анализе возмущений для искусственных спутников Дирка Брауэра, сделанном по контракту с НАСА и опубликованном в 1959 г. ^[5]

Этот анализ можно провести следующим образом:

В статье анализ орбитального возмущения показано, что вековое возмущение орбитального полюса из члена геопотенциальной модели равно${\ displaystyle \ Delta {\ hat {z}} \,}$${\ Displaystyle J_ {2} \,}$

${\ displaystyle \ Delta {\ hat {z}} \ = \ -2 \ pi \ {\ frac {J_ {2}} {\ mu \ p ^ {2}}} \ {\ frac {3} {2} } \ \ cos i \ \ sin i \ quad {\ hat {g}}}$

( 1 )

который можно выразить через элементы орбиты следующим образом:

${\ Displaystyle \ Дельта я \ = \ 0}$

( 2 )

${\ displaystyle \ Delta \ Omega \ = \ -2 \ pi \ {\ frac {J_ {2}} {\ mu \ p ^ {2}}} \ {\ frac {3} {2}} \ \ cos i }$

( 3 )

Проведя аналогичный анализ для этого члена (соответствующего тому факту, что Земля имеет слегка грушевидную форму ), мы получаем${\ Displaystyle J_ {3} \,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left(\ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {g}}\ -\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {h}}\right)}$

( 4 )

который может быть выражен через элементы орбиты как

${\displaystyle \Delta i\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

( 5 )

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ {\frac {\cos i}{\sin i}}\ \ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

( 6 )

В той же статье показано вековое возмущение компонент вектора эксцентриситета, вызванное :${\displaystyle J_{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ &-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\left({\frac {3}{2}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (-e_{h},e_{g})\ +\ 2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos ^{2}i\left(-e_{h},e_{g}\right)\ =\\&-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-e_{h},e_{g}\right)\end{aligned}}}$

( 7 )

куда:

• Первый член - это возмущение вектора эксцентриситета в плоскости, вызванное плоскостной составляющей возмущающей силы.
• Второй член - это эффект нового положения восходящего узла в новой орбитальной плоскости, при этом орбитальная плоскость возмущается из-за внеплоскостной составляющей силы.

Анализируя член, получаем первый член, то есть возмущение вектора эксцентриситета из-за составляющей силы в плоскости${\displaystyle J_{3}\,}$

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left(\left(1-{e_{g}}^{2}+4\ {e_{h}}^{2}\right)\ {\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)}$

( 8 )

Для наклонов в диапазоне 97,8–99,0 градусов значение ( 6 ) намного меньше, чем значение ( 3 ), и им можно пренебречь. Точно так же квадратичные члены компонент вектора эксцентриситета в ( 8 ) можно игнорировать для почти круговых орбит, т.е. ( 8 ) можно аппроксимировать с помощью${\displaystyle \Delta \Omega \,}$

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ {\hat {g}}}$

( 9 )

Добавление вклада ${\displaystyle J_{3}\,}$${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}$

к ( 7 ) получается

${\displaystyle \left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-\left(e_{h}+{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\right),\ e_{g}\right)}$

( 10 )

Теперь разностное уравнение показывает, что вектор эксцентриситета будет описывать круг с центром в точке ; полярный аргумент вектора эксцентриситета увеличивается с увеличением радиан между последовательными орбитами.${\displaystyle \left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,}$${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,}$

В качестве

${\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

для полярной орбиты ( ) получается, что центр круга находится в точке, а изменение полярного аргумента составляет 0,00400 радиан на орбиту.${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$

Последняя цифра означает, что вектор эксцентриситета будет описывать полный круг на 1569 орбитах. Выбор исходного вектора среднего эксцентриситета в качестве вектора среднего эксцентриситета будет оставаться постоянным для последовательных орбит, то есть орбита заморожена, потому что вековые возмущения члена, заданного формулой ( 7 ), и члена, заданного формулой ( 9 ), компенсируются.${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$${\displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

С точки зрения классических элементов орбиты это означает, что замороженная орбита должна иметь следующие средние элементы:

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

Современная теория [ править ]

Современная теория замороженных орбит основана на алгоритме, приведенном в статье Матса Розенгрена в 1989 году. ^[6]

Для этого используется аналитическое выражение ( 7 ), чтобы итеративно обновлять начальный (средний) вектор эксцентриситета, чтобы получить, что (средний) вектор эксцентриситета через несколько орбит, вычисленных позже посредством точного численного распространения, принимает точно такое же значение. Таким образом, вековое возмущение вектора эксцентриситета, вызванное термином, используется для противодействия всем вековым возмущениям, а не только тем (доминирующим), которые вызваны термином. Одним из таких дополнительных вековых возмущений, которые таким образом можно компенсировать, является возмущение, вызванное давлением солнечного излучения , это возмущение обсуждается в статье « Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) ».${\displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

Применение этого алгоритма для случая , описанного выше, то есть полярная орбита ( ) с игнорируя все невозмущающие другие , чем силы и силы для численного распространения один получает точно такой же оптимальный вектор среднего эксцентриситета , как с «классической теорией», то есть .${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$${\displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$

Когда мы также включаем силы из-за более высоких зональных условий, оптимальное значение изменяется на .${\displaystyle (0,\ 0.001285)\,}$

Предполагая , что в дополнении разумного солнечного давления (а «поперечное сечение-площадь» от 0,05 м ² / кг , направление к солнцу в направлении восходящего узла) значение оптимального для среднего вектора эксцентриситета становится , что соответствует: , т.е. значение оптимальным является не больше.${\displaystyle (0.000069,\ 0.001285)\,}$${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$

Этот алгоритм реализован в программном обеспечении управления орбитой спутников наблюдения Земли ERS-1, ERS-2 и Envisat.

Вывод выражений в замкнутой форме для возмущения J ₃ [ править ]

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Сентябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Основная возмущающая сила, которой необходимо противодействовать, чтобы орбита застыла, - это « сила», то есть гравитационная сила, вызванная несовершенной симметрией север / юг Земли, и «классическая теория» основана на выражении в замкнутой форме для это « возмущение». В «современной теории» это явное выражение в замкнутой форме не используется напрямую, но, безусловно, все же имеет смысл вывести его.${\displaystyle J_{3}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

Вывести это выражение можно следующим образом:

Потенциал от зонального члена является вращательно-симметричным относительно полярной оси Земли, и соответствующая сила полностью находится в продольной плоскости с одной составляющей в радиальном направлении и одной составляющей с единичным вектором, ортогональным радиальному направлению на север. Эти направления и проиллюстрированы на рисунке 1.${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$

Рисунок 1: Единичные векторы ${\displaystyle {\hat {\phi }},\ {\hat {\lambda }},\ {\hat {r}}}$

В статье Геопотенциальная модель показано, что эти компоненты силы, вызванные термином, являются${\displaystyle J_{3}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin \lambda \ \left(5\sin ^{2}\lambda \ -\ 3\right)\\&F_{\lambda }=-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos \lambda \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\end{aligned}}}$

( 11 )

Для того, чтобы иметь возможность применять отношения , полученные в статье анализа Орбитальный возмущений (КА) составляющая сила должна быть разделена на две ортогональные компоненты , и , как показано на рисунке 2${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$

Рисунок 2: Единичный вектор, ортогональный по направлению движения и орбитальному полюсу . Составляющая силы обозначена буквой «F».${\displaystyle {\hat {t}}\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {z}}\,}$${\displaystyle F_{\lambda }}$

Пусть составляют прямоугольную систему координат с началом в центре Земли (в центре эллипсоида ) таким образом, что точки в направлении север и таким образом, что в экваториальной плоскости Земли с указывая на восходящий узел , т.е. к синей точке на рисунке 2.${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$${\displaystyle {\hat {a}}\,}$

Компоненты единичных векторов

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

составляющие локальную систему координат (которая проиллюстрирована на рисунке 2) и выражающая их связь с ней , заключаются в следующем:${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,}$

${\displaystyle z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\cos i\,}$

где - полярный аргумент относительных ортогональных единичных векторов и в плоскости орбиты${\displaystyle u\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$

во-первых

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

где - угол между плоскостью экватора и (между зелеными точками на рисунке 2), и из уравнения (12) статьи Геопотенциальная модель, следовательно, получаем${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$

${\displaystyle F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin i\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)}$

( 12 )

Во-вторых, проекция направления на север ,, на плоскость, охватываемую, равна${\displaystyle {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,}$

и эта проекция

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

где - единичный вектор, ортогональный радиальному направлению на север, показанному на рисунке 1.${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$

Из уравнения ( 11 ) видим, что

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,}$

и поэтому:

${\displaystyle F_{t}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \sin i\ \cos u}$

( 13 )

${\displaystyle F_{z}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos i}$

( 14 )

В статье Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) дополнительно показано, что вековое возмущение орбитального полюса равно${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}}$

( 15 )

Вводя выражение для ( 14 ) в ( 15 ), получаем${\displaystyle F_{z}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{aligned}}}$

( 16 )

Дробь равна${\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}$

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

куда

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

компоненты вектора эксцентриситета в системе координат.${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$

Как и все интегралы типа

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

равны нулю, если не оба и четны, мы видим, что${\displaystyle n\,}$${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du&=\ 2\ e_{g}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{g}\ ({\frac {5}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

( 17 )

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du&=\ 2\ e_{h}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{4}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{h}\ ({\frac {15}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

( 18 )

Следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\quad \times \ {\hat {z}}\\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\end{aligned}}}$

( 19 )

куда

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$и являются базовыми векторы прямоугольной системы координат в плоскости отсчета Kepler орбиты в экваториальной плоскости в направлении восходящего узла и полярный аргумент относительно этого экваториальной системы координат${\displaystyle {\hat {h}}\,}$${\displaystyle {\hat {g}}\,}$${\displaystyle u\,}$

${\displaystyle f_{z}\,}$ - составляющая силы (на единицу массы) в направлении полюса орбиты ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

В статье Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) показано, что вековое возмущение вектора эксцентриситета равно

${\displaystyle \Delta {\bar {e}}\ ={\frac {1}{\mu }}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ f_{r}\ +\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ f_{t}\right)\ r^{2}\ du}$

( 20 )

куда

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$- обычная локальная система координат с единичным вектором, направленным от Земли.${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$ - составляющая скорости в направлении ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$ - составляющая скорости в направлении ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

Вводя выражения для ( 12 ) и ( 13 ) в ( 20 ), получаем${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du\end{aligned}}}$

( 21 )

Используя это

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}}$

приведенный выше интеграл можно разделить на 8 членов:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)\ du\ =\\&-10\sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\\&+6\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\\&-15\ \sin ^{2}i\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\\&+3\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \sin u\ \cos u\ du\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \cos ^{2}u\ du\end{aligned}}}$

( 22 )

При условии

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

мы получаем

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

и что все интегралы типа

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

равны нулю, если не оба, а равны:${\displaystyle n\,}$${\displaystyle m\,}$

Срок 1

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{4}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

( 23 )

Срок 2

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

( 24 )

Срок 3

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

( 25 )

Срок 4

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

( 26 )

Срок 5

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{4}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

( 27 )

6 семестр

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

( 28 )

Срок 7

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

( 29 )