Геопотенциальная модель

В геофизике , A геопотенциал модель представляет собой теоретический анализ измерения и вычисления эффектов Земли «ы гравитационного поля .

Закон Ньютона [ править ]

Схема двух притягивающих друг друга масс

Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что гравитационная сила F, действующая между двумя точечными массами m ₁ и m ₂ с разделением центров масс r , определяется выражением

${\ displaystyle \ mathbf {F} = -G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {r}}}$

где G - гравитационная постоянная, а r̂ - радиальный единичный вектор . Для объекта с непрерывным распределением массы каждый элемент массы dm можно рассматривать как точечную массу, поэтому интеграл объема по протяженности объекта дает:

${\ displaystyle \ mathbf {\ bar {F}} = -G \ int \ limits _ {V} {\ frac {\ rho} {r ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {r}} \, dx \, dy \, dz}$

( 1 )

с соответствующим гравитационным потенциалом

${\ Displaystyle и \ = -G \ int \ limits _ {V} {\ frac {\ rho} {r}} \, dx \, dy \, dz}$

( 2 )

где ρ = ρ ( x, y, z ) - плотность массы в элементе объема и направления от элемента объема к точечной массе.

Случай однородной сферы [ править ]

В частном случае сферы со сферически симметричной плотностью массы ρ = ρ ( s ), т.е. плотность зависит только от радиального расстояния.

${\ displaystyle s = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ ,.}$

Эти интегралы можно оценить аналитически. Это теорема оболочек, говорящая, что в этом случае:

${\displaystyle {\bar {F}}=-{\frac {GM}{R^{2}}}\ {\hat {r}}}$

( 3 )

с соответствующим потенциалом

${\displaystyle u=-{\frac {GM}{r}}}$

( 4 )

где M = ∫ _V ρ ( s ) dxdydz - полная масса шара.

Отклонения гравитационного поля Земли от поля однородной сферы [ править ]

На самом деле Земля не совсем сферическая, в основном из-за ее вращения вокруг полярной оси, что делает ее форму слегка сжатой. Если бы эта форма была хорошо известна вместе с точной плотностью массы ρ = ρ ( x, y, z ), интегралы ( 1 ) и ( 2 ) можно было бы оценить численными методами, чтобы найти более точную модель гравитационного поля Земли. Однако на самом деле ситуация обратная. Наблюдая за орбитами космического корабля и Луны, гравитационное поле Земли может быть определено довольно точно, и наилучшая оценка массы Земли получается путем деления произведения GM, определенного в результате анализа орбиты космического корабля, на значение G определяется с меньшей относительной точностью другими физическими методами.

Из определяющих уравнений ( 1 ) и ( 2 ) ясно (взяв частные производные от подынтегрального выражения), что вне тела в пустом пространстве для поля, создаваемого телом, справедливы следующие дифференциальные уравнения:

${\displaystyle {\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}=0}$

( 5 )

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$

( 6 )

Функции вида, где ( r , θ, φ) - сферические координаты, которые удовлетворяют уравнению в частных производных ( 6 ) ( уравнение Лапласа ), называются сферическими гармоническими функциями .${\displaystyle \phi \ =\ R(r)\ \Theta (\theta )\ \Phi (\varphi )}$

Они принимают следующие формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x,y,z)&={\frac {1}{r^{n+1}}}P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi \,,&\quad 0\leq m\leq n\,,&\quad n=0,1,2,\dots \\h(x,y,z)&={\frac {1}{r^{n+1}}}P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi \,,&\quad 1\leq m\leq n\,,&\quad n=1,2,\dots \end{aligned}}}$

( 7 )

где используются сферические координаты ( r , θ, φ), указанные здесь в декартовых координатах ( x, y, z ) для справки:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \theta \cos \varphi \\&y=r\cos \theta \sin \varphi \\&z=r\sin \theta \,,\end{aligned}}}$

( 8 )

также P ⁰ _n - многочлены Лежандра, а P ^m _n для 1 ≤ m ≤ n - ассоциированные функции Лежандра .

Первые сферические гармоники с n = 0,1,2,3 представлены в таблице ниже.

п	Сферические гармоники
0	${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$
1	${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{2}}}\sin \theta }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta \cos \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta \sin \varphi }$
2	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)}$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \theta \cos \theta \ \cos \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \theta \cos \theta \sin \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\theta \ \cos 2\varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\theta \sin 2\varphi }$
3	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \ (5\sin ^{2}\theta -3)}$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ (5\ \sin ^{2}\theta -1)\cos \theta \cos \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ (5\ \sin ^{2}\theta -1)\cos \theta \sin \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\sin \theta \cos ^{2}\theta \cos 2\varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\sin \theta \cos ^{2}\theta \sin 2\varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{3}(\sin \theta )\cos 3\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\cos ^{3}\theta \cos 3\varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{3}(\sin \theta )\sin 3\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\cos ^{3}\theta \sin 3\varphi }$

Модель гравитационного потенциала Земли представляет собой сумму

${\displaystyle u=-{\frac {\mu }{r}}+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {J_{n}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )(C_{n}^{m}\cos m\varphi +S_{n}^{m}\sin m\varphi )}{r^{n+1}}}}$

( 9 )

где и координаты ( 8 ) являются относительно стандартной геодезической системы отсчета расширен в пространстве с началом в центре эллипсоида и г оси х в направлении полярной оси.${\displaystyle \mu =GM}$

В зональных термины относятся к условиям вида:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}\quad n=0,1,2,\dots }$

а термины тессеральных терминов относятся к терминам формы:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi }{r^{n+1}}}\,,\quad 1\leq m\leq n\quad n=1,2,\dots }$

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}}}}$

Зональный и тессеральный члены для n  = 1 в ( 9 ) опущены . Коэффициенты для n = 1 с членами как m = 0, так и m = 1 соответствуют произвольно ориентированному дипольному члену в многополюсном разложении. Гравитация физически не имеет дипольного характера, поэтому интеграл, характеризующий n  = 1, должен быть равен нулю.

Затем различным коэффициентам J _n , C _n ^m , S _n ^m задаются значения, для которых достигается наилучшее возможное совпадение между вычисленными и наблюдаемыми орбитами космического корабля.

Поскольку P ⁰ _n ( x ) = - P ⁰ _n (- x ) ненулевые коэффициенты J _n для нечетного n соответствуют отсутствию симметрии «север-юг» относительно экваториальной плоскости для распределения массы Земли. Ненулевые коэффициенты C _n ^m , S _n ^m соответствуют отсутствию симметрии вращения вокруг полярной оси для распределения массы Земли, то есть "трехосности" Земли.

Для больших значений n приведенные выше коэффициенты (которые делятся на r ^{( n + 1)} в ( 9 )) принимают очень большие значения, когда, например, в качестве единиц используются километры и секунды. В литературе принято вводить произвольный «реперный радиус» R, близкий к радиусу Земли, и работать с безразмерными коэффициентами.

${\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}}$

${\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$

${\displaystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$

и записать потенциал как

${\displaystyle u=-{\frac {\mu }{r}}\left(1+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {{\tilde {J_{n}}}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )({\tilde {C_{n}^{m}}}\cos m\varphi +{\tilde {S_{n}^{m}}}\sin m\varphi )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}\right)}$

( 10 )

Главный член (после члена −µ / r ) в ( 9 ) - это « член J ₂ »:

${\displaystyle u={\frac {J_{2}\ P_{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}}=J_{2}{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)=J_{2}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})}$

Относительная система координат

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\varphi }}=-\sin \varphi {\hat {x}}+\cos \varphi {\hat {y}}\\&{\hat {\theta }}=-\sin \theta \ (\cos \varphi \ {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\cos \theta {\hat {z}}\\&{\hat {r}}=\cos \theta \ (\cos \varphi \ {\hat {x}}\ +\ \sin \varphi \ {\hat {y}})+\ \sin \theta \ {\hat {z}}\end{aligned}}}$

( 11 )

Рисунок 1: Единичные векторы. Это не правильно. Должна быть тета, а не лямбда${\displaystyle {\hat {\varphi }}\ ,\ {\hat {\theta }}\ ,\ {\hat {r}}}$

проиллюстрированные на рисунке 1 компоненты силы, вызванные " членом J ₂ ", являются

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{\theta }=-{\frac {1}{r}}\ {\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}3\ \cos \theta \ \sin \theta \\&F_{r}=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ \left(3\sin ^{2}\theta \ -\ 1\right)\end{aligned}}}$

( 12 )

В прямоугольной системе координат ( x, y, z ) с единичными векторами ( x̂ ŷ ẑ ) компоненты силы следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{x}=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{2}\ {\frac {x}{r^{7}}}\left(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\&F_{y}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}=J_{2}\ {\frac {y}{r^{7}}}\left(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\&F_{z}=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{2}\ {\frac {z}{r^{7}}}\left(3z^{2}-{\frac {9}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\end{aligned}}}$

( 13 )

Составляющие силы, соответствующие « члену J ₃ »

${\displaystyle u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}}}=J_{3}{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta (5\sin ^{2}\theta -3)=J_{3}{\frac {1}{r^{7}}}{\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})}$

находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{\theta }=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{3}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {3}{2}}\cos \theta \left(5\sin ^{2}\theta -1\right)\\&F_{r}=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{3}{\frac {1}{r^{5}}}2\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)\end{aligned}}}$

( 14 )

и

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{x}=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{3}{\frac {xz}{r^{9}}}\left(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\&F_{y}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}=J_{3}{\frac {yz}{r^{9}}}\left(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\&F_{z}=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{3}{\frac {1}{r^{9}}}\left(4z^{2}\ \left(z^{2}-3(x^{2}+y^{2})\right)+{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})^{2}\right)\end{aligned}}}$

( 15 )

Точные численные значения коэффициентов различаются (несколько) между разными моделями Земли, но для самых низких коэффициентов все они почти точно совпадают.

Для JGM-3 значения следующие:

μ = 398600,440 км ³ с ⁻²

J ₂ = 1,75553 × 10 ¹⁰ км ⁵ мкс ⁻²

J ₃ = −2,61913 × 10 ¹¹ км ⁶ мкс ⁻²

Например, на радиусе 6600 км (около 200 км над поверхностью Земли) J ₃ / ( J ₂ r ) составляет около 0,002, то есть поправка к « силе J ₂ » из « члена J ₃ » имеет порядок 2 промилле. Отрицательное значение J ₃ означает, что для точечной массы в экваториальной плоскости Земли гравитационная сила слегка наклонена к югу из-за отсутствия симметрии для распределения масс Земли «север-юг».

Рекурсивные алгоритмы, используемые для численного распространения орбит космических аппаратов [ править ]

Космический аппарат орбиты вычисляются по численному интегрированию в уравнении движения . Для этого необходимо вычислить гравитационную силу, то есть градиент потенциала. Были разработаны эффективные рекурсивные алгоритмы для вычисления силы тяжести для любого и (максимальная степень зональных и тессеральных условий), и такие алгоритмы используются в стандартном программном обеспечении для определения орбиты.${\displaystyle N_{z}}$${\displaystyle N_{t}}$

Доступные модели [ править ]

Самыми ранними моделями Земли, обычно используемыми НАСА и ESRO / ESA, были «Модели Земли Годдарда», разработанные Центром космических полетов Годдарда, обозначенные «GEM-1», «GEM-2», «GEM-3» и так далее. Позже стали доступны "Совместные модели земной гравитации", обозначенные "JGM-1", "JGM-2", "JGM-3", разработанные Центром космических полетов Годдарда в сотрудничестве с университетами и частными компаниями. Новые модели обычно предоставляли термины более высокого порядка, чем их предшественники. EGM96 использует N _г = N _T = 360 приводит к 130317 коэффициентов. Также доступна модель EGM2008.

Для обычного спутника Земли, требующего точности определения / прогнозирования орбиты в несколько метров, обычно достаточно "JGM-3", усеченного до N _z = N _t = 36 (1365 коэффициентов). Неточности моделирования сопротивления воздуха и, в меньшей степени, давления солнечной радиации будут превышать неточности, вызванные ошибками моделирования гравитации.

Безразмерные коэффициенты , , в течение первых зональных и тессеральных условий ( с использованием = 6378.1363 км и = 398600.4415 км ³ / с ² ) модели JGM-3,${\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}}$${\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$${\displaystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mu }$

Согласно JGM-3, следовательно, ⁵ км / с ² = км ⁵ / с ² и км ⁶ / с ² = км ⁶ / с ^2.${\displaystyle J_{2}\ =\ 0.1082635854\ \cdot \ 10^{-02}\ \cdot \ 6378.1363^{2}\ \cdot \ 398600.4415}$${\displaystyle 1.75553\ \cdot \ 10^{10}}$${\displaystyle J_{3}\ =\ -0.2532435346\ \cdot \ 10^{-05}\ \cdot \ 6378.1363^{3}\ \cdot \ 398600.4415}$${\displaystyle -2.61913\ \cdot \ 10^{11}}$

Сферические гармоники [ править ]

Ниже приводится краткое описание сферических гармоник, используемых для моделирования гравитационного поля Земли. Сферические гармоники получены из подхода к поиску гармонических функций формы

${\displaystyle \phi \ =\ R(r)\ \Theta (\theta )\ \Phi (\varphi )}$

( 16 )

где ( r , θ, φ) - сферические координаты, определяемые уравнениями ( 8 ). Непосредственными вычислениями получаем, что для любой функции f

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\ =\ {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\cos \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\cos \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\cos ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}$

( 17 )

Вводя выражение ( 16 ) в ( 17 ), получаем, что

${\displaystyle {\frac {r^{2}}{\phi }}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)\ ={\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}}$

( 18 )

Как термин

${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)}$

зависит только от переменной и суммы${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}}$

зависит только от переменных θ и φ. Получается, что φ гармонична тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)\ =\ \lambda }$

( 19 )

и

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}\ =\ -\lambda }$

( 20 )

для некоторой постоянной ${\displaystyle \lambda }$

Тогда из ( 20 ) следует, что

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta }}\ \cos \theta \ {\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)\ +\lambda \ \cos ^{2}\theta \ +\ {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}\ =\ 0}$

Первые два члена зависят только от переменной, а третий - только от переменной .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

Из определения φ как сферической координаты ясно, что Φ (φ) должна быть периодической с периодом 2π, и поэтому необходимо, чтобы

${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}\ =\ -m^{2}}$

( 21 )

и

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta }}\ \cos \theta \ {\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)\ +\lambda \ \cos ^{2}\theta =\ m^{2}}$

( 22 )

для некоторого целого m как семейство решений ( 21 ), то

${\displaystyle \Phi (\varphi )\ =a\ \cos m\varphi \ +\ b\ \sin m\varphi }$

( 23 )

С подстановкой переменных

${\displaystyle x=\sin \theta }$

уравнение ( 22 ) принимает вид

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2}){\frac {d\Theta }{dx}}\right)+\left(\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\Theta =0}$

( 24 )

Из ( 19 ) следует, что для решения с${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle R(r)={\frac {1}{r^{n+1}}}}$

нужно иметь это

${\displaystyle \lambda =n(n+1)}$

Если P _n ( x ) - решение дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2})\ {\frac {dP_{n}}{dx}}\right)\ +\ n(n+1)\ P_{n}\ =\ 0}$

( 25 )

следовательно, потенциал, соответствующий m = 0

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{r^{n+1}}}\ P_{n}(\sin \theta )}$

которая вращательно-симметрична относительно оси z, является гармонической функцией

Если - решение дифференциального уравнения${\displaystyle P_{n}^{m}(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2})\ {\frac {dP_{n}^{m}}{dx}}\right)\ +\ \left(n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\ P_{n}^{m}\ =\ 0}$

( 26 )

при m ≥ 1 имеется потенциал

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{r^{n+1}}}\ P_{n}^{m}(\sin \theta )\ (a\ \cos m\varphi \ +\ b\ \sin m\varphi )}$

( 27 )

где a и b - произвольные постоянные, является гармонической функцией, которая зависит от φ и, следовательно, не является осесимметричной относительно оси z.

Дифференциальное уравнение ( 25 ) - это дифференциальное уравнение Лежандра, для которого определены полиномы Лежандра

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{0}(x)=1\\&P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}\quad n\geq 1\\\end{aligned}}}$

( 28 )

являются решениями.

Произвольный множитель 1 / (2 ⁿ n !) Выбирается так, чтобы P _n (−1) = - 1 и P _n (1) = 1 для нечетных n и P _n (−1) = P _n (1) = 1. для четных n .

Первые шесть полиномов Лежандра:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{0}(x)=1\\&P_{1}(x)=x\\&P_{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)\\&P_{3}(x)={\frac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)\\&P_{4}(x)={\frac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\&P_{5}(x)={\frac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\\end{aligned}}}$

( 29 )

Решениями дифференциального уравнения ( 26 ) являются ассоциированные функции Лежандра

${\displaystyle P_{n}^{m}(x)\ =(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}\ {\frac {d^{m}P_{n}}{dx^{m}}}\quad 1\leq m\leq n}$

( 30 )

Следовательно, есть

${\displaystyle P_{n}^{m}(\sin \theta )=\cos ^{m}\theta \ {\frac {d^{n}P_{n}}{dx^{n}}}(\sin \theta )}$

Ссылки [ править ]

• Эль-Ясберг Теория полета искусственных спутников Земли , Израильская программа научных переводов (1967)
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Смит, Д.Э., Сэндсон, М.Л., Браунд, Дж. Э., Ричардсон, Дж. А., "Модели гравитационного поля для Земли (GEM1 и 2)", отчет X55372146, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1972
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Патни, М.Л., Сэндсон, М.Л., Браунд, Дж. Э., Ричардсон, Дж. А., Тейлор, Вашингтон, "Модели гравитационного поля GEM3 и 4", отчет X59272476, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1972
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Ричардсон, Дж. А., Браунд, Дж. Э., "Модели Земли Годдарда (5 и 6)", Отчет X92174145, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1974
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Клоско, С.М., Белотт, Р.П., Лаубшер, Р.Э., Рэйлор, Вашингтон, "Улучшение гравитационной модели с помощью альтиметрии Geos3 (GEM10A и 10B)", Весеннее ежегодное собрание Американского геофизического союза 1978 г., Майами, 1978 г.
• Лерх, Ф.Дж., Клоско, С.М., Лаубшер, Р.Е., Вагнер, Калифорния, «Улучшение гравитационной модели с использованием Geos3 (GEM9 и 10)», Журнал геофизических исследований, том. 84, В8, с. 3897-3916, 1979 г.
• Лерх, Ф.Дж., Патни, Б.Х., Вагнер, Калифорния, Клоско, С.М., "Модели Земли Годдарда для океанографических приложений (GEM 10B и 10C)", Морская геодезия, 5 (2), стр. 145-187, 1981
• Лерх, Ф.Дж., Клоско, С.М., Патель, ГБ, «Уточненная гравитационная модель из Лагеоса (GEML2)», 'Технический меморандум НАСА 84986, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1983
• Лерх, Ф.Дж., Нерем, Р.С., Патни, Б.Х., Фелсентрегер, Т.Л., Санчес, Б.В., Клоско, С.М., Патель, Великобритания, Уильямсон, Р.Г., Чинн, Д.С., Чан, Дж.К., Рахлин, К.Э., Чендлер, Н.Л., Маккарти, Дж. Дж., Маршалл, Дж. А., Латке, С. Б., Павлис, Д. У., Роббинс, Дж. У., Капур, С., Павлис, Е. К., «Геопотенциальные модели Земли по данным спутникового слежения, высотомера и наблюдений за поверхностной гравитацией: GEMT3 и GEMT3S», NASA Technical Меморандум 104555, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1992 г.
• Лерх, Ф.Дж., Нерем, Р.С., Патни, Б.Х., Фелсентрегер, Т.Л., Санчес, Б.В., Маршалл, Дж.А., Клоско, С.М., Патель, Великобритания, Уильямсон, Р.Г., Чинн, Д.С., Чан, Д.К., Рахлин, К.Э., Чендлер, Н.Л., Маккарти, Дж. Дж., Латке, С.Б., Павлис, Н.К., Павлис, Д.Э., Роббинс, Дж. У., Капур, С., Павлис, Е.К., "Геопотенциальная модель, полученная на основе данных спутникового слежения, высотомера и данных о поверхностной гравитации: GEMT3", Журнал Геофизические исследования, Vol. 99, № B2, стр. 2815-2839, 1994
• Нерем, Р.С., Лерх, Ф.Дж., Маршалл, Дж. А., Павлис, Э. К., Патни, Б. Х., Тэпли, Б. Д., Эанс, Р. Дж., Райс, Д. К., Шутц, Б. Э., Шум, К. К., Уоткинс, М. М., Клоско, С. М., Чан, JC, Luthcke, SB, Patel, GB, Pavlis, NK, Williamson, RG, Rapp, RH, Biancale, R., Nouel, F., "Разработки гравитационных моделей для Topex / Poseidon: совместные гравитационные модели 1 и 2", Journal геофизических исследований, Vol. 99, № C12, стр. 24421-24447, 1994а

Внешние ссылки [ править ]

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf