Объемный интеграл

В математике (особенно многомерном исчислении ) объемный интеграл относится к интегралу по трехмерной области; то есть это частный случай кратных интегралов . Объемные интегралы особенно важны в физике для многих приложений, например, для расчета плотности потока .

В координатах [ править ]

Он также может означать тройной интеграл в пределах области о наличии функции и обычно записывается в виде:${\ Displaystyle D \ подмножество \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle е (х, у, г),}$

${\ Displaystyle \ iiint _ {D} е (х, y, z) \, dx \, dy \, dz.}$

Объемный интеграл в цилиндрических координатах равен

${\ displaystyle \ iiint _ {D} е (\ rho, \ varphi, z) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz,}$

а интеграл объема в сферических координатах (с использованием соглашения ISO для углов в качестве азимута и измеренных от полярной оси (см. дополнительные условные обозначения )) имеет вид${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (r, \ theta, \ varphi) r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Пример 1 [ править ]

Интегрирование уравнения по единичному кубу дает следующий результат:${\ displaystyle f (x, y, z) = 1}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} 1 \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (1-0) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} (1-0) dz = 1-0 = 1}$

Итак, объем единичного куба равен 1, как и ожидалось. Однако это довольно тривиально, а интеграл по объему гораздо более эффективен. Например, если у нас есть скалярная функция плотности на единичном кубе, тогда интеграл объема даст полную массу куба. Например, для функции плотности:

${\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \\ (x, y, z) \ longmapsto x + y + z \ end {cases}}}$

общая масса куба:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} + y + z \ right) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} (1 + z) \, dz = {\ frac {3} {2}}}$

См. Также [ править ]

• Теорема расходимости
• Поверхностный интеграл
• Элемент объема

Внешние ссылки [ править ]

• "Кратный интеграл" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Объемный интеграл» . MathWorld .