Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В дифференциальной геометрии , A G 2 многообразия является семимерным римановым многообразием с группой голономии , содержащейся в G 2 . Группа является одним из пяти исключительных простых групп Ли . Она может быть описана как группа автоморфизмов из октонионов , или , что эквивалентно, в качестве собственной подгруппы специальной ортогональной группы SO (7) , которая сохраняет спинор в восемь-мерного спинорного представления или , наконец , в качестве подгруппы линейной группыGL (7), который сохраняет невырожденную 3-форму , ассоциативную форму. Ходдж двойной , затем параллельная 4-форма, форма coassociative. Эти формы калибровки в смысле Риз Харви и Г. Блейна Лоусона , [1] и , таким образом , определить специальные классы 3- и 4-мерное подмногообразие.

Свойства [ править ]

Все -многообразием являются 7-мерные, Риччи-плоские , ориентируемые спиновые многообразия . Кроме того, любое компактное многообразие с голономией, равной, имеет конечную фундаментальную группу , ненулевой первый класс Понтрягина и ненулевые третье и четвертое числа Бетти .

История [ править ]

Тот факт, что это могла быть группа голономии некоторых римановых 7-многообразий, был впервые предложен классификационной теоремой Марселя Бергера 1955 года , и это оставалось согласованным с упрощенным доказательством, которое позднее дал Джим Саймонс в 1962 году. Хотя ни одного примера такого многообразие еще было открыто, Эдмонд Бонан тем не менее внес полезный вклад, показав, что, если такое многообразие действительно существует, оно будет нести как параллельную 3-форму, так и параллельную 4-форму, и что это обязательно будет Риччи. -плоский. [2]

Первые локальные примеры 7-многообразий с голономией были окончательно построены вокруг 1984 Роберт Брайант , и его полное доказательство их существования появилась в анналах в 1987 году [3] Далее, в комплекте (но по- прежнему некомпактные) 7-многообразия с голономией были построенные Брайантом и Саймоном Саламоном в 1989 году. [4] Первые компактные 7-многообразия с голономией были построены Домиником Джойсом в 1994 году. Поэтому компактные многообразия иногда называют «многообразиями Джойса», особенно в физической литературе. [5] В 2013 году М. Фират Арикан, Хёнджу Чо и Сема Салур показали, что любое многообразие со спиновой структурой и, следовательно,-структура, допускает совместимую почти контактную метрическую структуру, а явная согласованная почти контактная структура была построена для многообразий с -структурой. [6] В той же работе было показано, что некоторые классы -многообразий допускают контактную структуру.

В 2015 году новая конструкция компактных многообразий, созданная Алессио Корти , Марком Хаскинсом, Йоханнесом Нордстремом и Томмазо Пачини, объединила идею склейки, предложенную Саймоном Дональдсоном, с новыми алгебро-геометрическими и аналитическими методами построения многообразий Калаби – Яу с цилиндрическими концами. , что приводит к появлению десятков тысяч типов диффеоморфизмов новых примеров. [7]

Связь с физикой [ править ]

Эти многообразия важны в теории струн . Они нарушают исходную суперсимметрию до 1/8 исходной величины. Например, M-теория, компактифицированная на многообразии, приводит к реалистичной четырехмерной (11-7 = 4) теории с N = 1 суперсимметрией. В результате низкой энергии эффективная супергравитация содержит единственную супергравитации супермультиплет , ряд хиральных супермультиплетов равен третье число Бетти из многообразия и ряд U (1) вектор супермультиплетов равных второго числа Бетти. Недавно было показано, что почти контактные структуры (построенные Семой Салури др.) [6] играют важную роль в геометрии » [8].

См. Также [ править ]

  • Спиновое (7) -многообразие
  • Многообразие Калаби – Яу

Ссылки [ править ]

  1. ^ Харви, Риз; Лоусона, Х. Блейна (1982), "Калиброванные геометрии", Acta Mathematica , 148 : 47-157, DOI : 10.1007 / BF02392726 , МР  0666108.
  2. ^ Bonan, Эдмон (1966), "Sur ле Варьетэ riemanniennes à GROUPE d'holonomie G2 НУ Spin (7)", Comptes Rendus де l'Академии наук , 262 : 127-129.
  3. ^ Брайант, Роберт Л. (1987), "Метрика с исключительной голономией", Анналы математики , 126 (2): 525-576, DOI : 10,2307 / 1971360 , JSTOR 1971360 .
  4. ^ Брайант, Роберт Л .; Саламон, Саймон М. (1989), "О построении некоторых полных метрик с исключительной голономией", Duke математический журнал , 58 : 829-850, DOI : 10,1215 / s0012-7094-89-05839-0 , MR 1016448 .
  5. ^ Джойс, Доминик Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press , ISBN 0-19-850601-5.
  6. ^ а б Арикан, М. Фират; Чо, Хёнджу; Салур, Сема (2013), "Существование совместимых контактных структур на -многообразиях", Asian Journal of Mathematics , 17 (2): 321–334, arXiv : 1112.2951 , doi : 10.4310 / AJM.2013.v17.n2.a3.
  7. ^ Корти, Алессио ; Хаскинс, Марк; Нордстрём, Йоханнес; Пачини, Томмазо (2015). «G2-многообразия и ассоциативные подмногообразия через трехмерные полуфано». Математический журнал герцога . 164 : 1971–2092.
  8. ^ де ла Осса, Ксения; Ларфорс, Магдалена; Мэджилл, Мэтью (2021). «Почти контактные структуры на многообразиях со структурой G2». arXiv : 2101.12605 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Беккер, Катрин; Беккер, Мелани; Шварц, Джон Х. (2007), «Многообразия с G 2 и голономией Spin (7)», Теория струн и M-теория: современное введение , Cambridge University Press, стр. 433–455, ISBN 978-0-521-86069-7.
  • Fernandez, M .; Грей А. (1982), "Римановы многообразия со структурной группой G 2 ", Ann. Мат. Pura Appl. , 32 : 19-845, DOI : 10.1007 / BF01760975.
  • Каригианнис, Спиро (2011), "Что такое ... G 2 -многообразие?" (PDF) , Уведомления AMS , 58 (04): 580–581.