Гамма-сечение

Поперечное сечение гамма-излучения - мера вероятности того, что гамма-лучи взаимодействуют с веществом. Общее сечение из гамма - лучей взаимодействий состоит из нескольких независимых процессов: фотоэффекта , комптоновского рассеяния , производства пара электрон-позитронной в производстве пара поле ядра и электрон-позитронной в электронно - полевой (производство триплетного). Сечение для одного процесса , перечисленные выше , представляет собой часть общего гамма - излучения в поперечном сечении.

Другие эффекты, такие как фотоядерное поглощение, томсоновское или рэлеевское (когерентное) рассеяние, могут быть опущены из-за их незначительного вклада в гамма-диапазон энергий.

Подробные уравнения для сечений ( амбар / атом) всех упомянутых эффектов, связанных с взаимодействием гамма-лучей с веществом, перечислены ниже.

Сечение фотоэлектрического эффекта [ править ]

Это явление описывает ситуацию, в которой гамма- фотон взаимодействует с электроном, находящимся в атомной структуре . Это приводит к выбросу этого электрона из атома . Фотоэлектрический эффект является доминирующим механизмом передачи энергии для рентгеновских и гамма - квантов с энергией ниже 50 keV , но намного менее важно , при более высоких энергиях, а еще нужно принимать во внимание.

Обычно поперечное сечение в фотоэффекта может быть аппроксимирована уравнением упрощенной ^{[1] [2]}

${\ displaystyle \ sigma _ {ph} = {\ frac {16} {2}} {\ sqrt {2}} \ pi r_ {e} ^ {2} \ alpha ^ {4} {\ frac {Z ^ { 5}} {k ^ {3.5}}} \ приблизительно 3 \ cdot 10 ^ {12} {\ frac {Z ^ {4}} {E _ {\ gamma} ^ {3.5}}}}$

где k = E _γ / E _e , и где E _γ = hν - энергия фотона, выраженная в эВ, а E _e = m _e c ² ≈ 5,11 ∙ 10 ⁵ эВ - энергия массы покоя электрона , Z - атомный номер. элемента поглотителя α = e ² / (ħc) ≈ 1/137 - постоянная тонкой структуры , а r _e ² = e ⁴ / E _e ² ≈ 0,07941 b - квадрат классического радиуса электрона .

Однако для более высокой точности вполне подходит уравнение Заутера ^[3] :

${\displaystyle \sigma _{ph}={\frac {3}{2}}\phi _{0}\alpha ^{4}{\biggl (}Z{\frac {E_{e}}{E_{\gamma }}}{\biggr )}^{5}(\gamma ^{2}-1)^{3/2}{\Biggl [}{\frac {4}{3}}+{\frac {\gamma (\gamma -2)}{\gamma +1}}{\Biggl (}1-{\frac {1}{2\gamma (\gamma ^{2}-1)^{1/2}}}\ln {\frac {\gamma +(\gamma ^{2}-1)^{1/2}}{\gamma -(\gamma ^{2}-1)^{1/2}}}{\Biggr )}{\Biggr ]}}$

куда

${\displaystyle \gamma ={\frac {E_{\gamma }-E_{B}+E_{e}}{E_{e}}}}$

и E _B - энергия связи электрона, а ϕ ₀ - томсоновское сечение (ϕ ₀ = 8 πe ⁴ / (3E _e ² ) ≈ 0,66526 барн ).

Для более высоких энергий (> 0,5 МэВ ) сечение фотоэлектрического эффекта очень мало, потому что преобладают другие эффекты (особенно комптоновское рассеяние ). Однако для точных расчетов сечения фотоэффекта в области высоких энергий уравнение Заутера следует заменить уравнением Пратта-Скофилда ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle \sigma _{ph}=Z^{5}{\Biggl (}\sum _{n=1}^{4}{\frac {a_{n}+b_{n}Z}{1+c_{n}Z}}k^{-p_{n}}{\Biggr )}}$

где все входные параметры представлены в таблице ниже.

Сечение комптоновского рассеяния [ править ]

Комптоновское рассеяние (или эффект Комптона) - это взаимодействие, при котором падающий гамма- фотон взаимодействует с атомным электроном, вызывая его выброс и рассеивание исходного фотона с более низкой энергией. Вероятность комптоновского рассеяния уменьшается с увеличением энергии фотона. Комптоновское рассеяние считается основным механизмом поглощения гамма-лучей в промежуточном диапазоне энергий от 100 кэВ до 10 МэВ.

Сечение от эффекта Комптона описывается уравнением Клейна-Нишины :

${\displaystyle \sigma _{C}=Z2\pi r_{e}^{2}{\Biggl \{}{\frac {1+k}{k^{2}}}{\Biggl [}{\frac {2(1+k)}{1+2k}}-{\frac {\ln {(1+2k)}}{k}}{\Biggr ]}+{\frac {\ln {(1+2k)}}{2k}}-{\frac {1+3k}{(1+2k)^{2}}}{\Biggr \}}}$

для энергий выше 100 кэВ (k> 0,2). Однако для более низких энергий это уравнение должно быть заменено на: ^[6]

${\displaystyle \sigma _{C}=Z{\frac {8}{3}}\pi r_{e}^{2}{\frac {1}{(1+2k)^{2}}}{\biggl (}1+2k+{\frac {6}{5}}k^{2}-{\frac {1}{2}}k^{3}+{\frac {2}{7}}k^{4}-{\frac {6}{35}}k^{5}+{\frac {8}{105}}k^{6}+{\frac {4}{105}}k^{7}{\biggr )}}$

который пропорционален гаситель атомного номер , Z .

Дополнительное сечение, связанное с эффектом Комптона, можно рассчитать только для коэффициента передачи энергии - поглощения энергии фотона электроном : ^[7]

${\displaystyle \sigma _{C,abs}=Z2\pi r_{e}^{2}{\biggl [}{\frac {2(1+k)^{2}}{k^{2}(1+2k)}}-{\frac {1+3k}{(1+2k)^{2}}}-{\frac {(1+k)(2k^{2}-2k-1)}{k^{2}(1+2k)^{2}}}-{\frac {4k^{2}}{3(1+2k)^{3}}}-{\Bigl (}{\frac {1+k}{k^{3}}}-{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{2k^{3}}}{\Bigr )}\ln {(1+2k)}{\biggr ]}}$

который часто используется при расчетах радиационной защиты .

Сечение образования пар (в поле ядра) [ править ]

При взаимодействии с электрическим полем в виде ядра , энергия падающего фотона преобразуется в массу с электронным - позитроны (е ^- е ⁺ ) пары . Сечение для образования пары эффект , как правило , описывается уравнением максимона: ^{[8] [6]}

${\displaystyle \sigma _{pair}=Z^{2}\alpha r_{e}^{2}{\frac {2\pi }{3}}{\biggl (}{\frac {k-2}{k}}{\biggr )}^{3}{\biggl (}1+{\frac {1}{2}}\rho +{\frac {23}{40}}\rho ^{2}+{\frac {11}{60}}\rho ^{3}+{\frac {29}{960}}\rho ^{4}{\biggr )}}$для низких энергий ( k <4),

куда

${\displaystyle \rho ={\frac {2k-4}{2+k+2{\sqrt {2k}}}}}$.

Однако для более высоких энергий ( k > 4) уравнение Максимона имеет вид

${\displaystyle \sigma _{pair}=Z^{2}\alpha r_{e}^{2}{\Biggl \{}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}+({\frac {2}{k}})^{2}{\biggl [}6\ln {2k}-{\frac {7}{2}}+{\frac {2}{3}}\ln ^{3}{2k}-\ln ^{2}{2k}-{\frac {1}{3}}\pi ^{2}\ln {2k}+2\zeta (3)+{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\biggr ]}-({\frac {2}{k}})^{4}{\biggl [}{\frac {3}{16}}\ln {2k}+{\frac {1}{8}}{\biggr ]}-({\frac {2}{k}})^{6}{\biggl [}{\frac {29}{9\cdot 256}}\ln {2k}-{\frac {77}{27\cdot 512}}{\biggr ]}{\Biggr \}}}$

где ζ (3) ≈1.2020569 - дзета-функция Римана . Энергетический порог для эффекта образования пара является к = 2 ( позитрон и электрон массы энергии покоя ).

Сечение образования триплетов [ править ]

Эффект рождения триплетов, когда позитрон и электрон рождаются в поле другого электрона, аналогичен рождению пар с порогом при k = 4. Однако этот эффект гораздо менее вероятен, чем рождение пар в поле ядра . Наиболее популярная форма триплетного сечения была сформулирована как уравнение Борселлино-Гиццетти ^[6] : где a = -2,4674 и b = -1,8031. Это уравнение довольно длинное, поэтому Хауг ^[9] предложил более простые аналитические формы триплетного сечения${\displaystyle \sigma _{trip}=Z\alpha r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}+{\frac {1}{k}}{\biggl (}-{\frac {4}{3}}\ln ^{3}{2k}+3\ln ^{2}{2k}-{\frac {60+16a}{3}}\ln {2k}+{\frac {123+12a+16b}{3}}{\biggr )}+{\frac {1}{k^{2}}}{\biggl (}{\frac {8}{3}}\ln ^{3}{2k}-4\ln ^{2}{2k}+{\frac {51+32a}{3}}\ln {2k}-{\frac {123+32a+64b}{6}}{\biggr )}+{\frac {1}{k^{3}}}{\biggl (}\ln ^{2}{2k}-{\frac {53}{9}}\ln {2k}-{\frac {2915-288a}{216}}{\biggr )}+{\frac {1}{k^{4}}}{\biggl (}-{\frac {49}{18}}\ln {2k}-{\frac {115}{432}}{\biggr )}+{\frac {1}{k^{5}}}{\biggl (}-{\frac {77}{36}}\ln {2k}-{\frac {10831}{8640}}{\biggr )}+{\frac {1}{k^{6}}}{\biggl (}-{\frac {641}{300}}\ln {2k}-{\frac {64573}{36000}}{\biggr )}+{\frac {1}{k^{7}}}{\biggl (}-{\frac {4423}{1800}}\ln {2k}-{\frac {394979}{216000}}{\biggr )}{\Biggl ]}}$. Специально для самых низких энергий 4 < k <4,6:

${\displaystyle \sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}[5.6+20.4(k-4)-10.9(k-4)^{2}-3.6(k-4)^{3}+7.4(k-4)^{4}]10^{-3}(k-4)^{2}}$

Для 4,6 < k <6:

${\displaystyle \sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}(0.582814-0.29842k+0.04354k^{2}-0.0012977k^{3})}$

Для 6 < k <18:

${\displaystyle \sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}{\biggl (}{\frac {3.1247-1.3394k+0.14612k^{2}}{1+0.4648k+0.016683k^{2}}}{\biggr )}}$

Для k > 14 Хауг предложил использовать более короткую форму уравнения Борселлино: ^{[9] [10]}

${\displaystyle \sigma _{trip,H}=Z\alpha r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {28}{9}}\ln {2k}-{\frac {218}{27}}+{\frac {1}{k}}{\biggl (}-{\frac {4}{3}}\ln ^{3}{2k}+3.863\ln ^{2}{2k}-11\ln {2k}+27.9{\biggr )}{\Biggr ]}}$

Общее сечение [ править ]

Полное сечение на атом можно представить как простую сумму каждого эффекта: ^[2]

${\displaystyle \sigma _{total}=\sigma _{ph}+\sigma _{C}+\sigma _{pair}+\sigma _{trip}}$

Далее, используя закон Бера – Ламберта – Бугера , можно вычислить линейный коэффициент ослабления для взаимодействия фотона с поглотителем атомной плотности N :

${\displaystyle \mu =\sigma _{total}N}$

или массовый коэффициент ослабления :

${\displaystyle \mu _{d}={\frac {\mu }{\rho }}={\frac {\sigma _{total}}{uA}}}$

где ρ - плотность массы , u - атомная единица массы , a A - атомная масса поглотителя.

Это можно напрямую использовать на практике, например, в радиационной защите .

Аналитический расчет сечения каждого конкретного явления довольно сложен, потому что соответствующие уравнения длинны и сложны. Таким образом, полное сечение гамма-взаимодействия можно представить в одном феноменологическом уравнении, сформулированном Форнальски ^[11], которое можно использовать вместо него:

${\displaystyle \sigma _{total}(k,Z)=\sum _{i=0}^{6}{\biggl [}(\ln {k})^{i}\sum _{j=0}^{4}a_{i,j}Z^{j}{\biggr ]}}$

где параметры a _{i, j} представлены в таблице ниже. Эта формула является приближением полного сечения от гамма - квантов взаимодействия с веществом, для различных энергий (от 1 МэВ до 10 ГэВ, а именно 2 < к <20000) и гасителя атомным номером (от Z = 1 до 100).

Для области более низких энергий (<1 МэВ) уравнение Форнальского более сложно из-за большей изменчивости функций различных элементов . Следовательно, модифицированное уравнение ^[11]

${\displaystyle \sigma _{total}(E,Z)=\exp \sum _{i=0}^{6}{\biggl [}(\ln {E})^{i}\sum _{j=0}^{6}a_{i,j}Z^{j}{\biggr ]}}$

является хорошим приближением для энергий фотонов от 150 кэВ до 10 МэВ, где энергия фотона E дана в МэВ, а параметры a _{i, j} представлены в таблице ниже с гораздо большей точностью. Аналогично уравнение справедливо для всех Z от 1 до 100.

База данных сечений XCOM [ править ]

США Национальный институт стандартов и технологий опубликованы на линии ^[12] полная и подробная база данных сечений значений рентгеновского и гамма - взаимодействия с различными материалами в разных энергий. База данных, называемая XCOM, содержит также линейные и массовые коэффициенты затухания , которые полезны для практических приложений.

См. Также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• База данных XCOM

Ссылки [ править ]