В математике и , в частности, в математическом фоне теории струн , то Годдард-Thorn теорема (также называемая теорема не призрак ) является теорема , описывающая свойства функтора , что квантование бозонных струн . Он назван в честь Питера Годдарда и Чарльза Торна .
Название «теорема без призраков» происходит от того факта, что в исходной формулировке теоремы естественный внутренний продукт, индуцированный в выходном векторном пространстве, является положительно определенным. Таким образом, не было так называемых призраков ( привидений Паули – Вилларса ) или векторов отрицательной нормы. Название «теорема без призраков» также является игрой слов о запретной теореме квантовой механики.
Формализм
Есть два естественно изоморфных функтора, которые обычно используются для квантования бозонных струн. В обеих случаях одна начинается с положительной энергией представлений о алгебре Вирасоро центрального заряда 26, оснащенной вирасоровской-инвариантных билинейных формами и заканчивается с векторными пространствами оснащено билинейной формой. Здесь «Вирасоро-инвариант» означает, что L n сопряжена с L - n для всех целых чисел n .
Исторически первым функтором является «старое каноническое квантование», и он задается путем деления примарного подпространства веса 1 на радикал билинейной формы. Здесь «первичное подпространство» - это набор векторов, аннулируемых L n для всех строго положительных n , а «вес 1» означает, что L 0 действует по тождеству. Второй, естественно изоморфный функтор, задается BRST-когомологиями степени 1. Более старые трактовки BRST-когомологий часто имеют сдвиг в степени из-за изменения выбора BRST-заряда, поэтому можно увидеть когомологии степени −1/2 в статьях и текстах до 1995 года. Доказательство естественной изоморфности функторов может быть можно найти в разделе 4.4 текста теории струн Полчинского .
Теорема Годдарда – Торна сводится к утверждению, что этот функтор квантования более или менее отменяет сложение двух свободных бозонов, как предположил Лавлейс в 1971 году. Точное утверждение Лавлейса состояло в том, что при критической размерности 26 тождества Уорда типа Вирасоро сокращают два полных набора осцилляторов. Математически это следующее утверждение:
Пусть V - унитаризуемое представление Вирасоро центрального заряда 24 с инвариантной Вирасоро билинейной формой, и пусть π 1,1 λ - неприводимый модуль алгебры Ли Гейзенберга R 1,1, присоединенный к ненулевому вектору λ в R 1,1 . Тогда образ V ⊗ π 1,1 λ при квантовании канонически изоморфен подпространству V, на котором L 0 действует посредством 1- (λ, λ).
Свойство отсутствия призраков следует немедленно, поскольку положительно определенная эрмитова структура V передается изображению при квантовании.
Приложения
Функторы квантования бозонной струны, описанные здесь, могут быть применены к любой конформной вершинной алгебре с центральным зарядом 26, и результат, естественно, имеет структуру алгебры Ли. Затем теорему Годдарда – Торна можно применить для конкретного описания алгебры Ли в терминах алгебры входных вершин.
Пожалуй, самый показательный случай этого приложения Борчердс доказательства «S из Чудовищного Moonshine гипотезы, где унитаризуемое представление Вирасоро в Монстре вершинной алгебра (также называется„модуль Самогон“) , построенной по Френкелю, Lepowsky и Meurman. Взяв тензорное произведение с вершинной алгеброй, прикрепленной к гиперболической решетке ранга 2, и применив квантование, можно получить алгебру Ли-монстра , которая является обобщенной алгеброй Каца – Муди, градуированной решеткой. Используя теорему Годдарда – Торна, Борчердс показал, что однородные части алгебры Ли естественно изоморфны градуированным частям модуля Moonshine как представления простой группы монстров .
Более ранние приложения включают определение Френкелем верхних оценок кратностей корней алгебры Ли Каца-Муди, диаграмма Дынкина которой является решеткой Лича , и построение Борчердсом обобщенной алгебры Ли Каца-Муди, которая содержит алгебру Ли Френкеля и насыщает оценку Френкеля 1 / ∆ .
Рекомендации
- Борчердс, Ричард Э (1990). "Алгебра Ли чудовищ" . Успехи в математике . 83 (1): 30–47. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (90) 90067-ш . ISSN 0001-8708 .
- Борчердс, Ричард Э. (1992). "Чудовищный самогон и чудовищные супералгебры Ли" (PDF) . Inventiones Mathematicae . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 109 (1): 405–444. DOI : 10.1007 / bf01232032 . ISSN 0020-9910 . S2CID 16145482 .
- И. Френкель, Представления алгебр Каца-Муди и модели двойственного резонанса Приложения теории групп в теоретической физике, Лекция. Прил. Математика. 21 AMS (1985) 325–353.
- Goddard, P .; Торн, CB (1972). «Совместимость двойного померона с унитарностью и отсутствием духов в модели двойного резонанса» . Физика Письма Б . Elsevier BV. 40 (2): 235–238. DOI : 10.1016 / 0370-2693 (72) 90420-0 . ISSN 0370-2693 .
- Лавлейс, К. (1971). «Форм-факторы померона и двойные разрезы Редже». Физика Письма Б . Elsevier BV. 34 (6): 500–506. DOI : 10.1016 / 0370-2693 (71) 90665-4 . ISSN 0370-2693 .
- Полчинский, Джозеф (1998). Теория струн . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 95 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 11039–40. DOI : 10,1017 / cbo9780511816079 . ISBN 978-0-511-81607-9. PMC 33894 . PMID 9736684 .