Чудовищный самогон

В математике чудовищный самогон , или теория самогона , — это неожиданная связь между чудовищной группой М и модулярными функциями , в частности, функцией j . Этот термин был придуман Джоном Конвеем и Саймоном П. Нортоном в 1979 году.

Сейчас известно, что за монструозным самогоном скрывается алгебра вершинных операторов, называемая модулем самогона (или вершинной алгеброй монстров), построенная Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Мерманом в 1988 году, имеющая группу монстров в качестве симметрий . Эта алгебра вершинных операторов обычно интерпретируется как структура, лежащая в основе двумерной конформной теории поля , позволяющая физике сформировать мост между двумя математическими областями. Гипотезы, сделанные Конвеем и Нортоном, были доказаны Ричардом Борчердсом для самогонного модуля в 1992 году с использованием теоремы об отсутствии призраков из теории струн .теория вершинных операторных алгебр и обобщенных алгебр Каца–Муди .

В 1978 году Джон Маккей обнаружил, что первые несколько членов в разложении Фурье нормализованного J-инварианта (последовательность A014708 в OEIS ),

с и τ как отношение полупериодов можно было бы выразить через линейные комбинации размеров неприводимых представлений группы монстров M (последовательность A001379 в OEIS ) с малыми неотрицательными коэффициентами. Пусть = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... тогда, ${\ Displaystyle {д} = е ^ {2 \ пи я \ тау}}$ $r_{n}$ $r_{n}$

(Поскольку может быть несколько линейных отношений между такими, как , представление может быть более чем одним способом.) Маккей рассматривал это как свидетельство того, что существует естественное бесконечномерное градуированное представление M , градуированная размерность которого определяется коэффициенты J , и чьи части с меньшим весом разлагаются на неприводимые представления, как указано выше. После того, как он сообщил Джону Г. Томпсону об этом наблюдении, Томпсон предположил, что, поскольку градуированное измерение является просто градуированным следом единичного элемента , градуированные следы нетривиальных элементов g множества M $r_{n}$ $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ на таком представлении тоже может быть интересно.

Конвей и Нортон вычислили младшие члены таких градуированных трасс, теперь известных как ряды Маккея-Томпсона T _g , и обнаружили, что все они представляют собой разложения Hauptmoduln . Другими словами, если G _g — подгруппа группы SL ₂ ( R ) , фиксирующая T _g , то фактор верхней половины комплексной плоскости по G _g — это сфера с конечным числом удаленных точек, и, кроме того, T _g генерирует поле _мероморфные функции на этой сфере.