В математике , обобщенный Кац-Муди является алгеброй Ли , которая похожа на алгебру Каца-Муди , за исключением того, что разрешено иметь мнимые простые корни . Обобщенные Каца-Муди также иногда называют ГКМ алгебры , Борчердса-Каца-Муди , БКМ алгебры или Борчердса алгебры . Самый известный пример - алгебра Ли монстров .
Мотивация
Конечномерные полупростые алгебры Ли обладают следующими свойствами:
- Они имеют невырожденную симметрическую инвариантную билинейную форму (,).
- У них есть градуировка такая, что часть нулевой степени ( подалгебра Картана ) абелева.
- У них есть (картановская) инволюция w .
- ( a , w (a) ) положительно, если a не равно нулю.
Например, для алгебр n на n матриц нулевого следа билинейная форма имеет вид ( a , b ) = Trace ( ab ), инволюция Картана задается минус транспонирование, а градация может быть задана как «расстояние от диагональ », так что подалгебра Картана является диагональными элементами.
И наоборот, можно попытаться найти все алгебры Ли с этими свойствами (и удовлетворяющими некоторым другим техническим условиям). Ответ состоит в том, что можно получить суммы конечномерных и аффинных алгебр Ли .
В монстре алгебра Ли удовлетворяет несколько слабее версию из условий выше: ( , ш (а) ) положительно , если не равен нуль и имеет ненулевую степень , но может быть отрицательной , когда имеет нулевую степень. Алгебры Ли, удовлетворяющие этим более слабым условиям, являются более или менее обобщенными алгебрами Каца – Муди. По сути, они аналогичны алгебрам, задаваемым некоторыми генераторами и соотношениями (описанными ниже).
Неформально обобщенные алгебры Каца – Муди - это алгебры Ли, которые ведут себя как конечномерные полупростые алгебры Ли. В частности , они имеют группу Вейля , формула символов Вейля , подалгебра Картана , корни, веса, и так далее.
Определение
Симметризованная матрица Картана представляет собой (возможно, бесконечную) квадратную матрицу с элементами такой, что
- если
- является целым числом, если
Универсальная обобщенная алгебра Каца – Муди с заданной симметризованной матрицей Картана задается образующими а также а также и отношения
- если , 0 иначе
- ,
- для применения или же если
- если
Они отличаются от соотношений (симметризуемой) алгебры Каца – Муди главным образом тем, что позволяют диагональным элементам матрицы Картана быть неположительными. Другими словами, мы позволяем простым корням быть мнимыми, тогда как в алгебре Каца – Муди простые корни всегда действительны.
Обобщенная алгебра Каца – Муди получается из универсальной путем изменения матрицы Картана, операций уничтожения чего-либо в центре, или взятия центрального расширения , или добавления внешних производных .
Некоторые авторы дают более общее определение, удаляя условие симметричности матрицы Картана. Об этих несимметризуемых обобщенных алгебрах Каца – Муди известно немного, и, похоже, нет интересных примеров.
Также возможно распространить определение на супералгебры.
Состав
Обобщенную алгебру Каца – Муди можно градуировать, задавая e i степень 1, f i степень -1 и h i степень 0.
Часть нулевой степени - это абелева подалгебра, натянутая на элементы h i, и называется подалгеброй Картана .
Характеристики
Большинство свойств обобщенных алгебр Каца – Муди являются прямым расширением обычных свойств (симметризуемых) алгебр Каца – Муди.
- Обобщенная алгебра Каца – Муди имеет инвариантную симметрическую билинейную форму такую, что.
- Существует формула характера для модулей старшего веса , аналогичная формуле характера Вейля – Каца для алгебр Каца – Муди, за исключением того, что в ней есть поправочные члены для мнимых простых корней.
Примеры
Считается, что наиболее обобщенные алгебры Каца – Муди не имеют отличительных черт. Интересные бывают трех типов:
- Конечномерные полупростые алгебры Ли .
- Аффинные алгебры Каца – Муди
- Алгебры с лоренцевой подалгеброй Картана , знаменатель которой является автоморфной формой особого веса.
Кажется, что существует лишь конечное число примеров третьего типа. Двумя примерами являются алгебра Ли монстров , на которую действует группа монстров и которая используется в чудовищных гипотезах о самогоне, и фальшивая алгебра Ли монстров . Есть аналогичные примеры, связанные с некоторыми другими спорадическими простыми группами .
Можно найти множество примеров обобщенных алгебр Каца – Муди, используя следующий принцип: все, что выглядит как обобщенная алгебра Каца – Муди, является обобщенной алгеброй Каца – Муди. Точнее, если алгебра Ли градуирована лоренцевой решеткой, имеет инвариантную билинейную форму и удовлетворяет нескольким другим легко проверяемым техническим условиям, то это обобщенная алгебра Каца – Муди. В частности, можно использовать вершинные алгебры для построения алгебры Ли из любой четной решетки . Если решетка положительно определена, она дает конечномерную полупростую алгебру Ли, если она положительно полуопределена, она дает аффинную алгебру Ли, а если она лоренцева, она дает алгебру, удовлетворяющую указанным выше условиям, которая, следовательно, является обобщенной алгеброй Каца – Муди . Когда решетка является четной 26-мерной унимодулярной лоренцевой решеткой, конструкция дает фальшивую алгебру Ли монстра; все остальные лоренцевы решетки, кажется, дают неинтересные алгебры.
Рекомендации
- Кац, Виктор Г. (1994). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46693-8.
- Вакимото, Минору (2001). Бесконечномерные алгебры Ли . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2654-9.
- Рэй, Урми (2006). Автоморфные формы и супералгебры Ли . Дордрехт: Спрингер. ISBN 1-4020-5009-7.