Группа Лоренца
В физике и математике группа Лоренца — это группа всех преобразований Лоренца пространства - времени Минковского , классическая и квантовая установка для всех (не гравитационных) физических явлений . Группа Лоренца названа в честь голландского физика Хендрика Лоренца .
Группа Лоренца выражает фундаментальную симметрию пространства и времени всех известных основных законов природы . В физике общей теории относительности в случаях, связанных с достаточно малыми областями пространства-времени, где гравитационная дисперсия незначительна, физические законы инвариантны по Лоренцу так же, как и в физике специальной теории относительности.
Группа Лоренца является подгруппой группы Пуанкаре — группы всех изометрий пространства - времени Минковского . Преобразования Лоренца — это именно изометрии, которые оставляют начало координат фиксированным. Таким образом, группа Лоренца является подгруппой изотропии группы изометрии пространства-времени Минковского. По этой причине группу Лоренца иногда называют однородной группой Лоренца, а группу Пуанкаре иногда называют неоднородной группой Лоренца . Преобразования Лоренца являются примерами линейных преобразований ; общие изометрии пространства-времени Минковского являются аффинными преобразованиями. Математически группу Лоренца можно описать как неопределенную ортогональную группу O (1,3), матричную группу Ли , сохраняющую квадратичную форму
на R 4 . Эта квадратичная форма в матричной форме (см. классическую ортогональную группу ) интерпретируется в физике как метрический тензор пространства-времени Минковского.
Группа Лоренца — шестимерная некомпактная неабелева вещественная группа Ли , несвязная . Четыре связанных компонента не просто связаны . [1] Компонент идентичности (т. е. компонент, содержащий элемент идентичности) группы Лоренца сам по себе является группой и часто называется ограниченной группой Лоренца и обозначается SO + (1,3). Ограниченная группа Лоренца состоит из тех преобразований Лоренца, которые сохраняют ориентацию пространства и направление времени. Его фундаментальная группа имеет порядок 2, а его универсальное покрытие —неопределенная спиновая группа Spin(1,3) изоморфна как специальной линейной группе SL(2, C ), так и симплектической группе Sp(2, C ). Эти изоморфизмы позволяют группе Лоренца воздействовать на большое количество математических структур, важных для физики, в первую очередь на спиноры . Таким образом, в релятивистской квантовой механике и в квантовой теории поля очень часто SL(2, C ) называют группой Лоренца, понимая, что SO + (1,3) является ее конкретным представлением (векторным представлением). . Бикватернионы , популярные в геометрической алгебре, также изоморфны SL(2, C ).
Ограниченная группа Лоренца также возникает как точечная группа симметрии некоторого обыкновенного дифференциального уравнения . [ что? ]
