В математике , А группа Ли (произносится / л я / «Ли») представляет собой группу , которая также является дифференцируемое многообразие . Многообразие является пространством , которое локально напоминает евклидово пространства , в то время как группы определяют абстрактное, родовое понятие умножения и взятие обратных (деление). Комбинируя эти две идеи, мы получаем непрерывную группу, в которой точки можно перемножать и брать обратные. Если, кроме того, умножение и взятие обратных заданы гладкими (дифференцируемыми), получается группа Ли.
Группы Ли обеспечивают естественную модель концепции непрерывной симметрии , знаменитым примером которой является вращательная симметрия в трех измерениях (заданная специальной ортогональной группой ). Группы Ли широко используются во многих разделах современной математики и физики .
Группы Ли были впервые обнаружены при изучении матричных подгрупп содержалась в или же , группыобратимые матрицы над или же . Теперь их называют классическими группами , поскольку концепция расширилась далеко за пределы этих источников. Группы Ли названы в честь норвежского математика Софуса Ли (1842–1899), заложившего основы теории непрерывных групп преобразований . Первоначальная мотивация Ли для введения групп Ли заключалась в моделировании непрерывных симметрий дифференциальных уравнений во многом таким же образом, как конечные группы используются в теории Галуа для моделирования дискретных симметрий алгебраических уравнений .
Обзор
Группы Ли - это гладкие дифференцируемые многообразия, и поэтому их можно изучать с помощью дифференциального исчисления , в отличие от случая более общих топологических групп . Одна из ключевых идей теории групп Ли - заменить глобальный объект, группу, его локальной или линеаризованной версией, которую сам Ли назвал ее «бесконечно малой группой» и которая с тех пор стала известна как ее алгебра Ли .
Группы Ли играют огромную роль в современной геометрии на нескольких различных уровнях. Феликс Кляйн утверждал в своей программе на Эрлангене, что можно рассматривать различные «геометрии», задав соответствующую группу преобразований, которая оставляет определенные геометрические свойства неизменными . Таким образом, евклидова геометрия соответствует выбору группы E (3) сохраняющих расстояние преобразований евклидова пространства R 3 , конформная геометрия соответствует расширению группы до конформной группы , тогда как в проективной геометрии интересны свойства, инвариантные относительно проективная группа . Эта идея позже привела к понятию G-структуры , где G - группа Ли «локальных» симметрий многообразия.
Группы Ли (и связанные с ними алгебры Ли) играют важную роль в современной физике, причем группа Ли обычно играет роль симметрии физической системы. Здесь особенно важны представления группы Ли (или ее алгебры Ли ). Теория представлений широко используется в физике элементарных частиц . Группы, представления которых имеют особое значение, включают группу вращений SO (3) (или ее двойное накрытие SU (2) ), специальную унитарную группу SU (3) и группу Пуанкаре .
На «глобальном» уровне всякий раз, когда группа Ли действует на геометрический объект, такой как риманово или симплектическое многообразие , это действие обеспечивает меру жесткости и дает богатую алгебраическую структуру. Наличие непрерывных симметрий, выражаемых через действие группы Ли на многообразии, накладывает сильные ограничения на его геометрию и облегчает анализ на многообразии. Линейные действия групп Ли особенно важны и изучаются в теории представлений .
В 1940–1950 годах Эллис Колчин , Арман Борель и Клод Шевалле осознали, что многие основополагающие результаты, касающиеся групп Ли, могут быть развиты полностью алгебраически, что привело к теории алгебраических групп, определенных над произвольным полем . Это понимание открыло новые возможности в чистой алгебре, предоставив единообразную конструкцию для большинства конечных простых групп , а также в алгебраической геометрии . Теория автоморфных форм , важный раздел современной теории чисел , широко занимается аналогами групп Ли над кольцами аделей ; p -адические группы Ли играют важную роль благодаря их связи с представлениями Галуа в теории чисел.
Определения и примеры
Группа Ли является группой , которая также является конечно-мерным вещественным гладким многообразие , в котором группа операции умножения и инверсий являются гладкими отображениями . Гладкость группового умножения
означает , что μ является гладким отображением продукта коллектор G × G в G . Эти два требования можно объединить в одно требование, чтобы отображение
гладкое отображение многообразия продукта в G .
Первые примеры
- Действительные обратимые матрицы 2 × 2 образуют группу при умножении, обозначаемую GL (2, R ) или GL 2 ( R ):
- Это четырехмерная некомпактная вещественная группа Ли; это открытое подмножество . Эта группа отключена ; он имеет две компоненты связности, соответствующие положительному и отрицательному значениям определителя .
- Эти вращения матрица образует подгруппу из GL (2, R ) , обозначаемая SO (2, R ) . Это группа Ли в своем собственном праве: в частности, одномерная компактная связная группа Ли, диффеоморфен к кругу . Использование угла поворотав качестве параметра эту группу можно параметризовать следующим образом:
- Сложение углов соответствует умножению элементов SO (2, R ) , а взятие противоположного угла соответствует инверсии. Таким образом, и умножение, и инверсия являются дифференцируемыми отображениями.
- Аффинная группа одного измерения является двумерная матрица группа Ли, состоящая из вещественные верхнетреугольные матрицы, причем первый диагональный элемент положителен, а второй диагональный элемент равен 1. Таким образом, группа состоит из матриц вида
Не пример
Приведем теперь пример группы с несчетным числом элементов, не являющейся группой Ли при определенной топологии. Группа, предоставленная
с участием фиксированное иррациональное число , является подгруппой из тора это не группа Ли, если задана топология подпространства . [1] Если взять какой-нибудь небольшой район точки в , например, часть в отключен. Группамногократно наматывается вокруг тора, никогда не достигая предыдущей точки спирали и, таким образом, образует плотную подгруппу.
Группа однако можно задать другую топологию, в которой расстояние между двумя точками определяется как длина кратчайшего пути в группе присоединение к . В этой топологии гомеоморфно идентифицируется с действительной линией, отождествляя каждый элемент с номером в определении . В этой топологии представляет собой просто группу действительных чисел при сложении и, следовательно, является группой Ли.
Группа является примером незамкнутой « подгруппы Ли » группы Ли. См. Обсуждение подгрупп Ли ниже в разделе об основных понятиях.
Матричные группы Ли
Позволять обозначим группу обратимые матрицы с элементами в . Любая замкнутая подгруппа группыгруппа Ли; [2] Такие группы Ли называются матричными группами Ли. Поскольку большинство интересных примеров групп Ли могут быть реализованы в виде матричных групп Ли, некоторые учебники ограничивают внимание к этому классу, в том числе Холла [3] и Россмана. [4] Ограничение внимания матричными группами Ли упрощает определение алгебры Ли и экспоненциального отображения. Ниже приведены стандартные примеры матричных групп Ли.
- В специальных линейных групп над а также , а также , состоящий из матрицы с детерминантной единицей и элементами в или же
- В унитарных группах и специальные унитарные группы, а также , состоящий из комплексные матрицы, удовлетворяющие (а также в случае )
- В ортогональных группах и специальные ортогональные группы, а также , состоящий из вещественные матрицы, удовлетворяющие (а также в случае )
Все предыдущие примеры относятся к классическим группам .
Связанные понятия
Комплексная группа Ли определяется таким же образом , используя комплексные многообразия , а не настоящие (пример:), И аналогично, с использованием альтернативного метрики завершения из, можно определить p -адическую группу Ли над p -адическими числами , топологическую группу, в которой каждая точка имеет p -адическую окрестность.
Пятая проблема Гильберта спрашивала, может ли замена дифференцируемых многообразий топологическими или аналитическими многообразиями дать новые примеры. Ответ на этот вопрос оказался отрицательным: в 1952 году Глисон , Монтгомери и Зиппин показали, что если G - топологическое многообразие с непрерывными групповыми операциями, то существует ровно одна аналитическая структура на G, которая превращает его в группу Ли (см. также гипотеза Гильберта – Смита ). Если базовое многообразие может быть бесконечномерным (например, гильбертово многообразие ), то мы приходим к понятию бесконечномерной группы Ли. Можно определить аналоги многих групп Ли над конечными полями , и они дают большинство примеров конечных простых групп .
Язык теории категорий дает краткое определение групп Ли: группа Ли - это групповой объект в категории гладких многообразий. Это важно, поскольку позволяет обобщить понятие группы Ли на супергруппы Ли .
Топологическое определение
Группа Ли может быть определена как ( хаусдорфова ) топологическая группа, которая рядом с единичным элементом выглядит как группа преобразований без ссылки на дифференцируемые многообразия. [5] Сначала мы определяем иммерслинейную группу Ли как подгруппу G полной линейной группы такой, что
- для некоторой окрестности V единичного элемента e в G топология на V является топологией подпространстваи V замкнуто в.
- G имеет не более чем счетное число компонент связности.
(Например, замкнутая подгруппа группы ; то есть матричная группа Ли удовлетворяет указанным выше условиям.)
Тогда группа Ли определяется как топологическая группа, которая (1) локально изоморфна вблизи тождеств погруженно линейной группе Ли и (2) имеет не более чем счетное число компонент связности. Отображение топологического определения эквивалентно обычному техническому (и начинающим читателям следует пропустить следующее), но выполняется примерно следующим образом:
- Для группы Ли G в обычном смысле многообразия соответствие группы Ли и алгебры Ли (или версия третьей теоремы Ли ) строит погруженную подгруппу Ли такой, что разделяют одну и ту же алгебру Ли; таким образом, они локально изоморфны. Следовательно, G удовлетворяет приведенному выше топологическому определению.
- Наоборот, пусть G - топологическая группа, которая является группой Ли в указанном выше топологическом смысле, и выберем иммерслинейную группу Личто локально изоморфна G . Тогда, по версии теоремы замкнутой подгруппы ,является вещественно-аналитическим многообразием, и тогда благодаря локальному изоморфизму G приобретает структуру многообразия вблизи единицы. Затем показано, что групповой закон на G может быть задан формальными степенными рядами; [6], поэтому групповые операции являются вещественно-аналитическими, а сама G является вещественно-аналитическим многообразием.
Из топологического определения следует утверждение, что если две группы Ли изоморфны как топологические группы, то они изоморфны как группы Ли. Фактически, он устанавливает общий принцип, согласно которому топология группы Ли вместе с групповым законом в значительной степени определяет геометрию группы.
Еще примеры групп Ли
Группы лжи в изобилии встречаются в математике и физике. Группы матриц или алгебраические группы представляют собой (грубо) группы матриц (например, ортогональные и симплектические группы ), и они дают наиболее общие примеры групп Ли.
Размеры один и два
Единственные связанные группы Ли размерности один - это вещественная линия (с групповой операцией сложение) и круговой группой комплексных чисел с абсолютным значением единица (с групповой операцией умножения). В группа часто обозначается как , группа унитарные матрицы.
В двух измерениях, если ограничиться односвязными группами, они классифицируются по их алгебрам Ли. Есть (с точностью до изоморфизма) только две алгебры Ли размерности два. Ассоциированные односвязные группы Ли: (с групповой операцией сложения вектора) и аффинной группой в размерности один, описанной в предыдущем подразделе в разделе «Первые примеры».
Дополнительные примеры
- Группа SU (2) является группой унитарные матрицы с определителем . Топологически, это -сфера ; как группу, ее можно отождествить с группой единичных кватернионов .
- Группа Гейзенберга - это связная нильпотентная группа Ли размерности, играющая ключевую роль в квантовой механике .
- Группа Лоренца представляет собой 6-мерная группа Ли линейных изометрии в пространстве Минковского .
- Группа Пуанкаре - это 10-мерная группа Ли аффинных изометрий пространства Минковского.
- В исключительных групп Ли типов G 2 , F 4 , Е 6 , Е 7 , E 8 имеют размеры 14, 52, 78, 133 и 248. Наряду с ABCD серии простых групп Ли , исключительные группы дополняют список простые группы Ли.
- Симплектическая группа состоит из всех матрицы, сохраняющие симплектическую форму на. Это связная группа Ли размерности.
Конструкции
Есть несколько стандартных способов сформировать новые группы Ли из старых:
- Произведение двух групп Ли - это группа Ли.
- Любая топологически замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли. Это известно как теорема о замкнутой подгруппе или теорема Картана .
- Фактор группы Ли по замкнутой нормальной подгруппе является группой Ли.
- Универсальной накрывающей связной группы Ли является группой Ли. Например, группа универсальная крышка группы кругов . Фактически любое покрытие дифференцируемого многообразия также является дифференцируемым многообразием, но, задав универсальное покрытие, гарантируется групповая структура (совместимая с другими ее структурами).
Связанные понятия
Вот некоторые примеры групп, которые не являются группами Ли (за исключением того тривиального смысла, что любая группа, имеющая не более чем счетное число элементов, может рассматриваться как 0-мерная группа Ли с дискретной топологией ):
- Бесконечномерные группы, такие как аддитивная группа бесконечномерного реального векторного пространства или пространство гладких функций из многообразия группе Ли , . Это не группы Ли, поскольку они не являются конечномерными многообразиями.
- Некоторые полностью несвязные группы , такие как группа Галуа бесконечного расширения полей или аддитивная группа p -адических чисел. Это не группы Ли, поскольку лежащие в их основе пространства не являются вещественными многообразиями. (Некоторые из этих групп являются « p -адическими группами Ли».) В общем, только топологические группы, имеющие подобные локальные свойства с R n для некоторого положительного целого числа n, могут быть группами Ли (конечно, они также должны иметь дифференцируемую структуру).
Основные понятия
Алгебра Ли, ассоциированная с группой Ли
С каждой группой Ли мы можем связать алгебру Ли, основное векторное пространство которой является касательным пространством группы Ли в единичном элементе и которое полностью отражает локальную структуру группы. Неформально мы можем думать об элементах алгебры Ли как об элементах группы, которые « бесконечно близки» к единице, а скобка Ли алгебры Ли связана с коммутатором двух таких бесконечно малых элементов. Прежде чем дать абстрактное определение, приведем несколько примеров:
- Алгебра Ли векторного пространства R n - это просто R n со скобкой Ли, заданной формулой
[ A , B ] = 0.
(В общем случае скобка Ли связной группы Ли всегда равна 0 тогда и только тогда, когда группа Ли абелева .) - Алгебра Ли общей линейной группы обратимых матриц GL ( n , C ) - это векторное пространство M ( n , C ) квадратных матриц со скобкой Ли, заданной формулой
[ A , B ] = AB - BA . - Если G - замкнутая подгруппа группы GL ( n , C ), то алгебру Ли группы G можно неформально рассматривать как матрицы m группы M ( n , R ) такие, что 1 + ε m находится в G , где ε бесконечно малая положительное число с ε 2 = 0 (разумеется, такого действительного числа ε не существует). Например, ортогональная группа O ( n , R ) состоит из матриц A с AA T = 1, поэтому алгебра Ли состоит из матриц m с (1 + ε m ) (1 + ε m ) T = 1, что является эквивалентно m + m T = 0, поскольку ε 2 = 0.
- Предыдущее описание можно сделать более строгим следующим образом. Алгебра Ли замкнутой подгруппы G группы GL ( n , C ) может быть вычислена как
- [7] [3] где exp ( tX ) определяется с помощью матричной экспоненты . Тогда можно показать, что алгебра Ли группы G является вещественным векторным пространством, которое замкнуто относительно операции скобок, . [8]
С конкретным определением, данным выше для матричных групп, легко работать, но с ним связаны некоторые незначительные проблемы: для его использования нам сначала нужно представить группу Ли как группу матриц, но не все группы Ли могут быть представлены таким образом, и даже не очевидно, что алгебра Ли не зависит от используемого представления. [9] Чтобы обойти эти проблемы, дадим общее определение алгебры Ли группы Ли (за 4 шага):
- Векторные поля на любом гладком многообразии M можно рассматривать как производные X кольца гладких функций на многообразии, и поэтому они образуют алгебру Ли под скобкой Ли [ X , Y ] = XY - YX , поскольку скобка Ли любого два вывода - это вывод.
- Если G - любая группа, гладко действующая на многообразии M , то она действует на векторные поля, и векторное пространство векторных полей, фиксируемых группой, замкнуто относительно скобки Ли и, следовательно, также образует алгебру Ли.
- Мы применяем эту конструкцию к случаю, когда многообразие M является основным пространством группы Ли G , причем G действует на G = M левыми сдвигами L g ( h ) = gh . Это показывает, что пространство левоинвариантных векторных полей (векторных полей, удовлетворяющих L g * X h = X gh для каждого h в G , где L g * обозначает дифференциал L g ) на группе Ли является алгеброй Ли относительно алгебры Ли скобка векторных полей.
- Любой касательный вектор в единице группы Ли может быть расширен до левоинвариантного векторного поля, переводя касательный вектор в другие точки многообразия. В частности, левоинвариантное расширение элемента v касательного пространства в единице является векторным полем, определяемым формулой v ^ g = L g * v . Это отождествляет касательное пространство T e G в единице с пространством левоинвариантных векторных полей и, следовательно, превращает касательное пространство в единице в алгебру Ли, называемую алгеброй Ли группы G , обычно обозначаемой Fraktur Таким образом, скобка Ли на явно задается формулой [ v , w ] = [ v ^, w ^] e .
Эта алгебра Ли конечномерен и она имеет ту же размерность многообразия G . Алгебра Ли группы G определяет группу G с точностью до «локального изоморфизма», при этом две группы Ли называются локально изоморфными, если они выглядят одинаково рядом с единичным элементом. Проблемы о группах Ли часто решаются, сначала решая соответствующую задачу для алгебр Ли, и затем результат для групп обычно легко следует. Например, простые группы Ли обычно классифицируют, сначала классифицируя соответствующие алгебры Ли.
Мы также могли бы определить структуру алгебры Ли на T e, используя правые инвариантные векторные поля вместо левоинвариантных векторных полей. Это приводит к той же алгебре Ли, потому что обратное отображение на G может использоваться для отождествления левоинвариантных векторных полей с правыми инвариантными векторными полями и действует как −1 в касательном пространстве T e .
Структуру алгебры Ли на T e также можно описать следующим образом: операция коммутатора
- ( x , y ) → xyx −1 y −1
на G × G посылает ( е , е ) для е , так что его производных дает билинейная операция на Т е G . Эта билинейная операция на самом деле является нулевым отображением, но вторая производная при надлежащей идентификации касательных пространств дает операцию, которая удовлетворяет аксиомам скобки Ли , и она равна удвоенному значению, определенному с помощью левоинвариантных векторных полей.
Гомоморфизмы и изоморфизмы
Если G и H группы Ли, то гомоморфизм групп Ли f : G → H является гладким гомоморфизмом групп . В случае комплексных групп Ли требуется, чтобы такой гомоморфизм был голоморфным отображением . Однако эти требования немного жесткие; любой непрерывный гомоморфизм между действительными группами Ли оказывается (действительным) аналитическим . [10]
Композиция двух гомоморфизмов Ли снова является гомоморфизмом, и класс всех групп Ли вместе с этими морфизмами образует категорию . Более того, каждый гомоморфизм групп Ли индуцирует гомоморфизм между соответствующими алгебрами Ли. Позволять - гомоморфизм групп Ли и пусть быть его производной в тождестве. Если мы отождествим алгебры Ли групп G и H с их касательными пространствами в единичных элементах, то является отображением соответствующих алгебр Ли:
Можно показать, что на самом деле является гомоморфизмом алгебр Ли (что означает, что это линейное отображение, сохраняющее скобку Ли ). На языке теории категорий тогда у нас есть ковариантный функтор из категории групп Ли в категорию алгебр Ли, который переводит группу Ли в ее алгебру Ли, а гомоморфизм групп Ли - в ее производную в единице.
Две группы Ли называются изоморфными, если между ними существует биективный гомоморфизм, обратный которому также является гомоморфизмом групп Ли. Эквивалентно, это диффеоморфизм, который также является гомоморфизмом групп.
Группа Ли против изоморфизмов алгебры Ли
Изоморфные группы Ли обязательно имеют изоморфные алгебры Ли; тогда разумно спросить, как классы изоморфизма групп Ли связаны с классами изоморфизма алгебр Ли.
Первым результатом в этом направлении является третья теорема Ли , которая утверждает, что всякая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой (линейной) группы Ли. Один из способов доказать третью теорему Ли - использовать теорему Адо, согласно которой любая конечномерная вещественная алгебра Ли изоморфна матричной алгебре Ли. Между тем, для каждой конечномерной матричной алгебры Ли существует линейная группа (матричная группа Ли) с этой алгеброй в качестве алгебры Ли. [11]
С другой стороны, группы Ли с изоморфными алгебрами Ли могут не быть изоморфными. Более того, этот результат остается верным, даже если мы предполагаем, что группы связаны. Иными словами, глобальная структура группы Ли не определяется ее алгеброй Ли; например, если Z - любая дискретная подгруппа центра группы G, то G и G / Z имеют одну и ту же алгебру Ли ( примеры см. в таблице групп Ли ). Примером важности в физике являются группы SU (2) и SO (3) . Эти две группы имеют изоморфные алгебры Ли [12], но сами группы не изоморфны, потому что SU (2) односвязен, а SO (3) нет. [13]
С другой стороны, если мы потребуем, чтобы группа Ли была односвязной , то глобальная структура определяется ее алгеброй Ли: две односвязные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли изоморфны. [14] (Дополнительную информацию об односвязных группах Ли см. В следующем подразделе.) В свете третьей теоремы Ли мы можем поэтому сказать, что существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизмов конечномерных вещественных алгебр Ли и классы изоморфизма односвязных групп Ли.
Односвязные группы Ли
Группа Ли называется односвязным, если каждый цикл в можно непрерывно сжимать до точки в . Это понятие важно из-за следующего результата, гипотезой которого является простая связность:
- Теорема : [15] Предположим, а также группы Ли с алгебрами Ли а также и это является гомоморфизмом алгебр Ли. Если односвязно, то существует единственный гомоморфизм групп Ли такой, что , где это дифференциал при удостоверении.
Третья теорема Ли утверждает, что всякая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли группы Ли. Из третьей теоремы Ли и предыдущего результата следует, что всякая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли единственной односвязной группы Ли.
Примером односвязной группы является специальная унитарная группа SU (2) , которая как многообразие является 3-сферой. С другой стороны, группа вращений SO (3) не является односвязной. (См. Топологию SO (3) .) Неспособность SO (3) быть односвязной тесно связана с различием между целочисленным спином и полуцелым спином в квантовой механике. Другие примеры односвязных групп Ли включают специальную унитарную группу SU (n) , спиновую группу (двойное покрытие группы вращений) Spin (n) для, и компактная симплектическая группа Sp (n) . [16]
Методы определения односвязности группы Ли обсуждаются в статье о фундаментальных группах групп Ли .
Экспоненциальная карта
Экспоненциальное отображение из алгебры Лиот общей линейной группы к определяется экспоненциальной матрицей , задаваемой обычным степенным рядом:
для матриц . Если замкнутая подгруппа в , то экспоненциальное отображение преобразует алгебру Ли в ; таким образом, у нас есть экспоненциальное отображение для всех групп матриц. Каждый элементдостаточно близкая к единице, является экспонентой матрицы алгебры Ли. [17]
Приведенное выше определение легко использовать, но оно не определено для групп Ли, которые не являются матричными группами, и неясно, что экспоненциальное отображение группы Ли не зависит от ее представления в виде матричной группы. Мы можем решить обе проблемы, используя более абстрактное определение экспоненциального отображения, которое работает для всех групп Ли, следующим образом.
Для каждого вектора в алгебре Ли из (т.е. касательное пространство к в тождестве), доказывается, что существует единственная однопараметрическая подгруппа такой, что . Говоря это однопараметрическая подгруппа означает просто, что это плавное отображение в и это
для всех а также . Операция справа - это групповое умножение в. Формальное сходство этой формулы с той, которая действительна для экспоненциальной функции, оправдывает определение
Это называется экспоненциальным отображением , и оно отображает алгебру Ли в группу Ли . Он обеспечивает диффеоморфизм между окрестностью 0 в и окрестности в . Это экспоненциальное отображение является обобщением экспоненциальной функции для действительных чисел (посколькуявляется алгеброй Ли группы Ли положительных действительных чисел с умножением) для комплексных чисел (посколькуявляется алгеброй Ли группы Ли ненулевых комплексных чисел с умножением) и для матриц (поскольку с регулярным коммутатором - это алгебра Ли группы Ли всех обратимых матриц).
Поскольку экспоненциальное отображение сюръективно в некоторой окрестности из , элементы алгебры Ли принято называть инфинитезимальными образующими группы. Подгруппа создан компонент идентичности .
Экспоненциальное отображение и алгебра Ли определяют структуру локальной группы каждой связной группы Ли благодаря формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа : существует окрестность нулевого элемента , такое, что для у нас есть
где пропущенные термины известны и включают скобки Ли из четырех или более элементов. В случае а также коммутируют, эта формула сводится к знакомому экспоненциальному закону
Экспоненциальное отображение связывает гомоморфизмы групп Ли. То есть, если является гомоморфизмом групп Ли и индуцированное отображение на соответствующих алгебрах Ли, то для всех у нас есть
Другими словами, следующая диаграмма коммутирует , [Примечание 1]
(Короче говоря, exp - естественное преобразование функтора Ли в тождественный функтор в категории групп Ли.)
Экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группу Ли не всегда на , даже если группа связна (хотя она действительно отображается на группу Ли для связных групп, которые либо компактны, либо нильпотентны). Например, экспоненциальное отображение SL (2, R ) не сюръективно. Кроме того, экспоненциальное отображение не является ни сюръективным, ни инъективным для бесконечномерных (см. Ниже) групп Ли, смоделированных на пространстве Фреше C ∞ , даже из произвольной малой окрестности 0 в соответствующую окрестность 1.
Подгруппа Ли
Подгруппа Ли группы Ли является группой Ли , которая является подмножеством изи такая, что отображение включения из к является инъективным погружением и гомоморфизмом групп . Согласно теореме Картана замкнутая подгруппа группыдопускает уникальную гладкую структуру, которая делает его вложенной подгруппой Ли группы- т. Е. Подгруппа Ли такая, что отображение включения является гладким вложением.
Примеры незамкнутых подгрупп многочисленны; например взять быть тором размерности 2 или больше, и пусть быть однопараметрической подгруппой из иррационального угла наклона , то есть один , который обвивает в G . Тогда существует гомоморфизм групп Ли с участием . Замыкание в будет подтором в .
Экспоненциальное отображение дает взаимно однозначное соответствие одному между связными подгруппами Ли связной группы Ли и подалгебры алгебры Ли . [18] Обычно подгруппа, соответствующая подалгебре, не является замкнутой подгруппой. Не существует критерия, основанного исключительно на структуре который определяет, какие подалгебры соответствуют замкнутым подгруппам.
Представления
Одним из важных аспектов изучения групп Ли является их представление, то есть то, как они могут действовать (линейно) в векторных пространствах. В физике группы Ли часто кодируют симметрии физической системы. Способ использования этой симметрии для анализа системы часто основан на теории представлений. Рассмотрим, например, не зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике:. Предположим, что рассматриваемая система имеет группу вращений SO (3) в качестве симметрии, что означает, что оператор Гамильтона коммутирует с действием SO (3) на волновую функцию . (Одним из важных примеров такой системы является атом водорода , который имеет единственную сферическую орбиталь.) Это предположение не обязательно означает, что решенияявляются вращательно-инвариантными функциями. Скорее, это означает, что пространство решений инвариантен относительно поворотов (для каждого фиксированного значения ). Следовательно, это пространство представляет собой представление SO (3). Эти представления были классифицированы, и классификация приводит к существенному упрощению проблемы , по существу преобразовывая трехмерное уравнение в частных производных в одномерное обыкновенное дифференциальное уравнение.
Случай связной компактной группы Ли K (включая только что упомянутый случай SO (3)) особенно разрешим. [19] В этом случае любое конечномерное представление K распадается как прямая сумма неприводимых представлений. Неприводимые представления, в свою очередь, были классифицированы Германом Вейлем . Классификация проводится по «наивысшему весу» представительства. Классификация тесно связана с классификацией представлений полупростой алгебры Ли .
Можно также изучать (в общем случае бесконечномерные) унитарные представления произвольной группы Ли (не обязательно компактной). Например, можно дать относительно простое явное описание представлений группы SL (2, R) и представлений группы Пуанкаре .
Ранняя история
Согласно наиболее авторитетному источнику по ранней истории групп Ли (Хокинс, стр. 1), Софус Ли сам считал зиму 1873–1874 годов датой рождения своей теории непрерывных групп. Хокинс, однако, предполагает, что именно «колоссальная исследовательская деятельность Ли в течение четырехлетнего периода с осени 1869 года по осень 1873 года» привела к созданию теории ( там же ). Некоторые из ранних идей Ли были разработаны в тесном сотрудничестве с Феликсом Кляйном . Ли встречался с Кляйном каждый день с октября 1869 по 1872 год: в Берлине с конца октября 1869 года до конца февраля 1870 года, а в последующие два года в Париже, Геттингене и Эрлангене ( там же , стр. 2). Ли заявил, что все основные результаты были получены к 1884 году. Но в течение 1870-х годов все его статьи (кроме самой первой заметки) были опубликованы в норвежских журналах, что препятствовало признанию работы во всей остальной Европе ( там же , с. 76). ). В 1884 году молодой немецкий математик Фридрих Энгель приехал работать с Ли над систематическим трактатом, раскрывающим его теорию непрерывных групп. Результатом этих усилий явился трехтомный Theorie der Transformationsgruppen , опубликованный в 1888, 1890 и 1893 годах. Термин группы де Ли впервые появился на французском языке в 1893 году в диссертации ученика Ли Артура Тресса. [20]
Идеи Ли не стояли изолированно от остальной математики. Фактически, его интерес к геометрии дифференциальных уравнений был сначала мотивирован работой Карла Густава Якоби по теории уравнений в частных производных первого порядка и по уравнениям классической механики . Большая часть работ Якоби была опубликована посмертно в 1860-х годах, вызвав огромный интерес во Франции и Германии (Хокинс, стр. 43). Идея фиксации Ли заключалась в том, чтобы разработать теорию симметрий дифференциальных уравнений, которая осуществила бы для них то, что Эварист Галуа сделал для алгебраических уравнений: а именно, классифицировал их в терминах теории групп. Ли и другие математики показали, что наиболее важные уравнения для специальных функций и ортогональных многочленов обычно возникают из теоретико-групповых симметрий. В ранней работе Ли идея заключалась в том, чтобы построить теорию непрерывных групп , чтобы дополнить теорию дискретных групп , разработанную в теории модулярных форм в руках Феликса Клейна и Анри Пуанкаре . Первоначальное приложение, которое имел в виду Ли, было к теории дифференциальных уравнений . На модели теории Галуа и полиномиальных уравнений движущей концепцией была теория, способная объединить посредством изучения симметрии всю область обыкновенных дифференциальных уравнений . Однако надежда на то, что теория Ли объединит всю область обыкновенных дифференциальных уравнений, не оправдалась. Методы симметрии для ОДУ продолжают изучаться, но не доминируют в этой теме. Существует дифференциальная теория Галуа , но она была разработана другими, такими как Пикар и Вессио, и обеспечивает теорию квадратур , неопределенных интегралов, необходимых для выражения решений.
Дополнительным стимулом к рассмотрению непрерывных групп послужили идеи Бернхарда Римана об основах геометрии и их дальнейшее развитие в руках Клейна. Таким образом, при создании своей новой теории Ли объединил три основные темы математики XIX века: идея симметрии, как это проиллюстрировал Галуа через алгебраическое понятие группы ; геометрическая теория и явные решения дифференциальных уравнений механики, разработанные Пуассоном и Якоби; и новое понимание геометрии, которое появилось в работах Плюккера , Мёбиуса , Грассмана и других и привело к революционному видению Римана предмета.
Хотя сегодня Софус Ли по праву признан создателем теории непрерывных групп, большой шаг в развитии теории их структуры, которая должна была оказать глубокое влияние на последующее развитие математики, был сделан Вильгельмом Киллингом , который в 1888 г. опубликовал первую статью из серии под названием Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( Состав непрерывных групп конечных преобразований ) (Хокинс, стр. 100). Работа Киллинга, позже уточненная и обобщенная Эли Картаном , привела к классификации полупростых алгебр Ли , теории симметрических пространств Картана и описанию Германом Вейлем представлений компактных и полупростых групп Ли с использованием старших весов .
В 1900 году Давид Гильберт бросил вызов теоретикам лжи своей Пятой проблемой, представленной на Международном конгрессе математиков в Париже.
Вейль положил начало раннему периоду развития теории групп Ли, поскольку он не только классифицировал неприводимые представления полупростых групп Ли и связал теорию групп с квантовой механикой, но и поставил на более прочную основу саму теорию Ли. четко обозначив различие между инфинитезимальными группами Ли (т. е. алгебрами Ли) и собственно группами Ли, и начал исследования топологии групп Ли. [21] Теория групп Ли была систематически переработана современным математическим языком в монографии Клода Шевалле .
Понятие группы Ли и возможности классификации
Группы Ли можно рассматривать как гладко меняющиеся семейства симметрий. Примеры симметрии включают вращение вокруг оси. Что необходимо понять, так это природу «малых» преобразований, например, поворотов на крошечные углы, которые связывают близлежащие преобразования. Математический объект, фиксирующий эту структуру, называется алгеброй Ли ( сам Ли называл их «бесконечно малыми группами»). Его можно определить, потому что группы Ли являются гладкими многообразиями, поэтому в каждой точке есть касательные пространства .
Алгебра Ли любой компактной группы Ли (очень грубо: один для которых симметрии образуют ограниченное множество) можно разложить в прямую сумму в качестве абелевой алгебры Ли и некоторое количество простых из них. Структура абелевой алгебры Ли математически неинтересна (поскольку скобка Ли тождественно равна нулю); интерес к простым слагаемым. Отсюда возникает вопрос: что такое простые алгебры Ли компактных групп? Оказывается, они в основном делятся на четыре бесконечных семейства, «классические алгебры Ли» A n , B n , C n и D n , которые имеют простое описание в терминах симметрий евклидова пространства. Но есть также всего пять «исключительных алгебр Ли», которые не попадают ни в одно из этих семейств. E 8 - самый большой из них.
Группы Ли классифицируются в соответствии с их алгебраическими свойствами ( простые , полупростые , разрешимые , нильпотентные , абелевы ), их связностью ( связной или односвязной ) и компактностью .
Первым ключевым результатом является разложение Леви , согласно которому каждая односвязная группа Ли является полупрямым произведением разрешимой нормальной подгруппы и полупростой подгруппы.
- Связные компактные группы Ли известны: они являются конечными центральными факторами произведения копий группы окружности S 1 и простых компактных групп Ли (которые соответствуют связным диаграммам Дынкина ).
- Любая односвязная разрешимая группа Ли изоморфна замкнутой подгруппе группы обратимых верхнетреугольных матриц некоторого ранга, и любое конечномерное неприводимое представление такой группы одномерно. Решаемые группы слишком беспорядочные, чтобы их можно было классифицировать, за исключением нескольких небольших измерений.
- Любая односвязная нильпотентная группа Ли изоморфна замкнутой подгруппе группы обратимых верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали некоторого ранга, и любое конечномерное неприводимое представление такой группы одномерно. Подобно разрешимым группам, нильпотентные группы слишком беспорядочные, чтобы их можно было классифицировать, за исключением нескольких небольших измерений.
- Простые группы Ли иногда определяются как те, которые являются простыми как абстрактные группы, а иногда определяются как связанные группы Ли с простой алгеброй Ли. Например, SL (2, R ) прост в соответствии со вторым определением, но не в соответствии с первым. Все они классифицированы (по любому определению).
- Полупростые группы Ли - это группы Ли, алгебра Ли которых является произведением простых алгебр Ли. [22] Они являются центральными расширениями произведений простых групп Ли.
Компонент единицы любой группы Ли - это открытая нормальная подгруппа , а фактор-группа - дискретная группа . Универсальное покрытие любой связной группы Ли является односвязной группой Ли, и, наоборот, любая связная группа Ли является фактор-группой односвязной группы Ли по дискретной нормальной подгруппе центра. Любая группа Ли G может быть разложена на дискретные, простые и абелевы группы каноническим способом следующим образом. Писать
- G con для связной компоненты тождества
- G sol для наибольшей связной нормальной разрешимой подгруппы
- G nil для наибольшей связной нормальной нильпотентной подгруппы
так что у нас есть последовательность нормальных подгрупп
- 1 ⊆ G ноль ⊆ G Золь ⊆ G кон ⊆ G .
потом
- G / G con дискретный
- G con / G sol является центральным расширением произведения простых связных групп Ли .
- G sol / G nil абелева. Связная абелева группа Ли изоморфна произведению копий R и группы окружностей S 1 .
- G nil / 1 нильпотентна, поэтому ее восходящий центральный ряд имеет все фактор-абелевы.
Это можно использовать, чтобы свести некоторые проблемы, связанные с группами Ли (например, поиск их унитарных представлений), к тем же проблемам для связанных простых групп и нильпотентных и разрешимых подгрупп меньшей размерности.
- Группа диффеоморфизмов группы Ли действует транзитивно на группе Ли
- Каждая группа Ли параллелизуема и, следовательно, является ориентируемым многообразием (существует изоморфизм расслоения между ее касательным расслоением и произведением самого себя с касательным пространством в единице)
Бесконечномерные группы Ли
Группы Ли часто определяют как конечномерные, но есть много групп, которые напоминают группы Ли, за исключением того, что они бесконечномерны. Самый простой способ определить бесконечномерные группы Ли - смоделировать их локально на банаховых пространствах (в отличие от евклидова пространства в конечномерном случае), и в этом случае большая часть основной теории аналогична теории конечномерной Ли. группы. Однако для многих приложений этого недостаточно, поскольку многие естественные примеры бесконечномерных групп Ли не являются банаховыми многообразиями. Вместо этого необходимо определить группы Ли, смоделированные на более общих локально выпуклых топологических векторных пространствах. В этом случае связь между алгеброй Ли и группой Ли становится довольно тонкой, и некоторые результаты о конечномерных группах Ли теряют силу.
Литература не совсем едина в своей терминологии относительно того, какие именно свойства бесконечномерных групп квалифицируют группу для префикса Ли в группе Ли . Со стороны алгебры Ли дела обстоят проще, поскольку квалификационные критерии для префикса Lie в алгебре Ли являются чисто алгебраическими. Например, бесконечномерная алгебра Ли может иметь или не иметь соответствующую группу Ли. То есть может существовать группа, соответствующая алгебре Ли, но она может быть недостаточно хорошей, чтобы называться группой Ли, или связь между группой и алгеброй Ли может быть недостаточно хорошей (например, отказ экспоненциальное отображение на окрестность единицы). Это «достаточно хорошее», которое не определяется универсально.
Некоторые из изученных примеров включают:
- Группа диффеоморфизмов многообразия. О группе диффеоморфизмов окружности известно довольно много. Ее алгебра Ли (более или менее) алгебра Витта , которой центральное расширение в алгебру Вирасоро (см Вирасоро от Witt алгебры для вывода этого факта) является алгебра симметрии двумерной конформной теории поля . Группы диффеоморфизмов компактных многообразий большей размерности являются регулярными группами Фреше Ли ; об их структуре известно очень мало.
- Группа диффеоморфизмов пространства-времени иногда появляется при попытках квантовать гравитацию.
- Группа гладких отображений из многообразия к конечномерной группе Ли пример калибровочной группы (с операцией поточечного умножения ), и используется в квантовой теории поля и теории Donaldson . Если многообразие является окружностью, они называются группами петель и имеют центральные расширения, алгебры Ли которых являются (более или менее) алгебрами Каца – Муди .
- Существуют бесконечномерные аналоги общих линейных групп, ортогональных групп и т. Д. [23] Одним из важных аспектов является то, что они могут иметь более простые топологические свойства: см., Например , теорему Койпера . В M-теории , например, 10-мерная калибровочная теория SU (N) становится 11-мерной теорией, когда N становится бесконечным.
Смотрите также
- Присоединенное представление группы Ли
- Компактная группа
- Мера Хаара
- Однородное пространство
- Алгебра Ли
- Список тем группы Ли
- Представления групп Ли
- Симметрия в квантовой механике
Заметки
Заметки с пояснениями
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 28 сентября 2011 года . Проверено 11 октября 2014 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
Цитаты
- ^ Rossmann 2001 , глава 2.
- ^ Холл 2015 Следствие 3.45
- ^ а б Зал 2015
- ^ Россманн 2001
- ^ Т. Кобаяши – Т. Осима , Определение 5.3.
- ^ Это утверждение, что группа Ли является формальной группой Ли . Относительно последней концепции см. Ф. Брюа, Лекции по группам Ли и представлениям локально компактных групп .
- ^ Helgason 1978 , гл. II, § 2, предложение 2.7.
- ^ Холл 2015 Теорема 3.20
- ^ Но см. Hall 2015 , предложение 3.30 и упражнение 8 в главе 3.
- ^ Холл 2015 Следствие 3.50. Холл утверждает только гладкость, но тот же аргумент показывает аналитичность.
- ^ Холл 2015 Теорема 5.20
- ^ Холл 2015 Пример 3.27
- ^ Зал 2015 Раздел 1.3.4
- ^ Холл 2015 Следствие 5.7
- ^ Холл 2015 Теорема 5.6
- ^ Зал 2015 Раздел 13.2
- ^ Холл 2015 Теорема 3.42
- ^ Холл 2015 Теорема 5.20
- ^ Зал 2015 Часть III
- ^ Артур Тресс (1893). "Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations" . Acta Mathematica . 18 : 1–88. DOI : 10.1007 / bf02418270 .
- Перейти ↑ Borel (2001) .
- ^ Хельгасон, Сигурдур (1978). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства . Нью-Йорк: Academic Press. п. 131. ISBN. 978-0-12-338460-7.
- ^ Bäuerle де пропила и десять Kroode 1997
Рекомендации
- Адамс, Джон Франк (1969), Лекции по группам Ли , Чикагские лекции по математике, Чикаго: Univ. из Chicago Press, ISBN 978-0-226-00527-0, Руководство по ремонту 0252560.
- Bäuerle, GGA; де Керф, EA; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. 7 . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1- через ScienceDirect .
- Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , История математики, 21 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0288-5, MR 1847105
- Бурбаки, Николя , Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли. Главы 1–3 ISBN 3-540-64242-0 , главы 4–6 ISBN 3-540-42650-7 , главы 7–9 ISBN 3-540-43405-4
- Шевалле, Клод (1946), Теория групп Ли , Принстон: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04990-8.
- PM Cohn (1957) Группы Ли , Кембриджские трактаты по математической физике.
- Дж. Л. Кулидж (1940) История геометрических методов , стр 304–17, Oxford University Press ( Dover Publications 2003).
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
- Роберт Гилмор (2008) Группы Ли, физика и геометрия: введение для физиков, инженеров и химиков , Cambridge University PressISBN 9780521884006 DOI : 10.1017 / CBO9780511791390 .
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666.
- Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровка , Academic Press , ISBN 0-12-329650-1 .
- Хокинс, Томас (2000), Возникновение теории групп Ли , Источники и исследования в истории математики и физических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1202-7 , ISBN 978-0-387-98963-1, Руководство по ремонту 1771134 Обзор Бореля
- Хелгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Исследования в области математики, 34 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , DOI : 10.1090 / gsm / 034 , ISBN 978-0-8218-2848-9, Руководство по ремонту 1834454
- Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли после введения , Прогресс в математике, 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4259-4.
- Т. Кобаяси и Т. Осима, Группы Ли и алгебры Ли, I, Иванами, 1999 (на японском языке)
- Nijenhuis, Альберт (1959). "Рецензия: группы лжи , П.М. Кона" . Бюллетень Американского математического общества . 65 (6): 338–341. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1959-10358-х .
- Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7. Переиздание 2003 года исправляет несколько типографских ошибок.
- Sattinger, Дэвид Х .; Уивер, О.Л. (1986). Группы и алгебры Ли с приложениями к физике, геометрии и механике . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-1910-9 . ISBN 978-3-540-96240-3. Руководство по ремонту 0835009 .
- Серр, Жан-Пьер (1965), Алгебры Ли и группы Ли: 1964 Лекции, прочитанные в Гарвардском университете , Конспекты лекций по математике, 1500 , Springer, ISBN 978-3-540-55008-2.
- Стиллвелл, Джон (2008). Теория наивной лжи . Тексты для бакалавриата по математике. Springer. DOI : 10.1007 / 978-0-387-78214-0 . ISBN 978-0387782140.
- Журнал теории лжи Heldermann Verlag
- Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 94 , Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-1799-0 , ISBN 978-0-387-90894-6, Руководство по ремонту 0722297
- Стиб, Вилли-Ханс (2007), Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра: второе издание , World Scientific Publishing, DOI : 10.1142 / 6515 , ISBN 978-981-270-809-0, Руководство по ремонту 2382250.
- Группы Ли. Теория представлений и симметричные пространства Вольфганг Циллер, Vorlesung 2010