Код гоппы

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может сбивать с толку или непонятна читателям . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Февраль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , алгебраическое геометрический код ( АГ-код ), иначе известный как код Гоппы , является общий тип линейного кода построен с использованием алгебраической кривой над конечным полем . Такие коды ввел Валерий Денисович Гоппа . В частных случаях они могут обладать интересными экстремальными свойствами . Их не следует путать с двоичными кодами Гоппа , которые используются, например, в криптосистеме Мак-Элиса .${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$

Строительство [ править ]

Традиционно, АГ-код строится из невырожденной проективной кривой X над конечным полем с помощью ряда фиксированных различны - рациональных точек на :${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = \ {P_ {1}, \ ldots, P_ {n} \} \ subset \ mathbf {X} (\ mathbb {F} _ {q}).}$

Пусть - дивизор на X с носителем , состоящим только из рациональных точек и не пересекающимся с . Таким образом${\ displaystyle G}$${\ displaystyle P_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ cap \ operatorname {supp} (G) = \ varnothing}$

По теореме Римана – Роха существует единственное конечномерное векторное пространство ,, относительно дивизора . Векторное пространство , является подпространством поля функций из X .${\ Displaystyle L (G)}$${\ displaystyle G}$

Существует два основных типа AG-кодов, которые можно построить, используя приведенную выше информацию.

Код функции [ править ]

Код функции (или двойственный код ) по отношению к кривой X , дивизору и множеству строится следующим образом.${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Позвольте , быть делителем, с определенным, как выше. Обычно мы обозначаем код Гоппы через C ( D , G ). Теперь мы знаем все, что нам нужно для определения кода Goppa:${\displaystyle D=P_{1}+\cdots +P_{n}}$${\displaystyle P_{i}}$

${\displaystyle C(D,G)=\left\{\left(f(P_{1}),\ldots ,f(P_{n})\right)\ :\ f\in L(G)\right\}\subset \mathbb {F} _{q}^{n}}$

Для фиксированного базиса для L ( G ) над , соответствующий код Гоппы в покрывается векторами${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle \left(f_{i}(P_{1}),\ldots ,f_{i}(P_{n})\right)}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(P_{1})&\cdots &f_{1}(P_{n})\\\vdots &&\vdots \\f_{k}(P_{1})&\cdots &f_{k}(P_{n})\end{bmatrix}}}$

является порождающей матрицей для ${\displaystyle C(D,G).}$

Эквивалентно, это определяется как изображение

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha :L(G)\to \mathbb {F} ^{n}\\f\mapsto (f(P_{1}),\ldots ,f(P_{n}))\end{cases}}}$

Ниже показано, как параметры кода соотносятся с классическими параметрами линейных систем дивизоров D на C ( подробнее см. Теорему Римана – Роха ). Обозначение ℓ ( D ) означает размерность L ( D ).

Предложение A. Размерность кода Гоппы равна${\displaystyle C(D,G)}$${\displaystyle k=\ell (G)-\ell (G-D).}$

Доказательство. Поскольку мы должны показать, что${\displaystyle C(D,G)\cong L(G)/\ker(\alpha ),}$

${\displaystyle \ker(\alpha )=L(G-D).}$

Пусть тогда так . Таким образом, Обратно, пусть тогда так${\displaystyle f\in \ker(\alpha )}$${\displaystyle f(P_{1})=\cdots =f(P_{n})=0}$${\displaystyle \operatorname {div} (f)>D}$${\displaystyle f\in L(G-D).}$${\displaystyle f\in L(G-D),}$${\displaystyle \operatorname {div} (f)>D}$

${\displaystyle P_{i}<G,\quad i=1,\ldots ,n.}$

( G не «исправляет» проблемы с объектом , поэтому f должен сделать это вместо этого.) Отсюда следует, что${\displaystyle -D}$${\displaystyle f(P_{1})=\cdots =f(P_{n})=0.}$

Предложение B. Минимальное расстояние между двумя кодовыми словами равно${\displaystyle d\geqslant n-\deg(G).}$

Доказательство. Предположим , что вес Хэмминга из является d . Это означает , что для индексов мы имеем для Тогда и${\displaystyle \alpha (f)}$${\displaystyle n-d}$${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n-d}}$${\displaystyle f(P_{i_{k}})=0}$${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-d\}.}$${\displaystyle f\in L(G-P_{i_{1}}-\cdots -P_{i_{n-d}})}$

${\displaystyle \operatorname {div} (f)+G-P_{i_{1}}-\cdots -P_{i_{n-d}}>0.}$

Принимая степени с обеих сторон и отмечая, что

${\displaystyle \deg(\operatorname {div} (f))=0,}$

мы получили

${\displaystyle \deg(G)-(n-d)\geqslant 0.}$

так

${\displaystyle d\geq n-\deg(G).}$

Код остатка [ править ]

Код остатка может быть определен как двойник функционального кода или как остаток некоторых функций в 's.${\displaystyle P_{i}}$

Ссылки [ править ]

• Key One Chung, Goppa Codes , декабрь 2004 г., математический факультет Университета штата Айова.

Внешние ссылки [ править ]

• Бакалаврская диссертация по алгебро-геометрической теории кодирования
• Коды Гоппы Ки Уан Чанг