В математике , А точка Хегнера является точкой на модульном кривой , которая является образом квадратичной воображаемой точки верхней полуплоскости . Они были определены Брайаном Берчем и названы в честь Курта Хегнера , который использовал аналогичные идеи для доказательства гипотезы Гаусса о мнимых квадратичных полях первого класса.
Теорема Гросса – Загьера
Теорема Гросса – Загьера ( Gross & Zagier 1986 ) описывает высоту точек Хегнера в терминах производной L-функции эллиптической кривой в точке s = 1. В частности, если эллиптическая кривая имеет (аналитический) ранг 1 , то точки Хегнера можно использовать для построения рациональной точки на кривой бесконечного порядка (так что группа Морделла – Вейля имеет ранг не менее 1). В более общем плане Gross, Kohnen & Zagier (1987) показали, что точки Хегнера могут использоваться для построения рациональных точек на кривой для каждого положительного целого числа n , а высоты этих точек являются коэффициентами модульной формы веса 3/2. Шоу-Ву Чжан обобщил теорему Гросса – Загьера с эллиптических кривых на случай модулярных абелевых многообразий (Zhang 2001 , 2004 , Yuan , Zhang & Zhang 2009 ).
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
Позднее Колывагин использовал точки Хегнера для построения систем Эйлера и использовал это для доказательства большей части гипотезы Берча – Суиннертона-Дайера для эллиптических кривых ранга 1. Браун доказал гипотезу Берча – Суиннертона-Дайера для большинства эллиптических кривых ранга 1 над глобальными полями положительной характеристики ( Brown, 1994 ).
Вычисление
Точки Хегнера можно использовать для вычисления очень больших рациональных точек на эллиптических кривых ранга 1 (см. Обзор ( Watkins 2006 )), которые нельзя было найти наивными методами. Реализации алгоритма доступны в Magma , PARI / GP и Sage .
Рекомендации
- Берч, Б. (2004), «Точки Хегнера: начало», Дармон, Анри ; Чжан, Шоу-Ву (ред.), Heegner Points и Rankin L-Series (PDF) , Публикации научно-исследовательского института математических наук, 49 , Cambridge University Press, стр. 1–10, DOI : 10.1017 / CBO9780511756375.002 , ISBN 0-521-83659-X, MR 2083207.
- Браун, ML (2004), модули Хегнера и эллиптические кривые , Лекции по математике, 1849 , Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / b98488 , ISBN 3-540-22290-1, MR 2082815.
- Дармон, Анри; Чжан, Шоу-Ву, ред. (2004), точки Хегнера и серия L Ранкина , публикации Института математических наук, 49 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511756375 , ISBN 978-0-521-83659-3, MR 2083206
- Гросс, Бенедикт Х .; Загира, Дон Б. (1986), "Хегнера точки и производные L-серии", Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225-320, Bibcode : 1986InMat..84..225G , DOI : 10.1007 / BF01388809 , МР 0833192.
- Гросс, Бенедикт Х .; Конен, Винфрид; Загира, Дон (1987), "Хегнера точки и производные L-Series II.", Mathematische Annalen , 278 (1-4): 497-562, DOI : 10.1007 / BF01458081 , МР 0909238.
- Хегнера, Курт (1952), "Diophantische анализ унд Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227-253, DOI : 10.1007 / BF01174749 , МР 0053135.
- Уоткинс, Марк (2006), Некоторые замечания по вычислениям точки Хегнера , arXiv : math.NT / 0506325v2.
- Браун, Марк (1994), "О гипотезе Тейта для эллиптических поверхностей над конечными полями", Proc. Лондонская математика. Soc. , 69 (3): 489-514, DOI : 10.1112 / PLMS / s3-69.3.489.
- Юань, синьи ; Чжан, Шоу-Ву; Чжан, Вэй (2009), "Теорема Гросса – Конена – Загьера над вполне вещественными полями", Compositio Mathematica , 145 : 1147–1162.
- Чжан, Шоу-Ву (2001), «Формула Гросса-Загье для GL2», Asian Journal of Mathematics , 5 (2): 183–290.
- Чжан, Шоу-Ву (2004), «Формула Гросса – Загье для GL (2) II», Дармон, Анри ; Чжан, Шоу-В (ред.), Точки Хегнера и Rankin L-серия , математические науки Научно - исследовательский институт Публикация , 49 , Cambridge University Press , стр 191-214,. Дои : 10,1017 / CBO9780511756375 , ISBN 978-0-521-83659-3, MR 2083206.