Система Эйлера

В математике система Эйлера - это набор совместимых элементов групп когомологий Галуа, индексированных полями . Они были введены Колывагиным  ( 1990 ) в его работе о точках Хегнера на модульных эллиптических кривых , что было мотивировано его более ранней работой Колывагина (1988) и работой Тейна (1988) . Системы Эйлера имени Леонарда Эйлера , так как факторы , связанные различные элементы системы Эйлера напоминают факторы Эйлера о качестве продукта Эйлера .

Системы Эйлера могут использоваться для построения аннигиляторов групп идеальных классов или групп Селмера , давая таким образом оценки их порядков, что, в свою очередь, привело к глубоким теоремам, таким как конечность некоторых групп Тейта-Шафаревича . Это привело к новому доказательству Карла Рубина основной гипотезы теории Ивасавы , которое считается более простым, чем первоначальное доказательство Барри Мазура и Эндрю Уайлса .

Определение [ править ]

Хотя существует несколько определений особых видов системы Эйлера, похоже, что нет опубликованного определения системы Эйлера, которое бы охватывало все известные случаи. Но можно примерно сказать, что такое система Эйлера, следующим образом:

• Система Эйлера определяется набором элементов гр _F . Эти элементы часто индексируются определенными числовыми полями F, содержащими некоторое фиксированное числовое поле K , или чем-то тесно связанным, например целыми числами без квадратов. Элементы гр _F , как правило , элементы некоторой группы когомологий Галуа , такие как H ¹ ( F , T ) , где Т представляет собой р -адического представление абсолютных Галуа групп из K .
• Наиболее важным условием является то, что элементы c _F и c _G для двух разных полей F  ⊆  G связаны простой формулой, например

${\ Displaystyle {\ rm {cor}} _ {G / F} (c_ {G}) = \ prod _ {q \ in \ Sigma (G / F)} P (\ mathrm {Fr} _ {q} ^ {-1} | {\ rm {Hom}} _ {O} (T, O (1)); \ mathrm {Fr} _ {q} ^ {- 1}) c_ {F}}$

Здесь «фактор Эйлера» P (τ | B ; x ) определяется как элемент det (1-τ x | B ), рассматриваемый как элемент O [ x ], который, когда x действует на B , не является то же, что и det (1-τ x | B ), рассматриваемый как элемент O.

• Могут быть и другие условия, которым должен удовлетворять c _F , например, условия конгруэнтности.

Казуя Като называет элементы в системе Эйлера «арифметическими воплощениями дзета» и описывает свойство быть системой Эйлера как «арифметическое отражение того факта, что эти воплощения связаны с особыми значениями продуктов Эйлера». ^[1]

Примеры [ править ]

Циклотомические единицы [ править ]

Для каждого положительного целого числа n без квадратов возьмите корень n -й степени ζ _n из 1, где ζ _mn = ζ _m ζ _n для m , n взаимно просты. Тогда круговая система Эйлера - это набор чисел α _n = 1 - ζ _n . Они удовлетворяют отношениям

${\displaystyle N_{Q(\zeta _{nl})/Q(\zeta _{l})}(\alpha _{nl})=\alpha _{n}^{F_{l}-1}}$

${\displaystyle \alpha _{nl}\equiv \alpha _{n}}$по модулю всех простых чисел выше l

где l - простое число, не делящее n, а F _l - автоморфизм Фробениуса с F _l (ζ _n ) = ζ^l
_n. Колывагин использовал эту систему Эйлера для элементарного доказательства гипотезы Граа .

Суммы Гаусса [ править ]

Эллиптические единицы [ править ]

Очки Хегнера [ править ]

Колывагин построил систему Эйлера из точек Хегнера эллиптической кривой и использовал это, чтобы показать, что в некоторых случаях группа Тейта-Шафаревича конечна.

Система Эйлера Като [ править ]

Система Эйлера Като состоит из отдельных элементов , входящих в алгебраических К-теории из модулярных кривых . Эти элементы - названные элементами Бейлинсона в честь Александра Бейлинсона, который ввел их в Beilinson (1984) - были использованы Казуей Като в Kato (2004) для доказательства одной делимости в основной гипотезе Барри Мазура теории Ивасавы для эллиптических кривых . ^[2]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Banaszak, Grzegorz (2001) [1994], "Системы Эйлера для числовых полей" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Бейлинсон, Александр (1984), "Высшие регуляторы и значения L-функций", в сб. Р. В. Гамкрелидзе (ред.), Современные проблемы математики , 24 , стр. 181–238, MR  0760999.
• Коутс, JH ; Greenberg, R .; Ribet, KA ; Рубин, К. (1999), Арифметическая теория эллиптических кривых , Лекционные заметки по математике, 1716 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-66546-3 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Коутс, Дж .; Суджата, Р. (2006), «Системы Эйлера», Циклотомические поля и дзета-значения , Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag, стр. 71–87, ISBN 3-540-33068-2 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Като, Казуя (2004), « p -адическая теория Ходжа и значения дзета-функций модулярных форм», у Пьера Бертло; Жан-Марк Фонтен; Люк Иллюзи; Казуя Като; Майкл Рапопорт (ред.), Когомологии p-adiques и приложения арифметики. III. , Astérisque, 295 , Paris: Société Mathématique de France, стр. 117–290, MR  2104361
• Като, Казуя (2007), «Теория Ивасавы и обобщения», в Марте Санс-Соле ; Хавьер Сориа; Хуан Луис Варона; и другие. (ред.), Международный конгресс математиков (PDF) , я , Zürich:. Европейское математическое общество, стр 335-357, MR  2334196 , извлекаются 2010-08-12 CS1 maint: discouraged parameter (link). Материалы конгресса, состоявшегося в Мадриде 22–30 августа 2006 г.
• Колывагин В.А. (1988), "Группы Морделла-Вейля и Шафаревича-Тейта для эллиптических кривых Вейля", Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая , 52 (6): 1154–1180, ISSN  0373-2436 , MR  0984214
• Колывагин, В.А. (1990), "Системы Эйлера", The Grothendieck Festschrift, Vol. II , Прогр. . Математика, 87 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Бостон, стр 435-483,. Дои : 10.1007 / 978-0-8176-4575-5_11 , ISBN 978-0-8176-3428-5, Руководство по ремонту  1106906
• Мазур, Барри ; Рубин, Карл (2004), "Системы Колывагин" , Мемуары Американского математического общества , 168 (799): VIII + 96 , DOI : 10,1090 / памятка / 0799 , ISBN 978-0-8218-3512-8, ISSN  0065-9266 , MR  2031496
• Рубин, Карл (2000), системы Эйлера , Annals of Mathematics Studies, 147 , Princeton University Press , MR  1749177
• Scholl, AJ (1998), "Введение в системы Эйлера Като", представления Галуа в арифметической алгебраической геометрии (Durham, 1996) , London Math. Soc. Сер. Лекции, 254 , Cambridge University Press , стр. 379–460, ISBN 978-0-521-64419-8, Руководство по ремонту  1696501
• Thaine, Francisco (1988), "О идеальный класс групп вещественных абелевых числовых полей" , Анналы математики , вторая серия, 128 (1): 1-18, DOI : 10,2307 / 1971460 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1971460 , Руководство по ремонту  0951505

Внешние ссылки [ править ]

• Несколько статей о системах Колывагина доступны на веб-странице Барри Мазура (по состоянию на июль 2005 г.).