где произведение берется по простым числам , а также это сумма
Фактически, если мы рассматриваем их как формальные производящие функции , существование такого формального разложения Эйлера-произведения является необходимым и достаточным условием того, что быть мультипликативным: это говорит о том, что продукт в любое время факторы как продукт власти различных простых чисел .
как и в случае дзета-функции Римана, где , и в более общем плане для персонажей Дирихле .
Конвергенция
На практике все важные случаи таковы, что разложения бесконечного ряда и бесконечного произведения абсолютно сходятся в некоторой области
то есть в некоторой правой полуплоскости в комплексных числах. Это уже дает некоторую информацию, поскольку бесконечное произведение, чтобы сойтись, должно давать ненулевое значение; следовательно, функция, заданная бесконечным рядом, не равна нулю в такой полуплоскости.
В теории модулярных форм типично иметь здесь произведения Эйлера с квадратичными многочленами в знаменателе. Общая философия Ленглендса включает сопоставимое объяснение связи многочленов степени m и теорию представлений для GL m .
Примеры
В следующих примерах будут использоваться обозначения
Произведение Эйлера, присоединенное к дзета-функции Римана используя также сумму геометрического ряда,
Используя их обратные, два произведения Эйлера для функции Мёбиуса находятся
а также
Соотношение этих двух дает
Поскольку для четных s дзета-функция Риманаимеет аналитическое выражение в терминах рационального кратноготогда для четных показателей это бесконечное произведение оценивается как рациональное число. Например, поскольку а также тогда
и так далее, с первым результатом, известным Рамануджану . Это семейство бесконечных произведений также эквивалентно
где подсчитывает количество различных простых делителей n , и- количество делителей, свободных от квадратов .
Если Дирихле дирижер чтобы полностью мультипликативен и зависит только от n по модулю N , иесли n не взаимно просто с N , то
Здесь удобно опустить штрихи p, отделяющие провод N от продукта. В своих записных книжках Рамануджан обобщил произведение Эйлера для дзета-функции как
может быть интерпретирован как ряд Дирихле с использованием (уникального) символа Дирихле по модулю 4 и преобразован в произведение Эйлера сверхчастичных отношений
где каждый числитель является простым числом, а каждый знаменатель - ближайшим кратным четырем. [1]
Другие продукты Эйлера для известных констант включают:
^ Debnath, Lokenath (2010), Наследие Леонарда Эйлера: A Tribute Трёхсотлетний , World Scientific, стр. 214, ISBN 9781848165267.
Рекомендации
Дж. Поля , Индукция и аналогия в математике, том 1, Princeton University Press (1954) LC Card 53-6388 (очень доступный английский перевод мемуаров Эйлера об этом «необычайном законе чисел» появляется, начиная со страницы 91)
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001 (Обеспечивает вводное обсуждение произведения Эйлера в контексте классической теории чисел.)
Г. Х. Харди и Э. М. Райт , Введение в теорию чисел , 5-е изд., Оксфорд (1979). ISBN 0-19-853171-0 (в главе 17 приведены дополнительные примеры.)
Джордж Эндрюс, Брюс С. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть I , Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
Г. Никлаш, Некоторые теоретические числовые константы: 1000-значные значения "
Внешние ссылки
«Произведение Эйлера» . PlanetMath .
«Произведение Эйлера» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Произведение Эйлера» . MathWorld .
Никлаш, Г. (23 августа 2002 г.). «Некоторые теоретико-числовые константы» . Архивировано из оригинала 12 июня 2006 года.