Суперчастичное соотношение

Просто диатонический полутон на C: ⁺¹⁶ / ₁₅ = ^{15 +} 1 / ₁₅ = 1+ ⁺¹ / ₁₅ Play ( помощь · информации ) 

В математике сверхчастичное отношение , также называемое сверхчастичным числом или эпиморическим отношением , представляет собой отношение двух последовательных целых чисел .

В частности, соотношение имеет вид:

${\ displaystyle {\ frac {n + 1} {n}} = 1 + {\ frac {1} {n}}}$ где n - натуральное число .

Таким образом:

Сверхчастное число - это когда большое число содержит меньшее число, с которым оно сравнивается, и в то же время одну его часть. Например, при сравнении 3 и 2 они содержат 2, плюс 3 имеет еще 1, что составляет половину от двух. Когда сравниваются 3 и 4, каждый из них содержит 3, а у 4 есть еще 1, что составляет треть от 3. Опять же, когда 5 и 4 сравниваются, они содержат число 4, а 5 - еще 1. , которая является четвертой частью числа 4 и т. д.

-  Throop (2006), ^[1]

О сверхчастичных соотношениях писал Никомах в его трактате « Введение в арифметику» . Хотя эти числа находят применение в современной чистой математике, области исследований, которые чаще всего называют суперчастичные отношения под этим названием, - это теория музыки ^[2] и история математики . ^[3]

Математические свойства [ править ]

Как заметил Леонард Эйлер , суперсоставные числа (включая также умноженные суперсоставные отношения, числа, образованные добавлением целого числа, отличного от единицы, к единичной дроби) - это в точности рациональные числа, непрерывная дробь которых заканчивается после двух членов. Числа, у которых непрерывная дробь заканчивается одним членом, являются целыми числами, а остальные числа с тремя или более членами в их непрерывных дробях являются суперчастицами . ^[4]

Продукт Уоллиса

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

представляет иррациональное число π несколькими способами как произведение сверхчастичных соотношений и их обратных величин. Также возможно преобразовать формулу Лейбница для π в произведение Эйлера сверхчастичных соотношений, в котором каждый член имеет простое число в качестве числителя и ближайшее кратное четырем в качестве знаменателя: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots }$

В теории графов сверхчастичные числа (или, скорее, их обратные, 1/2, 2/3, 3/4 и т. Д.) Возникают через теорему Эрдеша – Стоуна как возможные значения верхней плотности бесконечного графа. ^[6]

Другие приложения [ править ]

При изучении гармонии многие музыкальные интервалы могут быть выражены как сверхчастичное соотношение (например, из-за эквивалентности октавы девятая гармоника, 9/1, может быть выражена как суперчастичное соотношение, 9/8). Действительно, то, является ли соотношение сверхчастным, было самым важным критерием в формулировке Птолемея музыкальной гармонии. ^[7] В этом приложении теорема Стёрмера может использоваться для перечисления всех возможных сверхчастичных чисел для данного предела ; то есть все отношения этого типа, в которых числитель и знаменатель являются гладкими числами . ^[2]

Эти соотношения также важны для визуальной гармонии. Аспект соотношение 4: 3 и 3: 2 являются общими в цифровой фотографии , ^[8] и аспект соотношение 7: 6 и 5: 4 используются в среднем формате и большом формат фотографии соответственно. ^[9]

Названия соотношений и связанные интервалы [ править ]

Каждая пара соседних положительных целых чисел представляет собой суперпартикулярное отношение, и аналогично каждая пара смежных гармоник в гармоническом ряду (музыка) представляет суперпредметное отношение. Многие индивидуальные сверхчастичные отношения имеют свои собственные названия в исторической математике или в теории музыки. К ним относятся следующие:

Корень некоторых из этих терминов происходит от латинского sesqui- «полтора» (от semis «половина» и -que «и»), описывающего соотношение 3: 2.

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Superparticular номер применяется для построения пентатоники от Дэвида Canright .
• De Institutione Арифметик, луб II по Анициям Манлии Северин Боэций