В теории чисел функции положительных целых чисел, которые учитывают произведения, важны и называются полностью мультипликативными функциями или полностью мультипликативными функциями . Также важно более слабое условие, учитывающее только произведения взаимно простых чисел, и такие функции называются мультипликативными функциями . Вне теории чисел термин «мультипликативная функция» часто считается синонимом «полностью мультипликативной функции», как это определено в этой статье.
Определение
Вполне мультипликативная функция (или полностью мультипликативная функция ) является арифметической функцией (то есть, функция которого домен является натуральные числа ), такой , что F (1) = 1 и F ( AB ) = F ( ) е ( б ) выполняется для всех натуральных чисел a и b . [1]
Без требования, чтобы f (1) = 1, можно было бы иметь f (1) = 0, но тогда f ( a ) = 0 для всех положительных целых чисел a , так что это не очень сильное ограничение.
Приведенное выше определение можно перефразировать , используя язык алгебры: вполне мультипликативная функция является гомоморфизмом из моноида (то есть положительные целые числа при умножении) на какой-то другой моноид.
Примеры
Самый простой пример полностью мультипликативной функции - это моном со старшим коэффициентом 1: для любого конкретного положительного целого числа n определите f ( a ) = a n . Тогда f ( bc ) = ( bc ) n = b n c n = f ( b ) f ( c ) и f (1) = 1 n = 1.
Функция Лиувилля является нетривиальным Примером вполне мультипликативной функции , как и характеры Дирихля , тот символ Якоби и символ Лежандра .
Характеристики
Полностью мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в простых числах, что является следствием основной теоремы арифметики . Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = p a q b ..., то f ( n ) = f ( p ) a f ( q ) b ...
Хотя свертка Дирихле двух мультипликативных функций является мультипликативной, свертка Дирихле двух полностью мультипликативных функций не обязательно должна быть полностью мультипликативной.
Существует множество утверждений о функции, которые эквивалентны ее полной мультипликативности. Например, если функция f мультипликативна, то она полностью мультипликативна тогда и только тогда, когда ее обратная функция Дирихле равна где - функция Мёбиуса . [2]
Полностью мультипликативные функции также удовлетворяют закону распределения. Если f полностью мультипликативен, то
где * представляет собой произведение Дирихле, апредставляет собой поточечное умножение . [3] Одним из следствий этого является то, что для любой полностью мультипликативной функции f выполняется
что можно вывести из вышеизложенного, поместив оба , где - постоянная функция . Здесь- функция делителя .
Доказательство распределительной собственности
Серия Дирихле
L-функция полностью (или тотально) мультипликативного ряда Дирихле удовлетворяет
это означает, что сумма всех натуральных чисел равна произведению всех простых чисел.