В математике , то свертка Дирихля является бинарной операцией определены для арифметических функций ; это важно в теории чисел . Его разработал Петер Густав Лежен Дирихле .
Определение
Если - две арифметические функции от положительных целых чисел до комплексных чисел , свертка Дирихле f ∗ g - это новая арифметическая функция, определяемая следующим образом:
где сумма распространяется на все положительные делители d числа n или, что эквивалентно, на все различные пары ( a , b ) натуральных чисел, произведение которых равно n .
Это произведение естественно возникает при изучении рядов Дирихле, таких как дзета-функция Римана . Он описывает умножение двух рядов Дирихле на их коэффициенты:
Характеристики
Набор арифметических функций образует коммутативное кольцо ,Кольцо Дирихле припоточечном сложении, где f + g определяется формулой( f + g ) ( n ) = f ( n ) + g ( n ), и свертка Дирихле. Мультипликативное тождество - этоединичная функция ε,определяемая формулой ε ( n ) = 1,если n = 1,и ε ( n ) = 0,если n > 1. Этиблоки(обратимые элементы) это кольцо являются арифметическими функциямиFс F (1) ≠ 0.
В частности, свертка Дирихле [1] ассоциативна ,
распределяет сверх сложения
- ,
является коммутативной ,
- ,
и имеет элемент идентичности,
- знак равно .
Кроме того, для каждого имея , существует арифметическая функция с участием , называется Дирихле обратное из.
Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна, и каждая мультипликативная функция, не являющаяся постоянно нулевой, имеет обратную Дирихле, которая также является мультипликативной. Другими словами, мультипликативные функции образуют подгруппу группы обратимых элементов кольца Дирихле. Однако помните, что сумма двух мультипликативных функций не является мультипликативной (поскольку), поэтому подмножество мультипликативных функций не является подкольцом кольца Дирихле. В статье о мультипликативных функциях перечислено несколько соотношений свертки среди важных мультипликативных функций.
Другая операция над арифметическими функциями - поточечное умножение: fg определяется как ( fg ) ( n ) = f ( n ) g ( n ) . Учитывая полностью мультипликативную функцию , поточечное умножение на распределяет по свертке Дирихле: . [2] Свертка двух полностью мультипликативных функций мультипликативна, но не обязательно полностью мультипликативна.
Примеры
В этих формулах используются следующие арифметические функции :
- мультипликативное тождество: , иначе 0.
- - постоянная функция со значением 1: для всех . Имейте в виду, чтоэто не личность. (Некоторые авторы обозначают это какпоскольку соответствующий ряд Дирихле является дзета-функцией Римана .)
- для - это установленная индикаторная функция : если только , иначе 0.
- - функция идентичности со значением n :.
- является к - й степенной функции:.
Имеют место следующие соотношения:
- , обратная Дирихле к постоянной функции - функция Мёбиуса . Следовательно:
- если и только если , формула обращения Мёбиуса
- , функция суммы k-й степени делителей σ k
- , функция суммы делителей σ = σ 1
- функция числа делителей d ( n ) = σ 0
- , путем обращения Мебиуса формул для σ k , σ и d
- , доказанная с помощью тотент-функции Эйлера
- , по обращению Мёбиуса
- , из свертывания 1 с обеих сторон
- где λ - функция Лиувилля
- где Sq = {1, 4, 9, ...} - множество квадратов
- , Функция Джордана
- , где является функция Мангольдта в
- где - простая омега-функция, считающая различные простые делители числа n
- , характеристическая функция степеней простых чисел.
- где - характеристическая функция простых чисел.
Это последнее тождество показывает, что функция подсчета простых чисел задается суммирующей функцией
где - функция Мертенса и- функция подсчета различных простых факторов сверху. Это разложение следует из тождества сумм по сверткам Дирихле, приведенным на странице тождеств сумм дивизоров (стандартный прием для этих сумм). [3]
Обратный Дирихле
Примеры
Учитывая арифметическую функцию его инверсия Дирихле может быть вычислено рекурсивно: значение с точки зрения для .
Для :
- , так
- . Это означает, что не имеет обратного к Дирихле, если .
Для :
- ,
- ,
Для :
- ,
- ,
Для :
- ,
- ,
и вообще для ,
Характеристики
Имеют место следующие свойства обратной связи Дирихле: [4]
- Функция f имеет обратную Дирихле тогда и только тогда, когда f (1) ≠ 0 .
- Обратный Дирихле мультипликативной функции снова мультипликативен.
- Обращение Дирихле к свертке Дирихле - это свертка инверсий каждой функции: .
- Мультипликативная функция F является вполне мультипликативным тогда и только тогда , когда.
- Если е является вполне мультипликативным то в любое время и где означает поточечное умножение функций.
Другие формулы
Арифметическая функция | Инверсия Дирихле: [5] |
---|---|
Постоянная функция со значением 1 | Функция Мёбиуса μ |
Функция Лиувилля λ | Абсолютное значение функции Мёбиуса | μ | |
Функция Эйлера | |
Обобщенная сумма-о-делителей функции |
Точная нерекурсивная формула для обратного преобразования Дирихле любой арифметической функции f дается в тождествах суммы делителей . Более теоретическое выражение для обратного к Дирихле функции f дается формулой
Следующая формула обеспечивает компактный способ выражения обратного по Дирихле обратимой арифметической функции f :
где выражение обозначает арифметическую функцию запутанная сама с собой k раз. Обратите внимание, что для фиксированного положительного целого числа, если тогда , это потому что и каждый способ выразить n как произведение k натуральных чисел должен включать 1, так что ряд справа сходится для каждого фиксированного положительного целого числа n.
Серия Дирихле
Если f - арифметическая функция, ее производящую функцию ряда Дирихле определяют следующим образом:
для тех сложных аргументов s, для которых ряд сходится (если таковые имеются). Умножение рядов Дирихле совместимо со сверткой Дирихле в следующем смысле:
для всех s, для которых сходятся оба ряда левой части, один из них хотя бы сходится абсолютно (обратите внимание, что простая сходимость обоих рядов левой части НЕ влечет сходимости правой части!). Это похоже на теорему о свертке, если рассматривать ряд Дирихле как преобразование Фурье .
Связанные понятия
Ограничение делителей в свертке унитарными , биунитарными или бесконечными делителями определяет аналогичные коммутативные операции, которые имеют много общих черт со сверткой Дирихле (существование инверсии Мёбиуса, сохранение мультипликативности, определения тотиентов, формулы произведения типа Эйлера над ассоциированные простые числа и т. д.).
Свертка Дирихле - это свертка алгебры инцидентности для положительных целых чисел, упорядоченных по делимости.
Смотрите также
- Арифметическая функция
- Тождества суммы делителей
- Формула обращения Мебиуса
Рекомендации
- ^ Доказательства всех этих фактов можно найти в Chan, гл. 2
- ^ Доказательство находится в статье Полностью мультипликативная функция # Доказательство дистрибутивного свойства .
- ^ Шмидт, Макси. Введение Апостола в аналитическую теорию чисел .Это нечто особенное, что я называю «гренками». Это следует из упражнений, содержащихся в нескольких главах классической книги Апостола.
- ↑ Снова см. Апостол, Глава 2, и упражнения в конце главы.
- ↑ См. Главу 2 «Апостол».
- Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001
- Чан, Хенг Хуат (2009). Аналитическая теория чисел для студентов . Монографии по теории чисел. Всемирная научная издательская компания. ISBN 981-4271-36-5.
- Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. п. 38. ISBN 0-521-84903-9.
- Коэн, Экфорд (1959). «Класс систем вычетов (mod r) и связанных арифметических функций. I. Обобщение обращения Мёбиуса». Pacific J. Math . 9 (1). С. 13–23. Руководство по ремонту 0109806 .
- Коэн, Экфорд (1960). «Арифметические функции, связанные с унитарными делителями целого числа». Mathematische Zeitschrift . 74 . С. 66–80. DOI : 10.1007 / BF01180473 . Руководство по ремонту 0112861 .
- Коэн, Экфорд (1960). «Количество делителей целого числа на единицу». Американский математический ежемесячник . 67 (9). С. 879–880. Руководство по ремонту 0122790 .
- Коэн, Грэм Л. (1990). «О бесконечных делителях целых чисел». Математика. Комп . 54 (189). С. 395–411. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1990-0993927-5 . Руководство по ремонту 0993927 .
- Коэн, Грэм Л. (1993). «Арифметические функции, связанные с бесконечными делителями целого числа». Int. J. Math. Математика. Sci . 16 (2). С. 373–383. DOI : 10.1155 / S0161171293000456 .
- Шандор, Йожеф; Берге, Антал (2003). «Функция Мёбиуса: обобщения и расширения». Adv. Stud. Contemp. Математика. (Кёншан) . 6 (2): 77–128. MR 1962765 .
- Финч, Стивен (2004). «Унитаризм и инфинитаризм» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 22 февраля 2015 года.
Внешние ссылки
- "Свертка Дирихле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]