Основная гипотеза теории Ивасавы

В математике , то основная гипотеза теории Ивасавы глубокая связь между р -адическими L -функцией и идеальными группами класса от круговых полей , доказанных Ивасавом, Кэнкитей для простых чисел , удовлетворяющих гипотезу куммерова-Vandiver и доказана для всех простых чисел по Мазур и Уайлс ( 1984 ). Теорема Эрбрана – Рибета и гипотеза Гра являются простыми следствиями основной гипотезы. Есть несколько обобщений основной гипотезы на вполне реальные поля , поля CM ,эллиптические кривые и т. д.

Мотивация [ править ]

Ивасава (1969a) был частично мотивирован аналогией с описанием Вейля дзета-функции алгебраической кривой над конечным полем в терминах собственных значений эндоморфизма Фробениуса на его якобиевом многообразии . По этой аналогии

• Действие Фробениуса соответствует действию группы Γ.
• Якобиан кривой соответствует модулю X над Γ, определенному в терминах групп классов идеалов.
• Дзета-функция кривой над конечным полем соответствует p -адической L- функции.
• Теорема Вейля, связывающая собственные значения Фробениуса с нулями дзета-функции кривой, соответствует основной гипотезе Ивасавы, связывающей действие алгебры Ивасавы на X с нулями p -адической дзета-функции.

История [ править ]

Основная гипотеза теории Ивасавы была сформулирована как утверждение, что два метода определения p -адических L- функций (теорией модулей и интерполяцией) должны совпадать, поскольку это было четко определено. Это было доказано Мазур и Уайлс (1984) для Q и для всех вполне вещественных числовых полей по Уайлс (1990) . Эти доказательства были построены по образцу доказательства Кена Рибета, обратного теореме Эрбранда (теорема Эрбранда – Рибета ).

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура – ​​Уайлса, используя метод Тейна и системы Эйлера Колывагина , описанные у Лэнга (1990) и Вашингтона (1997) , а затем доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей. ^[1]

В 2014 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан доказали несколько случаев основных гипотез для большого класса модульных форм . ^[2] Как следствие, для модульной эллиптической кривой над рациональными числами , они доказывают , что в нуль Хассе-Вейля L -функции L ( E ,  ев ) из Е при х  = 1 следует , что р-адическое Сельмер группы из Е бесконечно. В сочетании с теоремами Gross - Цагир и Колывагин, это дало условное доказательство (по гипотезе Тейта – Шафаревича ) гипотезы о том, что E имеет бесконечно много рациональных точек тогда и только тогда, когда L ( E , 1) = 0, (слабая) форма гипотезы Берча – Суиннертона-Дайера . Эти результаты были использованы Манджулом Бхаргавой , Скиннером и Вей Чжаном для доказательства того, что положительная пропорция эллиптических кривых удовлетворяет гипотезе Берча – Суиннертона-Дайера . ^{[3] [4]}

Заявление [ править ]

• p - простое число.
• F _n - поле Q (ζ), где ζ - корень из единицы порядка p ^{n +1} .
• Γ - наибольшая подгруппа абсолютной группы Галуа группы F _∞, изоморфная целым p -адическим числам.
• γ - топологическая образующая Γ
• L _n - это p -поле классов Гильберта для F _n .
• H _n - это группа Галуа Gal ( L _n / F _n ), изоморфная подгруппе элементов группы классов идеалов в F _n , порядок которой является степенью p .
• H _∞ - обратный предел групп Галуа H _n .
• V - векторное пространство H _∞ ⊗ _{Z p} Q _p .
• ω - характер Тейхмюллера .
• V ^я это ω ^я собственное подпространство V .
• h _p (ω ⁱ , T ) - характеристический многочлен γ, действующий в векторном пространстве V ⁱ
• L _p - это p-адическая функция L с L _p (ω ⁱ , 1– k ) = –B _k (ω ^{i - k} ) / k , где B - обобщенное число Бернулли .
• u - единственное p-адическое число, для которого γ (ζ) = ζ ^u для всех p-степенных корней из единицы ζ
• G _p - степенной ряд с G _p (ω ⁱ , u ^s –1) = L _p (ω ⁱ , s )

Основная гипотеза теории Ивасавы, доказанная Мазуром и Уайлсом, гласит, что если i - нечетное целое число, не конгруэнтное 1 mod p –1, то идеалы Z _p - T - порождены h _p (ω ⁱ , T ) и G _p ( ω ^{1– i} , T ) равны.

Заметки [ править ]

Источники [ править ]