В теории чисел , номер поле K называется вполне реальным , если для каждого вложения из K в комплексные числа на изображение лежит внутри действительных чисел . Эквивалентные условия состоят в том, что K порождается над Q одним корнем целочисленного многочлена P , причем все корни P вещественны; или что алгебры тензорного произведения из K с реальным полем, над Q , изоморфно тензорной степени R .
Так , например, квадратичных полей К степени 2 над Q либо реальной (а потом вполне вещественное), или сложным, в зависимости от того , квадратный корень из положительного или отрицательного числа примыкает к Q . В случае кубических полей кубический целочисленный многочлен P, неприводимый над Q, будет иметь по крайней мере один действительный корень. Если он имеет один действительный и два комплексных корня, соответствующее кубическое расширение Q, определяемое присоединением действительного корня, не будет полностью реальным, хотя это поле действительных чисел.
Поля полностью действительных чисел играют важную особую роль в алгебраической теории чисел . Абелево расширение из Q является либо полностью реальным, или содержит вполне вещественный подпол , над которым он имеет степень два.
Любое числовое поле, которое является Галуа над рациональными числами, должно быть либо полностью реальным, либо полностью мнимым .
См. Также [ править ]
- Поле полностью мнимых чисел
- CM-поле , полностью мнимое квадратичное расширение вполне реального поля
Ссылки [ править ]
- Хида, Харузо (1993), Элементарная теория L-функций и рядов Эйзенштейна , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 26 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43569-7
