В арифметической геометрии группа Тейта – Шафаревича Ш ( A / K ) , введенная Сержем Лангом и Джоном Тейтом ( 1958 ) и Игорем Шафаревичем ( 1959 ), абелевого многообразия A (или, в более общем смысле, групповой схемы ), определенного над числом поле K состоит из элементов группы Вейля – Шатле WC ( A / K ) = H 1 ( G K , A )которые становятся тривиальными для всех пополнений K (т. е. p -адических полей, полученных из K , а также его действительных и комплексных пополнений). Таким образом, в терминах когомологий Галуа его можно записать как
JWS Cassels ввел обозначение Ш ( A / K ) , где Ш - кириллическая буква « Ша », для Шафаревича, заменив старую запись TS .
Элементы группы Тейт – Шафаревич
Геометрический, нетривиальные элементы группы Tate-Шафаревич можно рассматривать как однородные пространства А , которые имеют K V - рациональные точки для каждого место V в K , но не K -рациональной точки. Таким образом, меры группы той степени , в которой принцип Хассе не выполняется для рациональных уравнений с коэффициентами из поля K . Карл-Эрик Линд ( 1940 ) привел пример такого однородного пространства, показав, что кривая рода 1 x 4 - 17 = 2 y 2 имеет решения над действительными числами и над всеми p -адическими полями, но не имеет рациональных точек. Эрнст С. Сельмер ( 1951 ) привел еще много примеров, например, 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 .
Частный случай группы Тейта – Шафаревича для конечной групповой схемы, состоящей из точек некоторого заданного конечного порядка n абелевого многообразия, тесно связан с группой Сельмера .
Гипотеза Тейта-Шафаревича
Гипотеза Тейта – Шафаревича утверждает, что группа Тейта – Шафаревича конечна. Карл Рубин ( 1987 ) доказал это для некоторых эллиптических кривых ранга не выше 1 с комплексным умножением . Виктор А. Колывагин ( 1988 ) распространил это на модулярные эллиптические кривые над рациональными числами аналитического ранга не выше 1. (Теорема модульности позже показала, что предположение модульности всегда выполняется).
Касселс – Тейт.
Спаривание Касселса – Тейта - это билинейное спаривание Ø ( A ) × Ø ( Â ) → Q / Z , где A - абелево многообразие, а Â - двойственное к нему. Касселс (1962) ввел это для эллиптических кривых , когда A можно отождествить с Â, а спаривание является альтернированной формой. Ядром этой формы является подгруппа делимых элементов, что тривиально, если гипотеза Тейта – Шафаревича верна. Тейт (1963) распространил спаривание на общие абелевы многообразия как разновидность двойственности Тейта . Выбор поляризации на A дает отображение из A в Â , которое индуцирует билинейное спаривание на Ø ( A ) со значениями в Q / Z , но в отличие от случая эллиптических кривых оно не обязательно должно быть чередующимся или даже кососимметричным.
Для эллиптической кривой Касселс показал, что спаривание является альтернированным, и, как следствие, если порядок Ø конечен, то это квадрат. Для более общих абелевых многообразий в течение многих лет иногда ошибочно полагали, что порядок Ш является квадратом, если он конечен; эта ошибка возникла в статье Суиннертона-Дайера (1967) , который неверно процитировал один из результатов Тейта (1963) . Пунен и Столл (1999) привели несколько примеров, где порядок равен удвоенному квадрату, например, якобиан некоторой кривой рода 2 над рациональными числами, чья группа Тейта – Шафаревича имеет порядок 2, а Стейн (2004) привел несколько примеров, когда степень нечетного простого числа, делящего порядок, является нечетным. Если абелево многообразие имеет главную поляризацию, то форма на Ø кососимметрична, из чего следует, что порядок Ø является квадратом или дважды квадратом (если он конечен), и если, кроме того, основная поляризация происходит от рационального делителя ( как и в случае эллиптических кривых), то форма знакопеременная и порядок Ш - квадрат (если он конечен).
Смотрите также
Рекомендации
- Касселс, Джон Уильям Скотт (1962), «Арифметика на кривых рода 1. III. Группы Тейта – Шафаревича и Селмера», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 12 : 259–296, doi : 10.1112 / plms / s3-12.1.259 , ISSN 0024-6115 , MR 0163913
- Касселс, Джон Уильям Скотт (1962b), "Арифметика на кривых рода 1. И. В. Доказательство Hauptvermutung" , Журнал für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik , 211 (211): 95-112, DOI : 10,1515 / crll.1962.211. 95 , ISSN 0075-4102 , MR 0163915
- Касселс, Джон Уильям Скотт (1991), Лекции по эллиптическим кривым , Лондонский математическое общество Student Тексты, 24 , Cambridge University Press , DOI : 10,1017 / CBO9781139172530 , ISBN 978-0-521-41517-0, Руководство по ремонту 1144763
- Хиндри, Марк ; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение , Graduate Texts in Mathematics, 201 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98981-5
- Гринберг, Ральф (1994), «Теория Ивасавы и p-адическая деформация мотивов», у Серра, Жан-Пьера ; Яннсен, Уве; Клейман, Стивен Л. (ред.), Мотивы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1637-0
- Колывагин В.А. Конечность E (Q) и SH (E, Q) для подкласса кривых Вейля (1988), Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая , 52 (3): 522–540, 670–671, ISSN 0373-2436 , 954295
- Ланг, Серж ; Тэйт, Джон (1958), "Основные однородные пространства над абелевых многообразий", Американский журнал математики , 80 (3): 659-684, DOI : 10,2307 / 2372778 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372778 , MR 0106226
- Линд, Карл-Эрик (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Диссертация). 1940 . Уппсальский университет. 97 с. MR 0022563 .
- Пунен, Бьорн; Столл, Майкл (1999), «Спаривание Касселса-Тейта на поляризованных абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , Second Series, 150 (3): 1109–1149, arXiv : math / 9911267 , doi : 10.2307 / 121064 , ISSN 0003- 486X , JSTOR 121064 , Руководство по ремонту 1740984
- Рубин, Карл (1987), "Группы Тейта – Шафаревича и L-функции эллиптических кривых с комплексным умножением", Inventiones Mathematicae , 89 (3): 527–559, Bibcode : 1987InMat..89..527R , doi : 10.1007 / BF01388984 , ISSN 0020-9910 , MR 0903383
- Сельмер, Эрнст С. (1951), "диофантова уравнение ax³ + by³ + cz³ = 0", Acta Mathematica , 85 : 203-362, DOI : 10.1007 / BF02395746 , ISSN 0001-5962 , МР 0041871
- Шафаревич И. Р. Группа главных однородных алгебраических многообразий, Доклады АН СССР , 124 : 42–43, ISSN 0002-3264 , MR 0106227. Английский перевод в его сборнике математических работ
- Стейн, Уильям А. (2004), "Группы Шафаревича – Тейта неквадратного порядка" (PDF) , Модульные кривые и абелевы многообразия , Progr. Math., 224 , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 277–289, MR 2058655
- Суиннертон-Дайер, П. (1967), «Предположения Берча, Суиннертон-Дайера и Тейт» , в Спрингере, Тонни А. (ред.), Труды конференции по местным полям (Дриберген, 1966) , Берлин. , Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 132–157, MR 0230727
- Тейт, Джон (1958), WC-группы над p-адическими полями , Séminaire Bourbaki; 10 января: 1957/1958, 13 , Париж: Secrétariat Mathématique, MR 0105420
- Тейт, Джон (1963), "Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями" , Труды Международного конгресса математиков (Стокгольм, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, стр. 288–295, MR 0175892 , заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г.
- Вейль, Андре (1955), "Об алгебраических групп и однородных пространств", Американский журнал математики , 77 (3): 493-512, DOI : 10,2307 / 2372637 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372637 , MR 0074084