Групповые действия занимают центральное место в римановой геометрии и определяющих орбитах (теория управления) . Орбиты вычислительной анатомии состоят из анатомических форм и медицинских изображений ; анатомические формы - это подмногообразия дифференциальной геометрии, состоящие из точек, кривых, поверхностей и подобъемов. Это обобщило идеи более известных орбит линейной алгебры, которые являются линейными векторными пространствами . Медицинские изображения - это скалярные и тензорные изображения из медицинских изображений.. Групповые действия используются для определения моделей человеческого облика, которые допускают вариации. Эти орбиты представляют собой деформируемые шаблоны, как изначально более абстрактно сформулировано в теории шаблонов .
Орбитальная модель вычислительной анатомии
Центральная модель анатомии человека в вычислительной анатомии - это группы и групповые действия , классическая формулировка из дифференциальной геометрии . Орбиту называют пространством форм и форм . [1] Пространство фигур обозначается, с группой с законом состава ; действие группы на фигурах обозначено, где действие группы определено, чтобы удовлетворить
Орбита шаблона становится пространством всех форм, .
Несколько групповых действий в вычислительной анатомии
Центральная группа в CA, определенная на томах в являются группой диффеоморфизмов которые являются отображениями с 3-компонентными , закон сложения функций , с обратным .
Подмногообразия: органы, подкорковые структуры, диаграммы и погружения.
Для суб - многообразий , параметризованный графиком или погружением , диффеоморфное действие потока позиции
- .
Скалярные изображения, такие как МРТ, КТ, ПЭТ
Наиболее популярны скалярные изображения, , с действием справа через инверсию.
- .
Ориентированные касательные к кривым, собственные векторы тензорных матриц
С различными действиями используется множество различных методов визуализации. Для изображений, таких что трехмерный вектор, то
Тензорные матрицы
Cao et al. [2] исследовали действия по картированию изображений МРТ, измеренных с помощью визуализации тензора диффузии и представленных через главный собственный вектор. Для тензорных полей положительно ориентированный ортонормированный базис из , называемые кадрами, векторное векторное произведение, обозначаемое тогда
Репер Френе трех ортонормированных векторов, деформируется как касательная, деформируется как нормаль к плоскости, создаваемой , а также . H однозначно ограничивается положительным и ортонормированным базисом.
Для неотрицательные симметричные матрицы, действие станет .
Для отображения изображений MRI DTI [3] [4] (тензоров) собственные значения сохраняются с вращением собственных векторов диффеоморфизма и сохраняются собственные значения. Учитывая собственные элементы, тогда действие становится
Функция распределения ориентации и высокое угловое разрешение HARDI
Функция распределения ориентации (ODF) характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды и может быть восстановлена с помощью диффузионного изображения с высоким угловым разрешением (HARDI). ODF - это функция плотности вероятности, определенная на единичной сфере,. В области информационной геометрии , [5] пространство ODF образует многообразие с метрикой Фишера-Рао. Для отображения LDDMM ODF выбрано представление квадратного корня, потому что оно является одним из наиболее эффективных представлений, обнаруженных на сегодняшний день, поскольку различные римановы операции, такие как геодезические, экспоненциальные и логарифмические карты, доступны в закрытой форме. Далее обозначим квадратный корень ODF () в виде , где неотрицательно, чтобы гарантировать уникальность и .
Обозначим диффеоморфное преобразование как . Групповое действие диффеоморфизма на, , необходимо гарантировать неотрицательность и . На основании вывода из [6] это групповое действие определяется как
где якобиан .
Рекомендации
- ^ Миллер, Майкл I .; Юнес, Лоран; Труве, Ален (01.03.2014). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека» . Технологии . 2 (1): 36. DOI : 10,1142 / S2339547814500010 . ISSN 2339-5478 . PMC 4041578 . PMID 24904924 .
- ^ Цао Y1, Миллер М.И., Уинслоу Р.Л., Юнес, Диффеоморфное метрическое отображение векторных полей с большой деформацией. IEEE Trans Med Imaging. 2005 сентябрь; 24 (9): 1216-30.
- ^ Александр, округ Колумбия; Pierpaoli, C .; Basser, PJ; Ну и дела, JC (2001-11-01). «Пространственные преобразования диффузионных тензорных магнитно-резонансных изображений» (PDF) . IEEE Transactions по медицинской визуализации . 20 (11): 1131–1139. DOI : 10.1109 / 42.963816 . ISSN 0278-0062 . PMID 11700739 . S2CID 6559551 .
- ^ Цао, Ян; Миллер, Майкл I .; Мори, Сусуму; Уинслоу, Раймонд Л .; Юнес, Лоран (2006-07-05). «Диффеоморфное сопоставление диффузных тензорных изображений». 2006 Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов Семинар (CVPRW'06) . Ход работы. Конференция компьютерного общества IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов . 2006 . п. 67. DOI : 10,1109 / CVPRW.2006.65 . ISBN 978-0-7695-2646-1. ISSN 1063-6919 . PMC 2920614 . PMID 20711423 .
- ^ Амари, S (1985). Дифференциально-геометрические методы в статистике . Springer.
- ^ Du, J; Goh, A; Цю, А (2012). «Диффеоморфное метрическое отображение диффузионного изображения с высоким угловым разрешением на основе римановой структуры функций распределения ориентации». IEEE Trans Med Imaging . 31 (5): 1021–1033. DOI : 10,1109 / TMI.2011.2178253 . PMID 22156979 . S2CID 11533837 .