Вычислительная анатомия

Эта статья может быть слишком длинной для чтения и удобной навигации . Размер читаемой прозы - 113 килобайт. Пожалуйста, рассмотрите возможность разделения содержания на подстатьи, сжатия или добавления подзаголовков . Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Ноябрь 2016 г. )

Вычислительная анатомия - это междисциплинарная область биологии, ориентированная на количественное исследование и моделирование изменчивости анатомических форм. ^{[1] [2]} Он включает разработку и применение математических, статистических и аналитических методов для моделирования и моделирования биологических структур.

Область имеет широкое определение и включает в себя основы анатомии , прикладной математики и чистой математики , машинного обучения , вычислительной механики , вычислительной науки , биологической визуализации , нейробиологии , физики , вероятности и статистики ; он также имеет прочные связи с механикой жидкости и геометрической механикой . Кроме того, он дополняет новые междисциплинарные области, такие как биоинформатика и нейроинформатика.в том смысле, что его интерпретация использует метаданные, полученные из исходных методов визуализации сенсоров ( одним из примеров которых является магнитно-резонансная томография ). Он фокусируется на анатомических структурах, отображаемых, а не на медицинских устройствах визуализации. По духу она похожа на историю компьютерной лингвистики , дисциплины, которая фокусируется на лингвистических структурах, а не на сенсоре, действующем как средство передачи и коммуникации.

В вычислительной анатомии группа диффеоморфизмов используется для изучения различных систем координат с помощью преобразований координат, генерируемых с помощью лагранжевых и эйлеровых скоростей потока в . В потоки между координатами в вычислительной анатомии ограничены быть геодезические потоки , удовлетворяющие принципу наименьшего действия для энергии Кинетическая потока . Кинетическая энергия определяется через соболевскую норму гладкости со строго более чем двумя обобщенными квадратично-интегрируемыми производными для каждой компоненты скорости потока, что гарантирует, что потоки являются диффеоморфизмами.${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$^[3] Это также означает, что импульс диффеоморфной формы, взятый поточечно и удовлетворяющий уравнению Эйлера-Лагранжа для геодезических , определяется его соседями через пространственные производные поля скорости. Это отделяет дисциплину от случая несжимаемых жидкостей ^[4], для которых импульс является точечной функцией скорости. Вычислительная анатомия пересекает изучение римановых многообразий и нелинейный глобальный анализ , в котором группы диффеоморфизмов находятся в центре внимания. Возникающие многомерные теории формы ^[5] занимают центральное место во многих исследованиях в области вычислительной анатомии, как и вопросы, возникающие из молодой областистатистика формы . Метрические структуры в вычислительной анатомии по духу связаны с морфометрикой с той разницей, что вычислительная анатомия фокусируется на бесконечномерном пространстве систем координат, преобразованных с помощью диффеоморфизма , отсюда центральное использование терминологии диффеоморфометрия , исследования систем координат в метрическом пространстве. через диффеоморфизмы.

Бытие [ править ]

В основе вычислительной анатомии лежит сравнение формы путем распознавания одной формы другой. Это связывает его с разработками Д'Арси Вентворта Томпсона « О росте и форме», которые привели к научному объяснению морфогенеза , процесса, посредством которого формируются паттерны в биологии . Четыре книги Альбрехта Дюрера о пропорциях человека, возможно, были самыми ранними работами по вычислительной анатомии. ^{[6] [7] [8]} Усилия Ноама Хомского в его новаторстве в области компьютерной лингвистикивдохновил на оригинальную формулировку вычислительной анатомии как генеративной модели формы и формы на примерах, на которые воздействовали посредством преобразований. ^[9]

Благодаря доступности плотных трехмерных измерений с помощью таких технологий, как магнитно-резонансная томография (МРТ), вычислительная анатомия превратилась в подполе медицинской визуализации и биоинженерии для извлечения анатомических систем координат в масштабе морфома в трехмерном пространстве. Дух этой дисциплины разделяет сильное перекрытие таких областей, как компьютерное зрение и кинематики из твердых тел , в которых объекты изучаются путем анализа группответственный за рассматриваемое движение. Вычислительная анатомия отличается от компьютерного зрения с ее фокусом на жестких движениях, поскольку группа бесконечномерных диффеоморфизмов занимает центральное место в анализе биологических форм. Это ветвь школы анализа изображений и теории шаблонов в Университете Брауна ^[10], впервые разработанной Ульфом Гренандером . В общей теории метрических паттернов Гренандера преобразование пространств паттернов в метрическое пространство является одной из фундаментальных операций, поскольку способность кластеризоваться и распознавать анатомические конфигурации часто требует метрики близких и удаленных форм. Diffeomorphometry метрики ^[11]of Computational anatomy измеряет, насколько далеки друг от друга два диффеоморфных изменения координат, что, в свою очередь, вызывает метрику на фигурах и индексированных изображениях . Модели теории метрических паттернов ^{[12] [13],} в частности, групповое действие на орбите форм и форм, являются центральным инструментом формальных определений в вычислительной анатомии.

История [ править ]

Вычислительная анатомии является изучение формы и формы в morphome или грубой анатомии миллиметра, или морфологии масштаба, сосредоточив внимание на изучении суб- коллекторов из точек, кривых поверхностей и подобъемов человеческой анатомии. Первым современным компьютерным нейроанатомом был Дэвид Ван Эссен ^[14], выполнявший некоторые из ранних физических развертываний человеческого мозга на основе печати коры головного мозга человека и разрезания. Жан Талэрч в публикации координат Talairach является важной вехой в масштабе morphome демонстрирует фундаментальную основу локальных систем координат при изучении нейроанатомии и поэтому четкая связь${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {3},}$карты дифференциальной геометрии . Одновременно виртуальное картирование в вычислительной анатомии по координатам плотного изображения с высоким разрешением уже происходило в самых ранних разработках Рузены Байси ^[15] и Фреда Букстайна ^[16], основанных на компьютерной осевой томографии и изображениях магнитного резонанса . Самое раннее использование потоков диффеоморфизмов для преобразования систем координат в анализе изображений и медицинской визуализации было введено Кристенсеном, Джоши, Миллером и Рэббиттом. ^{[17] [18] [19]}

Первая формализация вычислительной анатомии как орбиты образцовых шаблонов при действии группы диффеоморфизмов была представлена ​​в оригинальной лекции с таким названием, прочитанной Гренандером и Миллером в мае 1997 года на 50-й годовщине отделения прикладной математики в Университете Брауна ^[20] и последующая публикация. ^[9] Это послужило основанием для резкого отхода от большей части предыдущей работы по продвинутым методам пространственной нормализации и регистрации изображений, которые исторически строились на понятиях сложения и расширения базиса. Преобразования, сохраняющие структуру, центральные в современной области вычислительной анатомии, гомеоморфизмов идиффеоморфизмы гладко переносят гладкие подмногообразия. Они генерируются с помощью лагранжевых и эйлеровых потоков, которые удовлетворяют закону композиции функций, образующих групповое свойство, но не являются аддитивными.

Первоначальная модель вычислительной анатомии представляла собой тройку, группу , орбиту форм и форм , а также законы вероятности, которые кодируют вариации объектов на орбите. Шаблон или набор шаблонов - это элементы на орбите форм.${\ Displaystyle ({\ mathcal {G}}, {\ mathcal {M}}, {\ mathcal {P}}) \,}$${\ displaystyle g \ in {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle m \ in {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle m _ {\ mathrm {temp}} \ in {\ mathcal {M}}}$

Лагранжева и гамильтонова формулировки уравнений движения вычислительной анатомии начали свое существование после 1997 г. с нескольких ключевых встреч, включая встречу Люмини 1997 г. ^[21], организованную школой Азенкотта ^[22] в Ecole-Normale Cachan по "Математике распознавания форм" и Trimestre 1998 г. в Институте Анри Пуанкаре, организованный Дэвидом Мамфордом «Вопросы математики и традиции сигналов и изображений», который стал катализатором групп Хопкинса-Брауна-ENS Кашана и последующего развития и связи вычислительной анатомии с разработками глобального анализа.

Развитие вычислительной анатомии включало в себя установление условий гладкости Собелева на метрике диффеоморфометрии для обеспечения существования решений вариационных задач в пространстве диффеоморфизмов ^{[23] [24],} вывод уравнений Эйлера-Лагранжа, характеризующих геодезические через группу и связанные с ними законы сохранения, ^{[25] [26] [27]} демонстрация метрических свойств правоинвариантной метрики, ^[28] демонстрация того, что уравнения Эйлера-Лагранжа имеют корректно поставленную задачу начального значения с единственными решениями для всех время, ^[29]и с первыми результатами по секционным кривизнам для метрики диффеоморфометрии в пространствах с ориентирами. ^[30] После встречи в Лос - Аламосе в 2002 году, ^[31] Джоши ^[32] оригинальные большие деформации единственного числа Landmark решений в области вычислительной анатомии были связаны с остроконечными солитонах или Peakons ^[33] в виде растворов для Камассы-Holm уравнения. Впоследствии были сделаны связи между уравнениями Эйлера-Лагранжа Computational анатомии для плотности импульса для правоинвариантной метрики , удовлетворяющей Соболевского гладкости В. И. Арнольда ^[4] характеризации уравнения Эйлерадля несжимаемых потоков как описывающие геодезические в группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем. ^{[34] [35]} Первые алгоритмы, обычно называемые LDDMM для диффеоморфного отображения больших деформаций, для вычисления связей между ориентирами в объемах ^{[32] [36] [37]} и сферическими многообразиями, ^[38] кривыми, ^[39] токами и поверхностями, ^{[40] [41] [42]} объемов, ^[43] тензоров, ^[44] варифолдов, ^[45] и временных рядов ^{[46] [47] [48])} .

Этот вклад вычислительной анатомии в глобальный анализ, связанный с бесконечномерными многообразиями подгрупп группы диффеоморфизмов, далеко не тривиален. Оригинальная идея делать дифференциальную геометрию, кривизну и геодезические на бесконечных многообразия восходит к Бернхард Риман «ы Абилитация (Ueber умереть Hypothesen, Welche дер Geometrie цу Grunde liegen ^{[49] [50]} ); Ключевая современная книга, в которой заложены основы таких идей в области глобального анализа, принадлежит Михору. ^[51]

Приложения в рамках медицинской визуализации вычислительной анатомии продолжает процветать после двух организованных встреч в Институте теоретической и прикладной математики конференций ^{[52] [53]} в Университете Калифорнии, Лос - Анджелес . Вычислительная анатомия была полезна при создании точных моделей атрофии человеческого мозга в масштабе морфома, а также сердечных шаблонов ^[54], а также при моделировании биологических систем. ^[55] С конца 1990-х годов вычислительная анатомия стала важной частью разработки новых технологий в области медицинской визуализации. Цифровые атласы являются фундаментальной частью современного медицинского образования ^{[56] [57]}и в исследованиях нейровизуализации в масштабе морфома. ^{[58] [59]} Методы и виртуальные учебники на основе Атласа ^[60], которые учитывают вариации, как в деформируемых шаблонах, находятся в центре многих платформ анализа нейро-изображений, включая Freesurfer, ^[61] FSL, ^[62] MRIStudio, ^[63] SPM . ^[64] Диффеоморфная регистрация, ^[18] введенная в 1990-х годах, сейчас является важным игроком с существующими базами кодов, организованными вокруг ANTS, ^[65] DARTEL, ^[66] DEMONS, ^[67] LDDMM, ^[68] StationaryLDDMM, ^[69] FastLDDMM, ^[70]являются примерами активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системами координат на основе разреженных объектов и плотных изображений. Морфометрия на основе вокселей - важная технология, построенная на многих из этих принципов.

Деформируемая шаблонная орбитальная модель вычислительной анатомии [ править ]

Модель анатомии человека - это деформируемый шаблон, орбита экземпляров под действием группы. Деформируемые шаблонные модели занимают центральное место в теории метрических шаблонов Гренандера, учитывая типичность с помощью шаблонов и учет изменчивости с помощью преобразования шаблона. Орбита при групповом действии как представление деформируемого шаблона - это классическая формулировка из дифференциальной геометрии. Обозначается пространство форм с группой с законом композиции ; обозначено действие группы на фигурах , где действие группы определено, чтобы удовлетворить ${\ displaystyle m \ in {\ mathcal {M}}}$ ${\ Displaystyle ({\ mathcal {G}}, \ circ)}$${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle g \ cdot m}$${\ displaystyle g \ cdot m \ in {\ mathcal {M}}, m \ in {\ mathcal {M}}}$

${\ displaystyle (g \ circ g ^ {\ prime}) \ cdot m = g \ cdot (g ^ {\ prime} \ cdot m) \ in {\ mathcal {M}}.}$

Орбита шаблона становится пространством всех форм , будучи однородным под действием элементов .${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Орбитальная модель вычислительной анатомии - это абстрактная алгебра, которую можно сравнить с линейной алгеброй, поскольку группы действуют на формы нелинейно. Это обобщение классических моделей линейной алгебры, в которых множество конечномерных векторов заменяется конечномерными анатомическими подмногообразиями (точками, кривыми, поверхностями и объемами) и их изображениями, а матрицы линейной алгебры заменены преобразованиями координат, основанными на линейных и аффинных группах и более общих многомерных группах диффеоморфизмов.${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle n\times n}$

Формы и формы [ править ]

Центральные объекты - это формы или формы в вычислительной анатомии, один набор примеров - это 0,1,2,3-мерные подмногообразия , второй набор примеров - изображения, созданные с помощью медицинской визуализации, такой как магнитно-резонансная томография (МРТ) и функциональная магнитно-резонансная томография .${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

Триангулированные сетчатые поверхности, изображающие подкорковые структуры миндалевидного тела, гиппокампа, таламуса, хвостатого тела, скорлупы, желудочков. Формы обозначены в виде треугольных сеток.${\displaystyle m(u),u\in U\subset {\mathbb {R} }^{1}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}}$

0-мерные многообразия - это ориентиры или реперные точки; Одномерные многообразия - это кривые, такие как борозды и извилины в мозгу; 2-мерные многообразия соответствуют границам субструктур в анатомии, таких как подкорковые структуры среднего мозга или извилистая поверхность неокортекса ; подобъёмы соответствуют подобластям человеческого тела, сердца , таламуса , почек.

Ориентиры представляют собой совокупность точек без какой-либо другой структуры, очерчивающих важные реперные точки в человеческих очертаниях и формах (см. Соответствующее изображение с ориентирами). Суб- многообразие форм , такие как поверхности представляют собой наборы точек , смоделированных в параметризованном локальной карте или погружением в воде , (см Рисунок , показывающие формы , как сетка поверхностей). Изображения, такие как изображения MR или изображения DTI , и являются плотными функциями, являются скалярами, векторами и матрицами (см. Рисунок, показывающий скалярное изображение).${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle m(u),u\in U}$${\displaystyle I\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}}$

Группы и групповые действия [ править ]

Показаны срез МРТ через трехмерный мозг, представляющий скалярное изображение на основе взвешивания T1.${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

Группы и групповые действия знакомы инженерному сообществу с универсальной популяризацией и стандартизацией линейной алгебры как базовой модели для анализа сигналов и систем в машиностроении , электротехнике и прикладной математике . В линейной алгебре матричных группы (матрицы с обратными) являются центральной структурой, с действием группы , определяемое обычным определением в качестве матрицы, действующий на качестве векторов; орбита в линейной алгебре - это набор -векторов, заданный как , который является групповым действием матриц через орбиту .${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

Центральная группа в вычислительной анатомии, определенная на объемах в, - это диффеоморфизмы, которые представляют собой отображения с 3-компонентным законом композиции функций с обратным .${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq Diff}$${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=id}$

Наиболее популярны скалярные изображения, с действием справа через обратное.${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$.

Для суб - многообразий , параметризованных диаграммы или погружением в воду , то диффеоморфен Действие поток позиции${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U}$.

Были определены несколько групповых действий в вычислительной анатомии . ^{[ необходима цитата ]}

Лагранжевы и эйлеровы потоки для порождения диффеоморфизмов [ править ]

При изучении кинематики твердого тела основное внимание уделялось матричным группам Ли низкой размерности . Матричные группы - это низкоразмерные отображения, которые представляют собой диффеоморфизмы, которые обеспечивают взаимно однозначные соответствия между системами координат с гладким обратным. Матричная группа вращений и весов может быть получена с помощью замкнутой формы конечномерных матриц, решение простых обыкновенных дифференциальных уравнений с решениями задаются матрица экспоненты.

Для изучения деформируемой формы в вычислительной анатомии предпочтительной была группа более общих диффеоморфизмов, которая является бесконечномерным аналогом. Группы диффеоморфизмов большой размерности, используемые в Computational Anatomy, генерируются с помощью гладких потоков, которые удовлетворяют лагранжевой и эйлеровой спецификации полей потоков, как впервые было введено в., ^{[17] [19] [71],} удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению:${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$

Отображение лагранжевого потока координат с соответствующими векторными полями, удовлетворяющими обыкновенному дифференциальному уравнению .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),\phi _{0}=id}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\ \phi _{0}=id\ ;}$

( Лагранжев поток )

с векторными полями на, называемыми эйлеровой скоростью частиц в положении потока. Векторные поля - это функции в функциональном пространстве, моделируемом как гладкое гильбертово пространство большой размерности, где якобиан потока также является многомерным полем в функциональном пространстве, а не матрицей низкой размерности, как в матрице группы. Впервые потоки были введены ^{[72] [73]} для больших деформаций при сопоставлении изображений; - мгновенная скорость частицы во времени .${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \ D\phi \doteq ({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}})}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

Требуемый для группы обратный задается на векторном поле Эйлера с адвективным обратным потоком${\displaystyle \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}^{-1}=-(D\phi _{t}^{-1})v_{t},\ \phi _{0}^{-1}=id\ .}$

( Обратный транспортный поток )

Группа диффеоморфизмов вычислительной анатомии [ править ]

Группа диффеоморфизмов очень большая. Чтобы гарантировать гладкие потоки диффеоморфизмов, избегая ударных решений для обратного, векторные поля должны быть хотя бы один раз непрерывно дифференцируемыми в пространстве. ^{[74] [75]} Для диффеоморфизмов на векторные поля моделируются как элементы гильбертова пространства с использованием теорем вложения Соболева, так что каждый элемент имеет строго больше двух обобщенных интегрируемых с квадратом пространственных производных (что достаточно), что дает однократный непрерывно дифференцируемые функции. ^{[74] [75]}${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$

Группа диффеоморфизмов - это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в норме Соболева:

${\displaystyle Diff_{V}\doteq \{\varphi =\phi _{1}:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}=id,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}dt<\infty \}\ ,}$

( Группа диффеоморфизмов )

где с линейным оператором, отображаемым в двойственное пространство , с интегралом, вычисляемым интегрированием по частям, когда является обобщенной функцией в двойственном пространстве.${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,\ v\in V\ ,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$${\displaystyle Av\in V^{*}}$

Диффеоморфометрия: метрическое пространство форм и форм [ править ]

Изучение метрик на группах диффеоморфизмов и изучение метрик между многообразиями и поверхностями было областью значительных исследований. ^{[28] [76] [77] [78] [79] [80]} Метрика диффеоморфометрии измеряет, насколько близко и далеко друг от друга находятся две формы или изображения; метрическая длина - это кратчайшая длина потока, который переносит одну систему координат в другую.

Часто знакомая евклидова метрика напрямую не применима, потому что образцы фигур и изображений не образуют векторное пространство. В римановой орбитальной модели вычислительной анатомии диффеоморфизмы, действующие на формы , не действуют линейно. Есть много способов определить метрики, и для наборов, связанных с формами, метрика Хаусдорфа - другой. Метод, который мы используем для индуцирования римановой метрики , используется для индуцирования метрики на орбите фигур путем определения ее в терминах длины метрики между преобразованиями диффеоморфной системы координат потоков. Измерение длин геодезического потока между системами координат на орбите фигур называется диффеоморфометрией .${\displaystyle \phi \cdot m\in {\mathcal {M}},\phi \in Diff_{V},m\in {\mathcal {M}}}$

Правоинвариантная метрика на диффеоморфизмах [ править ]

Определим расстояние на группе диффеоморфизмов

${\displaystyle d_{Diff_{V}}(\psi ,\varphi )=\inf _{v_{t}}\left(\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt:\phi _{0}=\psi ,\phi _{1}=\varphi ,{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}\right)^{1/2}\ ;}$

( метрика-диффеоморфизмы )

это правоинвариантная метрика diffeomorphometry, ^{[11] [28]} инвариантны к перепараметризации пространства , так как для всех , ${\displaystyle \phi \in Diff_{V}}$

${\displaystyle d_{Diff_{V}}(\psi ,\varphi )=d_{Diff_{V}}(\psi \circ \phi ,\varphi \circ \phi )}$.

Метрика фигур и форм [ править ]

Расстояние по формам и формам, ^[81] , ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle d_{\mathcal {M}}(m,n)=\inf _{\phi \in \operatorname {Diff} _{V}:\phi \cdot m=n}d_{\operatorname {Diff} _{V}}(id,\phi )\ ;}$

( метрические формы-формы )

изображения ^[28] обозначаются орбитой как и метрикой .${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle ,d_{\mathcal {I}}}$

Интеграл действия для принципа Гамильтона на диффеоморфных потоках [ править ]

В классической механике эволюция физических систем описывается решениями уравнений Эйлера-Лагранжа , связанные с принципом наименьшего действия в Гамильтон . Это стандартный способ, например, получения законов Ньютона для движения свободных частиц. В более общем смысле уравнения Эйлера-Лагранжа могут быть выведены для систем обобщенных координат . Уравнение Эйлера-Лагранжа в вычислительной анатомии описывает геодезические потоки кратчайших путей между системами координат метрики диффеоморфизма. В вычислительной анатомии обобщенные координаты - это поток диффеоморфизма и его лагранжева скорость , которые связаны через эйлерову скорость . Принцип Гамильтона${\displaystyle \phi ,{\dot {\phi }}}$${\displaystyle v\doteq {\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}$ для генерации уравнения Эйлера-Лагранжа требуется интеграл действия на лагранжиане, задаваемый формулой

${\displaystyle J(\phi )\doteq \int _{0}^{1}L(\phi _{t},{\dot {\phi }}_{t})dt\ ;}$

( Гамильтониан-интегрированный-лагранжиан )

лагранжиан задается кинетической энергией:

${\displaystyle L(\phi _{t},{\dot {\phi }}_{t})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}A({\dot {\phi }}_{t}\circ \phi _{t}^{-1})\cdot ({\dot {\phi }}_{t}\circ \phi _{t}^{-1})dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\ dx\ .}$

( Лагранжиан-кинетическая энергия )

Диффеоморфный или эйлеровый импульс формы [ править ]

В вычислительной анатомии впервые был назван эйлеровым или диффеоморфным импульсом формы ^[82], поскольку при интегрировании относительно эйлеровой скорости получается плотность энергии, и поскольку существует сохранение диффеоморфного импульса формы, которое имеет место. Оператор - это обобщенный оператор момента инерции или инерционный оператор.${\displaystyle Av}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$

Уравнение Эйлера – Лагранжа об импульсе формы для геодезических на группе диффеоморфизмов [ править ]

Классический расчет уравнения Эйлера-Лагранжа из принципа Гамильтона требует возмущения лагранжиана векторного поля кинетической энергии относительно возмущения потока первого порядка. Это требует корректировки скобкой Ли векторного поля , заданной оператором, который включает якобиан, заданный формулой ${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$

${\displaystyle ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V}$.

Определяя сопряженное соединение, вариация первого порядка дает импульс эйлеровой формы, удовлетворяющий обобщенному уравнению:${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},}$${\displaystyle Av\in V^{*}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ ;}$

( EL-генерал )

значение для всех гладких ${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot wdx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot wdx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

Вычислительная анатомия - это изучение движений подмногообразий, точек, кривых, поверхностей и объемов. Импульс, связанный с точками, кривыми и поверхностями, является сингулярным, что означает, что импульс сосредоточен на подмножествах , размерность которых в мере Лебега . В таких случаях энергия по-прежнему хорошо определена, поскольку, хотя и является обобщенной функцией, векторные поля являются гладкими, а эйлеров импульс понимается через его действие на гладкие функции. Прекрасной иллюстрацией этого является то, что даже когда это суперпозиция дельта-дираков, скорость координат во всем объеме изменяется плавно. Уравнение Эйлера-Лагранжа ( EL-General ) о диффеоморфизмах для обобщенных функций было получено в.${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \leq 2}$${\displaystyle (Av_{t}\mid v_{t})}$${\displaystyle Av_{t}}$${\displaystyle Av\in V^{*}}$^[83] В римановой метрике и скобках Ли интерпретация уравнения Эйлера-Лагранжа на геодезических выводах дается в терминах сопряженного оператора и скобки Ли для группы диффеоморфизмов. Оно стало называться уравнением EPDiff для диффеоморфизмов, связанных с методом Эйлера-Пуанкаре, которое было изучено в контексте инерциального оператора для несжимаемых, бездивергентных жидкостей. ^{[35] [84]}${\displaystyle A=identity}$

Импульс диффеоморфной формы: классическая векторная функция [ править ]

Для случая плотности импульса уравнение Эйлера – Лагранжа имеет классическое решение:${\displaystyle (Av_{t}\mid w)=\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mu _{t}+(Dv_{t})^{T}\mu _{t}+(D\mu _{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)\mu _{t}=0\ ,t\in [0,1].}$

( EL-Classic )

Уравнение Эйлера-Лагранжа на диффеоморфизмах, классически определенное для плотностей импульса, впервые появилось в ^[85] для анализа медицинских изображений.

Риманова экспонента (геодезическое позиционирование) и риманов логарифм (геодезические координаты) [ править ]

В медицинской визуализации и вычислительной анатомии позиционирование и координация форм являются фундаментальными операциями; система позиционирования анатомических координат и форм, построенная на метрике и уравнении Эйлера-Лагранжа; геодезическая система позиционирования, впервые изложенная в работах Миллера Трува и Юнеса. ^[11] Решение геодезической из начального условия называется римановой экспонентой, отображением в единице на группу.${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle Exp_{\rm {id}}(\cdot ):V\to Diff_{V}}$

Риманова экспонента удовлетворяет начальному условию , динамике векторного поля ,${\displaystyle Exp_{id}(v_{0})=\phi _{1}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{0}=v_{0}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},t\in [0,1]}$

• для классического уравнения диффеоморфной формы импульса , , то${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle \ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• для обобщенного уравнения, то , ,${\displaystyle Av\in V^{*}}$${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot wdx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

Вычисление потока по координатам, риманов логарифм , ^{[11] [81]} отображение в тождестве из в векторное поле ;${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle Log_{\rm {id}}(\cdot ):Diff_{V}\to V}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle v_{0}\in V}$

${\displaystyle Log_{id}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic }}{\dot {\phi }}_{0}=v_{0},\phi _{0}=id,\phi _{1}=\varphi \ .}$

Распространены на всю группу, они становятся

${\displaystyle \phi =Exp_{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq Exp_{id}(v_{0})\circ \varphi }$ ; .${\displaystyle Log_{\varphi }(\phi )\doteq Log_{id}(\phi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi }$

Это инверсии друг друга для уникальных решений логарифма; первое называется геодезическим позиционированием, второе - геодезическими координатами (см. экспоненциальное отображение, риманова геометрия для конечномерной версии). Геодезическая метрика - это локальное уплощение римановой системы координат (см. Рисунок).

Показано метрическое локальное уплощение координатных многообразий форм и форм. Локальная метрика задается нормой векторного поля геодезического отображения${\displaystyle \|v_{0}\|_{V}}$${\displaystyle Exp_{id}(v_{0})\cdot m}$

Гамильтонова формулировка вычислительной анатомии [ править ]

В вычислительной анатомии диффеоморфизмы используются для сдвига систем координат, а векторные поля используются в качестве контроля в анатомической орбите или морфологическом пространстве. Модель представляет собой динамическую систему, поток координат и управление векторным полем, связанное с помощью Гамильтонова точка зрения ^{[81] [86] [87] [88] [89]} изменяет параметры распределения импульса в терминах сопряженного импульса или канонический импульс , представленный как множитель Лагранжа, ограничивающий лагранжевую скорость, соответственно:${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\cdot \phi _{t},\phi _{0}=id.}$${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle p:{\dot {\phi }}\mapsto (p\mid {\dot {\phi }})}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}$

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \phi _{t})dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx.}$

Эта функция является расширенным гамильтонианом. Принцип максимума Понтрягина ^[81] дает оптимизирующее векторное поле, которое определяет геодезический поток, удовлетворяющий, а также редуцированный гамильтониан ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}=id,}$

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)\ .}$

Множитель Лагранжа в своем действии как линейная форма имеет собственное внутреннее произведение канонического импульса, действующего на скорость потока, которая зависит от формы, например, для ориентиров - сумма, для поверхностей - интеграл по поверхности и. для объемов это интеграл объема относительно on . Во всех случаях ядра Грина несут веса, которые представляют собой канонический импульс, эволюционирующий согласно обыкновенному дифференциальному уравнению, которое соответствует EL, но является геодезической репараметризацией канонического импульса. Оптимизирующее векторное поле определяется выражением${\displaystyle dx}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle v_{t}\doteq \arg max_{v}H(\phi _{t},p_{t},v)}$

с динамикой канонического импульса, перепараметрирующей векторное поле вдоль геодезической

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\phi }}_{t}={\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial p}}\\{\dot {p}}_{t}=-{\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial \phi }}\\\end{cases}}}$

( Гамильтонова динамика )

Стационарность гамильтониана и кинетической энергии по Эйлеру – Лагранжу [ править ]

В то время как векторные поля распространяются на все фоновое пространство , геодезические потоки, связанные с подмногообразиями, имеют импульс эйлеровой формы, который эволюционирует как обобщенная функция, сосредоточенная на подмногообразиях. Для ориентиров ^{[90] [91] [92]} в геодезическом имеет форму импульса Эйлера , которые представляют собой суперпозицию дельты - распределения , путешествующие с конечным числом частиц; диффеоморфный поток координат имеет скорости в диапазоне взвешенных ядер Грина. Для поверхностей импульс является поверхностным интегралом дельта-распределений, движущихся с поверхностью. ^[11]${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle Av_{t}\in V^{*}}$

Геодезические, соединяющие системы координат, удовлетворяющие EL-General, имеют стационарность лагранжиана. Гамильтониан задается экстремумом вдоль пути , равным лагранжиану-кинетической энергии, и является стационарным вдоль EL-General . Определение геодезической скорости в единице , затем по геодезической${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle H(\phi ,p)=\max _{v}H(\phi ,p,v)}$${\displaystyle v_{0}=\arg \max _{v}H(\phi _{0},p_{0},v)}$

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})=H(\phi _{0},p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot v_{0}dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx}$

( Гамильтоново-геодезические )

Стационарность гамильтониана демонстрирует интерпретацию множителя Лагранжа как импульса; интегрированная по скорости дает плотность энергии. У канонического импульса много названий. При оптимальном управлении потоки интерпретируются как состояние и интерпретируются как сопряженное состояние или сопряженный импульс. ^[93] Геодезические в EL подразумевают задание векторных полей или эйлерова импульса в точке , или задание канонического импульса определяет поток.${\displaystyle {\dot {\phi }}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle Av_{0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle p_{0}}$

Метрика геодезических потоков ориентиров, поверхностей и объемов на орбите [ править ]

В вычислительной анатомии подмногообразия - это наборы точек, кривые, поверхности и подобъемы, которые являются основными примитивами. Геодезические потоки между подмногообразиями определяют расстояние и являются основными измерительными и транспортными средствами диффеоморфометрии . На геодезической имеется векторное поле, определяемое сопряженным импульсом, и ядром Грина инерционного оператора, определяющего эйлеров импульс . Метрическое расстояние между системами координат, связанными через геодезическую, определяемое индуцированным расстоянием между единицей и элементом группы:${\displaystyle t=0}$${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$${\displaystyle K=A^{-1}}$

${\displaystyle d_{Diff_{V}}(id,\varphi )=\|Log_{id}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H(id,p_{0})}}}$

Законы сохранения диффеоморфного импульса формы для вычислительной анатомии [ править ]

Учитывая наименьшее действие, существует естественное определение импульса, связанного с обобщенными координатами; величина, действующая против скорости, дает энергию. Поле изучило две формы: импульс, связанный с эйлеровым векторным полем, названный эйлеровым диффеоморфным импульсом формы , и импульс, связанный с начальными координатами или каноническими координатами, называемый каноническим диффеоморфным импульсом формы . У каждого есть закон сохранения. Сохранение импульса идет рука об руку с EL-General . В вычислительной анатомии это эйлеров импульс, поскольку при интегрировании относительно эйлеровой скорости получается плотность энергии; оператор обобщенный момент инерции${\displaystyle Av}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$ или инерционный оператор, действующий на эйлерову скорость, дает импульс, сохраняющийся вдоль геодезической:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Eulerian}}&\ \ \ \ {\frac {d}{dt}}\int _{X}Av_{t}\cdot ((D\phi _{t})w)\circ \phi _{t}^{-1})dx=0\ ,\ t\in [0,1].\\&\\{\text{Canonical}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d}{dt}}\int _{X}p_{t}\cdot ((D\phi _{t})w)dx=0\ ,\ t\in [0,1]\ {\text{ for all}}\ w\in V\ .\end{matrix}}}$

( Эйлера-Сохранение-Постоянная-Энергия )

Сохранение импульса эйлеровой формы показано в ^[94] и следует из EL-General ; сохранение канонического импульса показано в ^[81]

Геодезическая интерполяция информации между системами координат с помощью вариационных задач [ править ]

Построение диффеоморфных соответствий между фигурами вычисляет начальные координаты векторного поля и соответствующие веса на ядрах Грина . Эти начальные координаты определяются путем сопоставления форм, называемого Диффеоморфным метрическим отображением большой деформации (LDDMM) . LDDMM был решен для ориентиров с и без соответствия ^{[32] [95] [96] [97] [98]} и для плотных сопоставлений изображений. ^{[99] [100]} кривые, ^[101] поверхности, ^{[41] [102]} плотные векторные ^[103] и тензорные ^[104] изображения, а также варифолды, удаляющие ориентацию. ^[105]${\displaystyle v_{0}\in V}$${\displaystyle p_{0}}$LDDMM вычисляет геодезические потоки EL-General по целевым координатам, добавляя к интегралу действия условие согласования конечных точек, измеряющее соответствие элементов на орбите при преобразовании системы координат. Существование решений были проверены на соответствие изображений. ^[24] Решение вариационной задачи удовлетворяет EL-General для с граничным условием.${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt}$${\displaystyle E:\phi _{1}\rightarrow R^{+}}$${\displaystyle t\in [0,1)}$

Соответствие на основе минимизации кинетической энергии действия с условием конечной точки [ править ]

${\displaystyle {\text{min}}_{\phi :v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1},\phi _{0}=id}C(\phi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+E(\phi _{1})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Euler Conservation}}\ \ \ \ \ \ \ \ &\ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0,\ t\in [0,1)\ ,\\{\text{Boundary Condition}}&\ \ \ \phi _{0}=id,Av_{1}=-{\frac {\partial E(\phi )}{\partial \phi }}|_{\phi =\phi _{1}}\ .\end{cases}}}$

Сохранение от EL-General расширяет BC на остальную часть пути . Проблема неточного сопоставления с термином сопоставления конечной точки имеет несколько альтернативных форм. Одна из ключевых идей стационарности гамильтониана вдоль геодезического решения заключается в том, что интегральные текущие затраты сводятся к начальным затратам при t = 0, геодезические EL-General определяются их начальным состоянием .${\displaystyle t=1}$${\displaystyle t\in [0,1)}$${\displaystyle E(\phi _{1})}$${\displaystyle v_{0}}$

Эксплуатационные расходы сводятся к первоначальной стоимости , определяемой из ядра Surf.-Land.-Геодезического .${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$

Сопоставление на основе геодезических съемок [ править ]

${\displaystyle \min _{v_{0}}C(v_{0})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}dx+E(\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0})\ ;}$

${\displaystyle \min _{p_{0}}C(p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot Kp_{0}dx+E(\mathrm {Exp} _{\text{id}}(Kp_{0})\cdot I_{0})}$

Задача согласования, явно привязанная к начальному условию , называется стрельбой, которая также может быть изменена с помощью сопряженного импульса .${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle p_{0}}$

Сопоставление плотных изображений в вычислительной анатомии [ править ]

Сопоставление плотных изображений имеет долгую историю, и в самых ранних попытках ^{[106] [107]} использовался каркас малой деформации. Большие деформации начались в начале 1990-х годов ^{[18] [19]} с первого существования решений вариационной задачи для потоков диффеоморфизмов для плотного сопоставления изображений, установленной в ^[24]. Бег решен с помощью одного из первых алгоритмов LDDMM, основанного на решении вариационное согласование с конечной точкой, определяемой плотным изображением по отношению к векторным полям, принимая вариации по отношению к векторным полям. ^[99] Другое решение для плотного сопоставления изображений изменяет параметры задачи оптимизации с точки зрения состояния${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}$дающее решение в терминах бесконечно малого действия, определяемого уравнением переноса . ^{[11] [27] [100]}

Соответствие плотных изображений LDDMM [ править ]

Для LDDMM Бега обозначьте Изображение с групповым действием . Рассматривая это как задачу оптимального управления, состояние системы - это диффеоморфный поток координат с динамикой, связывающей управление с состоянием, заданным как . Условие согласования конечных точек дает вариационную задачу${\displaystyle I(x),x\in X}$${\displaystyle \phi \cdot I\doteq I\circ \phi ^{-1}}$${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle {\dot {\phi }}=v\circ \phi }$${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \|I\circ \phi _{1}^{-1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\ \ \ \ \ \min _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi }C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|I\circ \phi _{1}^{-1}(x)-I^{\prime }(x)|^{2}dx\end{matrix}}}$

( Соответствие плотного изображения )

${\displaystyle {\begin{cases}&{\text{Endpoint Condition:}}\ \ \ \ \ \ Av_{1}=\mu _{1}dx,\mu _{1}=(I\circ \phi _{1}^{-1}-I^{\prime })\nabla (I\circ \phi _{1}^{-1})\ ,\\&{\text{Conservation:}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\mu _{t}\,dx,\ \mu _{t}=(D\phi _{t}^{-1})^{T}\mu _{0}\circ \phi _{t}^{-1}|D\phi _{t}^{-1}|\ .\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mu _{0}=(I-I^{\prime }\circ \phi _{1})\nabla I|D\phi _{1}|\ .\\\end{cases}}}$

Итерационный алгоритм LDDMM Бега имеет фиксированные точки, которые удовлетворяют необходимым условиям оптимизатора. Итерационный алгоритм представлен в алгоритме LDDMM Бега для плотного сопоставления изображений .

Гамильтониан LDDMM в редуцированном адвективном состоянии [ править ]

Обозначим изображение с состоянием и динамикой, связанными с состоянием и контролем, задаваемыми адвективным термином . Конечная точка дает вариационную задачу${\displaystyle I(x),x\in X}$${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$${\displaystyle E(q_{1})\doteq \|q_{1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\ \ \ \ \ \min _{q:{\dot {q}}=v\circ q}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|q_{1}(x)-I^{\prime }(x)|^{2}dx\end{matrix}}}$

( Соответствие плотного изображения )

Итерационный гамильтониан Виалларда LDDMM имеет фиксированные точки, которые удовлетворяют необходимым условиям оптимизатора.

Сопоставление изображений тензора диффузии в вычислительной анатомии [ править ]

Изображение, показывающее изображение тензора диффузии с тремя уровнями цвета, показывающее ориентации трех собственных векторов матричного изображения , матричнозначного изображения; каждый из трех цветов представляет направление.${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

Плотное согласование тензора LDDMM ^{[104] [108]} принимает изображения как векторы 3x1 и тензоры 3x3, решая вариационную задачу согласования между системами координат на основе основных собственных векторов диффузионного тензорного МРТ- изображения (DTI), состоящего из -тензора в каждом вокселе. . Некоторые действия группы определены на основе нормы матрицы Фробениуса между квадратными матрицами . На прилагаемом рисунке показано изображение DTI, проиллюстрированное через его цветовую карту, изображающую ориентацию собственных векторов матрицы DTI в каждом вокселе с цветом, определяемым ориентацией направлений. Обозначим тензор изображение с Эйгеном-элементов , .${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\doteq traceA^{T}A}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$

Преобразование системы координат на основе визуализации DTI использует два действия, одно из которых основано на основном собственном векторе или всей матрице .

Сопоставление LDDMM на основе главного собственного вектора матрицы тензора диффузии принимает изображение как единичное векторное поле, определенное первым собственным вектором. Групповое действие становится${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Соответствие LDDMM на основе всей тензорной матрицы имеет групповое действие, преобразованное в собственные векторы${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

Согласование вариационной задачи на главный собственный вектор или матрицу описывается LDDMM Tensor Image Matching .

Сопоставление диффузных изображений с высоким угловым разрешением (HARDI) в вычислительной анатомии [ править ]

Диффузионная визуализация с высоким угловым разрешением (HARDI) устраняет хорошо известное ограничение DTI, то есть DTI может выявить только одну доминирующую ориентацию волокна в каждом месте. HARDI измеряет диффузию вдоль равномерно распределенных направлений на сфере и может характеризовать волокна более сложной геометрии. HARDI можно использовать для восстановления функции распределения ориентации (ODF), которая характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды. ODF есть функция , определенная на единичной сфере, .${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$

Плотное согласование ODF LDDMM ^[109] принимает данные HARDI как ODF в каждом вокселе и решает вариационную проблему LDDMM в пространстве ODF. В области информационной геометрии , ^[110] пространство ODF образует многообразие с метрикой Фишера-Рао. Для отображения LDDMM ODF выбрано представление с квадратным корнем, потому что это одно из наиболее эффективных представлений, обнаруженных на сегодняшний день, поскольку различные римановы операции, такие как геодезические, экспоненциальные и логарифмические отображения, доступны в закрытой форме. Далее обозначьте ODF ( ) квадратного корня как , где неотрицательно, чтобы гарантировать уникальность и${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$. Вариационная задача для согласования предполагает, что два объема ODF могут быть порождены один в другой с помощью потоков диффеоморфизмов , которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с тождественного отображения . Обозначит действие диффеоморфизма на шаблоне , как , , соответственно координата единичной сферы, и область изображения, с целью индексированных аналогично, , , .${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],}$${\displaystyle \phi _{0}={id}}$${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {{\mathbb {S} }^{2}}}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$${\displaystyle x\in X}$

Групповое действие диффеоморфизма на шаблоне задается согласно

${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}$,

где - якобиан аффинно преобразованного ФРО и определяется как${\displaystyle (D\phi _{1})}$${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}$

Это групповое действие диффеоморфизмов на ODF переориентирует ODF и отражает изменения как в величине, так и в направлениях выборки из- за аффинного преобразования. Это гарантирует, что объемная доля волокон, ориентированных в сторону небольшого участка, должна оставаться неизменной после преобразования участка. ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\bf {s}}}$

Вариационная задача LDDMM определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}C(v)=\inf _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{x\in \Omega }\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}$.

где логарифм определяется как${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$