Модель с твердым шестигранником

В статистической механике модель жесткого шестиугольника представляет собой модель двумерной решетки газа, в которой частицы могут находиться в вершинах треугольной решетки, но никакие две частицы не могут быть смежными.

Модель была решена Бакстером  ( 1980 ), который обнаружил, что она связана с тождествами Роджерса – Рамануджана .

Статистическая сумма модели жесткого шестиугольника [ править ]

Модель жесткого шестиугольника возникает в рамках большого канонического ансамбля , где общее количество частиц («шестиугольников») может изменяться естественным образом и фиксируется химическим потенциалом . В модели жесткого шестиугольника все допустимые состояния имеют нулевую энергию, и поэтому единственной важной термодинамической регулирующей переменной является отношение химического потенциала к температуре μ / ( kT ). Экспонента этого отношения z = exp ( μ / ( kT )) называется активностью, а большие значения примерно соответствуют более плотным конфигурациям.

Для треугольной решетки с N узлами большая статистическая сумма равна

${\ displaystyle \ displaystyle {\ mathcal {Z}} (z) = \ sum _ {n} z ^ {n} g (n, N) = 1 + Nz + {\ tfrac {1} {2}} N (N -7) z ^ {2} + \ cdots}$

где g ( n , N ) - количество способов разместить n частиц на разных узлах решетки, так что никакие 2 не могут быть смежными. Функция κ определяется формулой

${\ displaystyle \ kappa (z) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {\ mathcal {Z}} (z) ^ {1 / N} = 1 + z-3z ^ {2} + \ cdots}$

так что log (κ) - это свободная энергия на единицу сайта. Решение модели жесткого шестиугольника означает (грубо) нахождение точного выражения для κ как функции z .

Средняя плотность ρ задаются при малом г по

${\ displaystyle \ rho = z {\ frac {d \ log (\ kappa)} {dz}} = z-7z ^ {2} + 58z ^ {3} -519z ^ {4} + 4856z ^ {5} + \ cdots.}$

Вершины решетки делятся на 3 класса, пронумерованные 1, 2 и 3, что определяется тремя различными способами заполнения пространства твердыми шестиугольниками. Имеются 3 локальные плотности ρ ₁ , ρ ₂ , ρ ₃ , соответствующие 3 классам узлов. Когда активность велика, система приближается к одной из этих трех упаковок, поэтому локальные плотности различаются, но когда активность ниже критической точки, три локальные плотности одинаковы. Критическая точка разделения низкой активности гомогенной фазы от высокой активности упорядоченной фазы является с золотым отношением ф . Выше критической точки локальные плотности различаются, и в фазе, где большинство шестиугольников находится в узлах типа 1, можно расширить как${\ displaystyle z_ {c} = (11 + 5 {\ sqrt {5}}) / 2 = \ phi ^ {5} = 11.09017 ....}$

${\ displaystyle \ rho _ {1} = 1-z ^ {- 1} -5z ^ {- 2} -34z ^ {- 3} -267z ^ {- 4} -2037z ^ {- 5} - \ cdots}$

${\ displaystyle \ rho _ {2} = \ rho _ {3} = z ^ {- 2} + 9z ^ {- 3} + 80z ^ {- 4} + 965z ^ {- 5} - \ cdots.}$

Решение [ править ]

Решение дается для малых значений z  <  z _c формулой

${\displaystyle \displaystyle z={\frac {-xH(x)^{5}}{G(x)^{5}}}}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {H(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{G(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{6n-4})(1-x^{6n-3})^{2}(1-x^{6n-2})}{(1-x^{6n-5})(1-x^{6n-1})(1-x^{6n})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho =\rho _{1}=\rho _{2}=\rho _{3}={\frac {-xG(x)H(x^{6})P(x^{3})}{P(x)}}}$

где

${\displaystyle G(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}}}$

${\displaystyle H(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})}}}$

${\displaystyle P(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{2n-1})=Q(x)/Q(x^{2})}$

${\displaystyle Q(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n}).}$

Для больших z  >  z _c решение (в фазе, когда большинство занятых узлов имеют тип 1) имеет вид

${\displaystyle \displaystyle z={\frac {G(x)^{5}}{xH(x)^{5}}}}$

${\displaystyle \kappa =x^{-{\frac {1}{3}}}{\frac {G(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{H(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})}{(1-x^{3n})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {H(x)Q(x)(G(x)Q(x)+x^{2}H(x^{9})Q(x^{9}))}{Q(x^{3})^{2}}}}$

${\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}={\frac {x^{2}H(x)Q(x)H(x^{9})Q(x^{9})}{Q(x^{3})^{2}}}}$

${\displaystyle R=\rho _{1}-\rho _{2}={\frac {Q(x)Q(x^{5})}{Q(x^{3})^{2}}}.}$

Функции G и H повернуть вверх в Роджерса-Рамануджана идентичностей , а функция Q является функция Эйлера , которая тесно связана с дедекиндовым функции эты . Если x = e ^2πiτ , то x ^−1/60 G ( x ), x ^11/60 H ( x ), x ^−1/24 P ( x ), z , κ, ρ, ρ ₁ , ρ ₂ и ρ ₃ являются модульными функциямиτ, а x ^1/24 Q ( x ) - модулярная форма веса 1/2. Поскольку любые две модулярные функции связаны алгебраическим соотношением, это означает, что все функции κ , z , R , ρ являются алгебраическими функциями друг друга (довольно высокой степени) ( Joyce 1988 ).

Ссылки [ править ]

• Эндрюс, Джордж Э. (1981), «Модель жесткого шестиугольника и тождества типа Роджерса-Рамануджана» , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 78 (9): 5290–5292, Bibcode : 1981PNAS. ..78.5290A , DOI : 10.1073 / pnas.78.9.5290 , ISSN  0027-8424 , МР  0629656 , КУП  348728 , PMID  16593082 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Бакстер, Родни Дж. (1980), «Жесткие шестиугольники: точное решение», Journal of Physics A: Mathematical and General , 13 (3): L61 – L70, Bibcode : 1980JPhA ... 13L..61B , doi : 10.1088 / 0305-4470 / 13/3/007 , ISSN  0305-4470 , MR  0560533
• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решаемые модели в статистической механике (PDF) , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, Руководство по ремонту  0690578
• Джойс, Г.С. (1988), «Точные результаты для активности и изотермической сжимаемости модели жесткого шестиугольника», Journal of Physics A: Mathematical and General , 21 (20): L983 – L988, Bibcode : 1988JPhA ... 21L. 983J , DOI : 10,1088 / 0305-4470 / 21/20/005 , ISSN  0305-4470 , МР  0966792
• Экстон , Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Константа энтропии жесткого шестиугольника" . MathWorld .