Неравенство Харди – Литтлвуда

---

В математическом анализе неравенство Харди-Литтлвуда , названное в честь Г. Х. Харди и Джона Эденсора Литтлвуда , утверждает, что если и являются неотрицательными измеримыми действительными функциями, исчезающими на бесконечности , которые определены в -мерном евклидовом пространстве , то${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle п}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

где и – симметричные убывающие перестановки и соответственно . ^{[1] [2]}${\ Displaystyle е ^ {*}}$${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Убывающая перестановка определяется тем свойством, что для всех двух множеств суперуровня ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r>0}$

имеют одинаковый объем ( -мерная мера Лебега) и является шаром с центром в точке , т. е. имеет максимальную симметрию. ${\displaystyle n}$${\displaystyle E_{f^{*}}(r)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x=0}$

Представление слоеного пирога ^{[1] [2]} позволяет нам записать общие функции и в виде ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr\quad }$ а также${\displaystyle \quad g(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds}$

---